浙江省宁波市奉化区锦溪书院 郑 锋1
浙江省宁波市奉化区剡溪中学 王祥表2
【摘要】：教材中例题的深度学习离不开教师深度的教，但教师深度的教，不是教得越深越好，而是要以学生的认知水平为基础，切合学生的最近发展区，教一些学生 “跳一跳够得到苹果”的知识.如果发现例题的难度已经高于学生的认知水平则需要教师提前搭好脚手架，帮助学生突破思维障碍.
【关键词】：例题价值、深度学习、教学思考
一、课例背景
深度学习是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识，领悟其中蕴含的思想，并将它们融入到原有的认知结构中，且能将已有的知识迁移到新的情境中的一种学习.深度学习强调学习内容的有机整合；注重知识学习的批判理解；着意学习过程的建构反思；重视学习的迁移运用和问题解决.
浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“5.3一次函数”（第2课时）是学生学习了坐标系、函数概念、一次函数概念后的教学内容，学生已经初步具有数形结合思想，方程思想，但还不具有函数思想.这节课是学生第一次接触利用函数解决数学问题和生活实际问题，其意义在于让学生有意识使用待定系数法求函数关系式，树立建模思想.本节课的教学内容为两个例题,通过例3让学生具体经历用待定系数法求一次函数表达式的过程，帮助学生总结出一般步骤；通过例4的学习，让学生初步体会领悟建模思想，经历“提出问题→抽象→建模→解决问题”这种问题解决的途径.那么在此过程中，怎样才能使这两个例题凸显应有的价值，引导学生进行知识的迁移，从而达成深度学习呢?笔者在多次螺旋式加深发展的教学探索与思考的基础上，将形成的教学经验进行实践并反思,现整理成文，以飨读者.
二、教学片段
1.情境引入
教师用一张PPT图片展示草原上羊吃草的和谐画面，并抛出一系列问题，在问题驱动中，激发学生兴趣，分析和解决问题.
问题1：草地上原有1000的草，若一只羊平均一天吃草12，则一天后草地上剩余的草地面积为和羊群只数（只）之间的函数关系是 .（草地上当天新长出草等因素忽略不计）
生1：
思考1：如果放牧20只羊，一天后草地上剩余多少草呢？
生2：当时，
思考2：若一天后剩余的草地面积为400平方米，这天放牧多少只羊呢？
生3：当时，，
思考3：如果在一次函数y=-12x+1000中，我们不知道草地上原有“1000平方米”的草，也不知道羊一天吃12平方米的草．但是，我们知道放牧20只羊的时候，草地上剩余760平方米的草；放牧50只羊的时候，草地上剩余400平方米的草，你有什么办法求得草地上原有多少草？一只羊一天吃多少草吗？
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师：如果我们把这一过程总结一下，你觉得经历了哪几个步骤？
生5：（在教师的引导完善下）
①设所求的一次函数解析式为y=kx+b,其中k，b是待确定的常数．
②把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k，b的二元一次方程组．
③解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．
④把求得的k，b值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数解析式．
师：上述这种求函数表达式的方法叫做待定系数法，这四个步骤可简单记为：1.设；2.代；3.解；4.答。利用这一方法，我们一起来解决例1.
例1：已知是的一次函数，当=3时，= 1；当=-2时，=-14，求这个一次函数的解析式．
【点评】教师通过“羊吃草”这一情境的展示，激发学生对于草地上草变化情况的想象，引出“问题1”中羊与草之间的数量关系，也为后面草原环境遭到破坏,以及环境问题的治理问题的作铺垫.通过“思考1”“思考2”两个问题复习了已知自变量求函数值、已知函数值求自变量值.“思考3”中继续利用前面两个思考题所得到的数据进行逆向思考,让学生基于高阶思维深层次地感受用待定系数法解题的实际意义和待定系数法的必要性.复习引入有助于学生再次学习相关知识，也可以利用复习中所得到的相关数据进行深层次的研究，促进深度学习.
2.探本求源
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②水池中原有一定量的水，若每秒注入相同数量的水，则水池中水量与注水时间的函数关系.
生10：单位时间注入的水一样，所以是一次函数.
③小明的月手机通讯费用标准是：月租费50元，无论本地外地每分钟0.5元，则他的月费用（元）与月通话时间（分）的函数关系.
生11：时间是自变量，花费是应变量，当时间增加一个单位，花费增加相同单位.
【点评】教师通过例1的练习及时巩固用待定系数法的求解一次函数的解题步骤.教师抛出“问题2”让学生求解函数解析式，但题意并未告知此函数的类型，需要学生对函数的类型进行判断.教师在此基础上抛出“问题3”如何判断函数的类型.在理清函数类型的判断后，“问题4”呼之欲出，判断现在情境中的函数类型.教师在教学过程中并未按部就班的教学，为了突破“问题5”这个难点，对教材加以深度解读和加工，深层次的揭示函数的本质，提升学生对于函数类型的认知与理解，从而促进学生对一次函数的深度学习.
3.学以致用
教师通过PPT图片展示土地沙漠化的原因：
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问题5：某地区从2005年底开始，沙漠面积几乎每年以相同的速度增长．据有关报道，到2011年底，该地区的沙漠面积已从2008年底的100.6万公顷扩展到101.2万公顷．
（1）可选用什么数学模型来描述该地区的沙漠面积的变化？
生12：一次函数，理由：沙漠面积几乎每年以相同的速度增长.
（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷？
（3）如果该地区的沙漠化得不到治理，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到103万公顷．
教师通过PPT图片展示治理沙漠的措施：
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变式练习：
某沙漠地带为防风固沙，从2010底起，每年栽培相同数量的沙生植物． 已知2012年底时，该地沙生植物达到6000平方米；2014年底时，该地沙生植物达到7000平方米．（每年流失沙生植物忽略不计）
（1）2010年底时，该地沙生植物为多少平方米？
预计到2016年底时，该地沙生植物将达到多少平方米？
【点评】教师在课堂设计时不仅关注知识的本身，更是融入了人文教育，把课堂内容提升到环境治理的高度，以环境现状为线索串联整个课堂.本课中的第二个例题，对于学生来说是相当有难度的，学生很难回答第（1）问，这就需要教师适当加以引导，搭好脚手架.之前的教学内容基本上都是在为解决这一问做铺垫.学生有了一次函数的判断方法，对于解决“问题5”中的第（1）问也就自然水到渠成.教师对于“问题5”中第（3）小题解释的恰到好处，深度阐明了函数的本质，函数具有“分析现状、预测未来”的作用
三、教学思考
教材中例题的深度学习离不开教师深度的教，但教师深度的教，不是教得越深越好，而是要以学生的认知水平为基础，切合学生的最近发展区，教一些学生 “跳一跳够得到苹果”的知识.如果发现例题的难度已经高于学生的认知水平则需要教师提前搭好脚手架，帮助学生突破思维障碍.因此，在例题教学过程中，教师需深刻把握数学本质、深入挖掘数学思想、深层揭示数学联系,才能让例题深度学习“落地生根”.
1. 深刻把握数学本质
数学在本质上研究的是抽象的东西.数学课程改革强调对数学本质的认识与理解，而把握数学本质就是要让学生知其然而又知其所以然，让每节课都能切中知识要害，落实到数学本质，提升学生的抽象思维能力.如对于例4的深度挖掘，也是基于对“一次函数”最本质的深刻理解与把握.如果不搭脚手架，直接讲解例4，学生是很难理解为什么“沙漠面积几乎每年以相同的速度增长”这句话表明该问题符合一次函数模型．所以在教学过程中教师将例4改编成四个问题串，以问题驱动，层层提升，最后发现“当自变量每增加一个单位时，相应的函数值变化量是不变的，这可作为判断一次函数的依据”，至此突破了这一教学难点.
2.深入挖掘数学思想
脱离了数学思想的教学，就像是无源之水、无本之木，失去了知识的生长点.在教学过程中, 教师要依据学生的认知水平，深入挖掘例题当中隐含的数学思想,并把挖掘出的数学思想渗透到相应的内容之中，让学生能更好地理解数学知识、有效地提高自身的数学素养.如在本节课中，最重要的就是让学生历过“提出问题→抽象→建模→解决问题”这种问题解决的途径，初步体悟建模思想,从问题2到问题5，都是在体验数学建模的过程；问题1则渗透了方程函数思想，让学生学会用待定系数法求出函数表达式的一般步骤.
3.深层揭示数学联系
“数学是通过对概念的分析、生成和组织，对命题的严密逻辑推理而形成的互相联系的系统化的有机整体”，各部分之间的联系反映着数学内在的结构，决定着系统的功能.学生的深度学习,需要在教师教的过程中不断揭示深层的数学联系，让学生了解知识的来龙去脉、把握概念的前世今生，更要在揭示的过程中关注学生的自主构建，让学生自觉地把新知识融会贯通到已有认知结构中，做到“既见树木又见森林”.如对于教材中例4的深度处理，不但为了让学生深刻把握知识的本质，还为后续学习二次函数、反比例函数等其他函数以及复数、向量、解析几何等作了必要的准备，更重要的是在此学习过程中提升了学生的数学素养和人文素养.
四、结束语
教材例题的深度教学巧妙地让学生全面参与到问题的认知、探索、发现、设计中去，获得系统性的知识，并提升合作学习、自主学习的能力．通过教材例题的深度教学，使课堂教学方式和模式多样化，既梳理了知识内容，也使学生学习能力得到了有效的提升，同时也激发了学生的学习兴趣．教材例题的深度教学已经不是解难题的初级阶段，而是提升到了探究、归纳、总结、拓展、延伸的深入学习阶段，只要我们在教学中多思考、多研究，学生的模型意识树立了，学生的学习能力也提升了.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版） [S].北京：北京师范大学出版社,2012.
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[3]田慧生．深度学习：走向核心素养[M].教育科学出版社， 2018.
[4]俞秋明 .李庾南老师一元二次方程起始课教学赏析 [J] . 中学数学（下）,2016.