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高中数学“导数应用问题”题型举例

发表时间：2020/12/15 来源：《基础教育课程》2020年9月作者：杨德盛

[导读] 在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题。

浙江省平阳中学杨德盛

摘要：在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题实际上在高等教育时才会接触导数，在纳入高中教材后，使用导数可解决许多数学问题，能够将复杂推理简化，在处理函数单调性、求方程的根、处理不等式相关问题上能够发挥重要作用。目前高中数学教师都比较重视导数的教学，本文主要通过导数应用问题举例的方式进行探讨，以供参考。
关键词：高中数学；导数应用问题；题型
        导数是高中数学中的重要组成，其具有工具性质，能够有效解决一些数学问题，并且在最近几年高考中，以方程与不等式、函数与导数为载体的导数知识是重难点，甚至多次作为压轴大题。但是由于这一知识比较抽象，学生学起来比较难，并且解答很多数学问题都需要使用导数，这将增加学生的心理压力。针对这一情况，教师应该采取合理的方法加以解决，制定合理的教学策略，使学生更容易接受和掌握导数知识，并有效应用。
        一、导数应用问题”题型举例
       （一）应用导数解答函数问题
        在研究函数问题时，主要是对函数的图像、函数亮点、函数最值、函数极值以及单调性进行考虑，在一段定义域内如果一个函数为减函数，那么的导函数小于0，如果在一段定义域内一个函数为增函数，那么的导函数大于0。利用导函数图像既能对图像是否是原函数进行判断，比如：在定义域内函数可导，下图为导函数图像，那么函数图像可能是（）

        在解答这类题型时，需要对原函数图像和导函数图像之间的关系进行正确分析，在导函数小于零时，对应原函数处于递减区间，由此可知，原函数图像趋势为递减、递增、递减、递增，从而B为正确答案。
      （二）应用导数解决生活问题
        向学生传授知识的主要目的是能够是学生在面对实际问题时灵活运用知识，在实际生活中解决问题时，导数也能够发挥重要作用。在教学中应用具有生活化的问题，可引导学生解决实际生活问题。
        比如对以下例题进行教学时，“某商品的进货单价是90元，按照100元一个来销售，可以卖出500个，当商品单价每涨1元，销量将会减少10个，那么请问，为了获得最多利益，应将商品单价定位多少？”
                                                                 从而通过计算可知，在涨价20元时，将获得最大利润9000元，售价应为120元。应用导数，能够有效解决实际计算起来很复杂的问题，并且可使解题思路更清晰，解答过程更简洁。
        （三）应用导数解答函数单调性问题
        在高中数学中单调性问题是很重要的知识点，运用导数能够对区间函数单调性进行判断，实际上是对导数正负问题进行判断，解答过程中，证明在区间内恒成立，且不恒为零。通常需要确定函数定义域并得出函数导数，判断导数正负以得出结论。当题目中不具备明确x范围时，需要将定义域求解出来，完成定域内单调性的讨论[1]。

运用导数判断函数单调性时，若是函数解析式中包括参数，并且会影响导数正确判断，应进一步分类讨论参数，并判断导数正负，其属于通性通法。
        二、导数教学实际策略
        （一）紧密联系生活实际
        高中数学知识比较广泛，在生活中遇到一些问题时即能够利用数学知识来解决，教师引导学生分析这些问题，可提升学生解题能力和创新能力，进而使其形成良好思维习惯和方式，可为学生后期学习以及未来发展打下良好基础。例如生活中会遇到一些最小值和最大值问题，可将其转化为函数，运用导数对函数最值进行解答时，应该注重对极值点中的单峰函数时，最值点即为极值点，教师应该向学生讲解。目前一些教师教学中依旧使用传统教学方法，更习惯将数学知识灌输给学生，学生被动接受，很难深入进行思考，这会影响培养其创新能力，不能够满足教学要求，阻碍学生能力提升和未来发展。未转变这一情况，数学教师需要自我总结，教学时充分结合生活实际，加强导数教学，使学生掌握更多相关知识。与导数相关的知识比较复杂，学生解决问题时，对于其来说是一种考验，需教师积极引导和点评，可多练习与生活相关的问题，以此促进学生发展[2]。
        （二）加强小组合作
        高中数学教学主要培养学生自学能力、逻辑思维能力和思维创新能力等，从而教师教学中应注重培养其综合素养。可根据学生个性、学习能力分组，以此激发其学习兴趣和积极性，有效提升学生数学成绩。比如对“导数的运算”教学时，教师可引导学生在小组内进行相关知识讨论，并与教师加强交流沟通，从而提升学生知识以及技能掌握程度，最终提升其学习效果。开展小组合作教学，教师向学生提供充足的自学空间，能够有效提升学生的自学能力，可锻炼学生实践能力，并促进其思维发散，使学生养成主动学生等良好习惯，由此提升导数教学效率。高中数学教师在实际教学中应重视培养学生自学能力，充分给予学生引导，打造完善的教学氛围，提升学生学习质量。
        结束语
        在高中阶段所学习的导数知识，对于其他知识的学习具有重要作用，应用导数知识可解答函数、方程、不等式等问题，并且可简化解题过程，本文从三方面提出相关例题，并作出了导数解题的过程，以供参考。针对目前教师导数教学和学生学习比较困难情况，提出两点应对策略，使学生更好地掌握导数知识，由此提升数学成绩。
参考文献：
[1]毛乐萍.函数与导数问题新导向[J].中学生数理化:(高二、高考)使用,2020(7):7-8.
[2]何伟军.浅谈与导数应用问题交汇例题解析[J].教学考试,2020(20):13-16.