周垚
云南大学附属中学星耀学校 650213
摘要：本文研究了一对不等量异种点电荷电场中的等势面分布情况，并证明了电场中存在零电势球面，零电势面球心在两电荷连线上电荷量较少的电荷外侧，球面半径与两电荷量的比值有关，电荷量的比值越大，半径越小。
关键词：不等量异种点电荷；电势；零电势面
一对等量异种点电荷电场中的等势面关于二者两线的中垂面对称，中垂面为一等势面，取无限远处电势为零，则该中垂面为一零电势面。那么，一对不等量异种点电荷电场中的等势面及零电势面的情况又是怎样的呢？
1、问题的提出
例：如图，一个由绝缘材料做成的圆环水平放置，O为圆心，一带电小珠P穿在圆环上，可沿圆环无摩擦的滑动。在圆环所在的水平面内有两个不等量点电荷Q1、Q2分别位于A、B两点，A点位于圆环内、B点位于圆环外，O、A、B三点位于同一直线上。现给小珠P一初速度，P沿圆环做匀速圆周运动。则以下判断正确的是（ ）
A．Q1与Q2为异种电荷
B．对于由Q1、Q2产生的电场，在圆环上电势处处相等
C．对于由Q1、Q2产生的电场，在圆环上电场强度处处相同
D．小珠P运动过程中对圆环的弹力大小处处相等
解析：小电珠P沿圆环做匀速圆周运动，合外力充当向心力，电场力对小电珠应不做功，故圆环上电势处处相等，圆环可看作一等势线，则过圆环上各点的电场线应与圆环垂直。因圆环上各处电场方向不同，所以电场强度不同。结合点电荷电场的相关知识和电场线分布情况可知，两电荷为异种电荷。因做匀速圆周运动，弹力、重力、电场力的合力指向圆心，且大小不变，而电场力是变化的，故弹力大小会发生变化。综上可知正确答案为AB。
圆环可看作一等势线，结合立体情况来看，一对不等量异种点电荷电场中是否可能存在球形等势面呢？接下来本文将从理论上来分析不等量异种点电荷电场中等势面的情况。
2、不等量异种点电荷电场中的球形零电势面
取无限远电势为零，在点电荷+Q的电场中离场源电荷距离为r处的A点，电势等于把一个试探电荷从该点移至无限远过程中电场力做功与试探电荷电量的比值。即：
同理，在负点电荷-Q的电场中，离场源电荷距离为r处的电势。点电荷电场中各点的电势与点电荷电荷量有关，与研究的位置到点电荷的距离有关。正点电荷电场中的电势为正值，负点电荷电场中的电势为负值。由电势叠加原理可知，两点电荷Q1、- Q2
的电场中A点的电势为：
其中r1为A点距Q1的距离、r2为A点距 Q2的距离。设不等量异种电荷电荷量分别为Q1、- Q2，两电荷间距离为a。以Q1所在处为坐标原点O，以二者连线为x轴（以Q1至Q2的方向为正方向），建立空间直角坐标系。则两点电荷坐标分别为：Q1（0,0,0）、Q2（a，0,0）。
电场中A（x,y,z）点电势：
若，则有：
即：
整理可得：
结合数学知识可知，动点A构成的零电势面为一球面，球心坐标为（ ，0，0），球面半径。因此可以得出结论：（1）一对不等量异种点电荷电场中存在零电势球面。（2）若Q2<Q1则，零电势面球心在两电荷连线上近Q2一侧；若Q1<Q2则，零电势面球心在两电荷连线上近Q1一侧；即零电势球面球心总是靠近电荷量少的电荷。（3） 由球面半径和两点电荷坐标的关系可知电荷量少的电荷在零电势球面内，电荷量多的电荷在零电势球面外。（4）两电荷连线上电势为零的点离电荷量少的电荷较近。（5）由 可知零电势球面半径的大小与两点电荷所带电荷量的比值有关，电荷量比值越大，球面半径越小。具体情况如图2所示。
现在再来看一例题。
例：两个点电荷Q1和Q2固定在x轴上O、D两点，
两者之间连线上各点电势高低如图3中曲线所示(OB>BD)，
取无穷远处电势为零，由图可知( )
图3
A．B点电场强度为零
B．Q1为负电荷，Q2为正电荷
C．Q1电荷量一定大于Q2电荷量
D．将电子沿x轴从A点移到C点，电场力一直做正功
解析：由E＝知，B点的电场强度不为零，A错误；负点电荷电场中的电势为负，正点电荷电场中的电势为正，结合题图可知，Q1为负电荷，Q2为正电荷，B正确；由题图可知，电势零点离D点较近，故Q1电荷量一定大于Q2电荷量，C正确；将电子沿x轴从A点移到C点，电势一直升高，电子的电势能一直减小，电场力一直做正功，D正确。在一对不等量异种电荷的电场中，由两电荷量的情况可知零电势球面所对应的圆心位置和半径大小。反之，由零电势球面的情况可反推两点电荷电荷量的大小。在理解电势的叠加原理和一对不等量异种点电荷电场中电势的情况以后，本题思路就较为清晰了。
3、不等量异种点电荷电场中等势面的分布图
利用绘图软件可得到一对不等量异种点电荷电场中等势面的分布图。在画图时，根据公式（3），令z=0，可作等势面的二维图像。取两点电荷间距离r=1m，两点电荷电荷量Q1=1.0C、Q2= -2.0C，图中等势面所标电势数值的单位为。
电场具有力的性质和能的性质，电场线和等势面有一定的关系，由等势面的分布情况可推知电场线的情况，明确不等量异种电荷电场中等势面的分布情况有助于学生解决电场力和能的相关问题。
参考文献：
［1］ 曹养荣．［J］．物理之友，2018,(3):43-44.
［2］ 司德平．［J］．物理教学，2012,(3):49-55.
［3］ 徐成华．［J］．物理教师，2015,(12):84-85.