徐圆
浙江省杭州市萧山区新塘小学 311201
【摘要】数学是研究数量关系和空间形式的科学。数与形是数学的两个基本属性，数形结合思想正是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来进行思考，从而解决数学问题的思想方法。本文试从“数与形”一课中从课堂导入、例题教学、拓展提升三个过程中定型数形结合思想。数学学习应当是螺旋上升的，因此小学阶段数形结合思想其实在本课之前已有多次涉及，逐步渗透，真切感悟，最终达到学生数形结合思想的有效落实。
【关键词】数形结合 见数思形 见形想数
一、探径问路寻学情
笔者在2016年10月上了一节公开课《数与形》，这是人教版小学数学六年级上册第八单元数学广角的内容，这个内容是新教材修订以后新增加的内容，包括2个例题（例1：等差数列1+3+5+7+……求和与正方形方格图的关系。例2：等比数列
求和与图形之间的联系）。在准备过程中，笔者也通过查找书籍、观看视频等方式查找了资料，发现这个学习内容还没有正式的教学参考资料，所以在教学的目标定位上还是比较模糊的。因此，笔者试图通过教材分析、学生基础调查寻找到最适合学生的教学方式，从而达到最佳的教学效果。
（一）相关教材分析：
恩格斯给数学下过这样一个定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学。可见数与形是数学的两个基本属性，也应当是数学教学不可或缺的两个基本属性。数形结合思想正是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行思考，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，寻找解题思路的一种思想。
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”这句话深刻揭示了数与形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。数学是比较抽象的，在小学阶段，受学生的抽象逻辑思维发展程度的影响，如何将抽象的数学问题转化成学生易于理解的，这是一个现实问题，数形结合思想可以提供了非常好的教学方法和策略。因此，数形结合思想在小学数学教学中的意义重大。
通过对教材整理与分析，笔者发现，小学阶段概念教学与规则教学中有很大一部分内容都有渗透数形结合思想，形式也较为多样，如：摆小棒、圈一圈、划一划等，将抽象的概念和规则形象化。几乎所有的解决问题教学中都渗透了数形结合思想，通过画线段图的方式直观呈现数量关系，帮助理解题意。笔者发现，其实六年级“数与形”一课是小学阶段的数形结合思想的定型课，是将数形结合思想化隐性为显性的一堂课，因此，我认为这节课的教学目标不能仅仅停留在探究规律上，体悟数形结合的思想是更为重要的。
（二）学生基础调查：
为了了解学生的基础，笔者设计了一个前测问卷。笔者抽取了本校六年级学生，共发放问卷200份，回收197份，有效问卷195份。
这次前测问卷分析，让笔者看到大多数学生都想学习这种数学思想，并想用这种思想方法来帮助学习新知识和解决问题，这也让笔者更有信心，希望通过对“数与形”一课的研究以及数形结合思想的提前渗透，能让学生的数形结合思想得到有效落实。
二、研磨想法找策略
经过仔细斟酌后笔者将本课的教学目标定为：知识目标：自主探究发现图形中隐藏着数的规律，并会应用所发现的规律。能力目标：经历问题的探索过程，培养通过数形结合分析、解决问题的能力。情感态度目标：在解决数学问题的过程中，体会数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
如何设计教学环节以实现教学目标呢？笔者也做了多次尝试。下面主要从课堂引入、例题教学、运用提高三个环节入手，谈谈我的看法。
1．课堂引入——立足经验，引出思想
（1）试上过程简录：
师：老师发现自己有一个本领，凡是从1开始的连续奇数相加，如：1+3和1+3+5，像这样的算式，我都算得特别快，你们相信吗？
师：你们出题，老师来算。
存在问题：原本设计这样的方式引入，是为了激发学生的学习兴趣，在试教中学生确实很活跃，但是学生对从1开始的连续奇数理解不到位，出题时出现了很多问题，还有的学生为了把老师难倒故意说了很长的算式，这样课堂非常难把控，而且这样的导入显得有些生硬，不免有点为了导入而导入的味道，没有考虑到学生的知识基础和生活经验。
（2）再上过程简录
师：同学们，让我们来欣赏一张图片，图中有什么？（课件出示一个正方形花坛）
生：一个正方形花坛
师：是的，短短的几个字中就既有数又有形，生活中的物体都既包含数，又包含形。今天我们就一起来研究数与形。
存在问题：从一张生活的图片开始，让学生感受到生活中的物体都包含数与形，从而自然地引出本课课题，这是设计的本意。但是因为这是六年级的课，这样的导入方式对于六年级的学生来说，过于简单，没有什么思维含量，如果能结合学生已有的知识经验设计，从学生的旧知出发，“温故而知新”，搭建起旧知与新知之间的桥梁，应该更合适。
2．例题教学——探索规律，感知思想
（1）试上过程简录
例1
直接出示题目：从1开始的n个连续奇数的和是多少？
从简单的开始研究，发现1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42……从而得到从1开始的n个连续奇数的和是n2。
师：能解释为什么吗？
师：从数的角度很难解释，我们从形的角度试试？
用不同颜色的小正方形拼图
师：自己画图探究一下。
存在问题：在教学例1时，先从数的角度研究，直到得出结论以后才引入形，数与形有些割裂，联系得不够紧密，导致很多学生在数的角度得出结论后就觉得完成了，没有切实地体会到数形结合的好处。在教学例2时
，首先让学生思考计算，然后通过课件演示，这样设计的本意是觉得让学生自己去发现、解释算理比较困难，所以适时引入图形，目的是让学生充分感受数与形之间的联系，加法与减法之间的联系，可以将它转化成，在图形中都表示阴影部分的面积。但是没想到这样禁锢了学生的思维，在后面让学生自主画图探索
时，学生只是重复操作，思维含量较低。
（2）再上过程简录
例1
师：有1+3+5+7+9和5×5这样两个算式，你觉得哪个算起来更简单？
师：5×5=25这个算式，你能想到什么图形吗？
师：那1+3+5+7+9也等于25，是不是也能在5×5的正方形中表示出来呢？请你用不同颜色的笔试着表示一下。
例2
师：
这个算式，你能计算出结果吗？（逐步出示，可以让学生猜猜下个加数）
师：有的同学是通分得到结果的，稍微有些麻烦，有的同学是一步一步找到规律，发现结果就是
，但好像不能解释为什么可以转化成这样。在数遇到困难的时候，我们可以换个角度想一想。
师：看到
，你能想到什么图形？
生：一个圆的一半，一个正方形的一半，一条线段的一半。
师：那
呢？
师：那你能试着在一个图形中把
表示出来吗？并想一想能很好的解释结果是
吗？
师：那如果继续加呢？省略号是什么意思？结果会是什么？
课件展示
存在问题：例1教学过程中，让学生自主在5×5的方格图中表示出1+3+5+7+9，这个过程花了较长时间，虽然操作过程有利于学生获得直接经验，但是耗时过长不够值得。怎样的方式能让学生充分感受到数与形之间的联系，而且效率较高是值得斟酌的。
（3）三上过程简录
例1
师：有1+3+5+7+9和5×5这样两个算式，你觉得哪个算起来更简单？
师：5×5=25这个算式，你能想到什么图形吗？
师：那1+3+5+7+9也等于25，如果用一个小正方形表示1，三个小正方形表示3，五个小正方形表示5,七个小正方形表示7，九个小正方形表示9，拼在一起是不是也会是一个5×5的大正方形？
设计意图：
算式逐步出示，旨在让学生自主发现后一个加数是前一个加数的。然后让学生说说可以用什么图形表示，这是给下面画图做铺垫，给学生搭建一个思维的“脚手架”，因为如果直接让学生自己画图，难度太大。这正好符合维果斯基提出的“最近发展区”理论，让学生能够跳一跳，摘到桃。画图的过程就是把数转化成形的过程，在这个过程中不仅激发了学生的思维，而且让学生真真切切地体会到数与形之间的密切联系，达到见数思形，见形画意。最后通过课件展示，发现空白部分越来越小，几乎看不到了，而涂色部分越来越大，越来越接近整个正方形，也就是单位“1”，课件展示更清楚明了，有助于学生理解无限接近1，渗透极限的数学思想。
3．拓展提高——知识拓展，体悟思想
（1）试上过程实录
师：我国著名数学家华罗庚曾经说过：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。可见数形结合的重要性。
师：看到“3×2=6（平方厘米）”，你能想到什么？
师：有同学画了一幅图，她说她想表示一个数，你能猜到是哪个数吗？
师：看来我们有时候看到数的时候也可以从形的角度去思考，见到形的时候也可以从数的角度去考虑。也就是见数思形，见形想数，把数与形结合起来，这就是我们数学中非常重要的数形结合思想。
存在问题：虽然最后出现了数形结合思想，但是感觉是教师灌输给学生的，学生对于这个思想并没有深入的体会。数形结合的运用过于简单，不能让学生的感悟有所提升。
（2）再上、三上过程实录
师：回顾我们这节课学习的内容，今天我们学习的两个数的问题，把它们与形结合起来，更有利于我们理解和掌握，看来数与形不仅密切相关，如果能把数与形结合起来，能让很多复杂问题迎刃而解。
师：我国著名数学家曾说过这样一段话：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。
师：你能通过观察来发现这个公式吗？
师：这是我们初中的时候将要学习的和的完全平方公式，你们真厉害啊，通过数形结合发现并理解了这个公式。
设计意图：通过对这节课的回顾，对全课做了一个总结，并让学生再一次体会到数与形之间的联系，自然而然地升华到数形结合的思想，充分体悟“思形”和“画意”相交融，做到见形思数，见数想形。紧接着出示完全平方和公式和图示，让学生自主发现公式，解释公式，不仅是对学生思维的一个提升，而且为初中的教学做了铺垫。
三、追根溯源求提升
在这次磨课过程中，这节课经历了从粗糙到精细的不断完善的过程，也引发了笔者很多的思考。《数学课程标准》指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。数学思想方法是数学的灵魂，数形结合思想是其中很重要的一种。几何图形的优点在于直观形象，便于理解；代数方法的优点在于解题过程的机械化，可操作性强，便于把握。数形结合的思想是一种基本数学思想，仅仅靠这一节课是肯定不够的，这节课只不过是通过两道例题的教学，把隐性的数学思想显性化，小学阶段很多内容中应当是有所渗透的。将具体形象的形和抽象的数结合起来，以形助数，以数解形，有益于提高学生的抽象思维能力，从而帮助学生更快完成从形象到抽象的过渡。这就要求教师认真钻研，掌握数形结合的思想方法，结合具体的教学内容渗透数形结合的思想。
1．借力概念教学，渗透数形结合思想
概念教学是小学数学教学中的重要内容，是形成数学知识体系的基础。但是对于小学生来说，数学概念是比较抽象的，因此，教师应当充分利用图形，将抽象的数学概念与形象的图形联系起来，从而揭示数学概念的本质，帮助学生建构概念。数形结合可以贯穿于概念的形成、理解与应用三个阶段，使学生从对表象的感性认识到抽象的理性理解。
例如，在教学三年级“小数的初步认识”时，可借助多种形式的图形帮助学生初步感知小数，感悟小数的意义。在知道了小数的读写之后，通过线段图，让学生自主地建立起分数与小数之间的联系，明确“十分之几还可以写成零点几”。
2．尽力规则教学，融合数形结合思想
规则教学是小学阶段数学教学中非常重要的一块内容，而且贯穿于小学数学的始终。但是很多教师在日常教学过程中，更注重学生对规则的掌握，而对于规则的理解不是非常重视，这样让学生只是在重复练习中单纯地记住规则，忽略规则的理解，不利于学生以后的数学学习，甚至会产生阻碍效果。在规则教学中融合数形结合思想，可以将抽象的规则简单化、直观化、具体化，从而帮助学生在理解规则的基础上掌握规则，实现数与形的相互交融。
在直观的图形的帮助下，学生能够轻松地理解算理，而且通过数形结合加深了记忆，有助于掌握算法，在理解的基础上掌握算法，高效而又深刻。
总之，数学是研究数量关系与空间形式的一门学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化，可以帮助理解各种公式，可以帮助理解图形的性质，可以借助表象发展空间观念，更好地展现知识的建构过程。当然，这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。在小学数学教学中，我们要注重数形结合，思画并重，这需要我们在平时的教学中有机地渐入细微，并不断研究渗透思画的策略，做到数形结合思想的提前渗透，有效落实。
主要参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社,2012.1.
[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.《数学课程标准解读》（2011版）.北京师范大学出版社. 2012.2
[3]虞建峰.数形结合的妙用——“数与形”教学实践与反思[J].小学数学教育,2014.10(70-72)