程绍青
杭州市临安区锦城第二初级中学（杭州市临安区体育学校） 311300
【内容摘要】 几何在中考分值中占很大比例，近年来中考几何难度逐年提高，对学生要求比较高，学生对几何的学习比较怕，如何在有限的时间内，通过复习让学生取得好成绩的同时也发展学生空间观念、几何直观、推理能力等。笔者制定”四度“设计教学模式，精选例题，设计好问题串，归纳数学思考经验，对复习阶段的教学设计进行了研究，希望能提升初三几何复习课的有效性.
【关键词】初三几何 复习课 四度设计 实践探究
一、课题的研究起源
（一）“举足轻重”的几何知识
几何在初中数学教学中所占的比例很大，是教学的重点，也是教学的难点；几何题目在中考数学试卷中出镜率一直很高，以近四年杭州中考数学卷分析，几何试题和卷面分所占的比例比较大，具体统计见下表：
年份 题号 总分值 比值
2016 2,3,8,9,14,15,19,21,23 50 41.7%
2017 3,8,10,12,15,19,21,23 46 38.3%
2018 5,8,10,12,14,16,19,21,23 51 42.5%
2019 3,6,7,9,13,14,16,19,21,23 54 45%
从统计表中可以看出，除了比例较大，几何题的题号在选择、填空和计算题中都是比较靠后的，也就是难度系数比较大的.对于比较简单的几何题，只考察其中个别知识点时，学生还是可以处理的。但是一旦几何知识综合性大，题目条件多或者当要求学生添加辅助线时，学生就不能很好解决此类型的问题。学生在学习几何的时候，不仅会觉得几何枯燥乏味，而且也会觉得几何难以攻克，失去学习数学的兴趣。
（二）“杂乱无序”的复习现状
数学中考复习是初中数学教学的一个重要环节，它是学生在学完了初中数学的全部内容后，进行一次系统的、全面的回顾与整理，以达到查漏补缺、深化对知识的理解和认识，落实高层次智能目标、促进学生智能迁移的目的。然而，由于复习教学往往是“面对老学生，复习旧知识”，所以“学生听得不新鲜，教师讲得很乏味”。[1]初三的数学复习方法往往就是订阅资料后，老师照搬照抄。笔者就所在学校的数学教师在初三教学的复习方法中做了调查，主要情况有以下几种：
1.以习题训练代替复习教学：有的老师认为在做不同的习题中就复习了与本题相关的知识点，因此在课堂上只是不停地进行习题训练，并没有带领学生进行几何知识点的梳理及复习。
2.以知识框架代替知识梳理：有的则认为知识点的复习不可缺少，应该系统地讲解，然而有一部分学生认为已经学过了，并不认真听讲，效果不如人意；有的则让学生先做“回归教材”等知识点回顾，然后老师针对性地讲解，可是学生兴趣也不是很高。
3.以解题数量追求教学质量：有的老师不停地让学生解题，一节课完成大量的解题训练，课后完成的题目更多，总觉得学生的成绩肯定能与解题数量成正比，从而通过题海战术达到教学质量的目标。
从上述两点中不难看出，在这么重要的几何知识复习中，我们大多数老师还是采用按部就班的老路在进行复习操，老师教得累，学生学的苦。笔者认为我们教师应该反思现有的复习模式，如何让学生在有限的时间里，在知识梳理过程中架构知识网，让新旧知识联系起来，形成知识体系。如何让学生在复习过程中对新旧知识碰撞，升华知识。基于这种情况笔者尝试“四度”教学实践模式，希望学生在几何复习过程中思维得到发展，能力得到提高。
二、几何复习课的“四度”教学实践
（一）制定新主题 成就复习的效度
1.切入口小 精准定位
复习课的目标不能是简单地列举知识框架，也不能以做题数量来衡量，当然更不能一言以蔽之，笼统地说“提高学生解决问题的能力”。笔者认为应该根据学生的具体情况，确定合适的起点，制定适合学生认知水平的主题，主题要小而精，通过知识的梳理、例题的选择和问题的设置，让学生学会数学思考和解决问题，提高复习课的有效性，提高效率。
初中几何知识众多，包括图形的性质，图形的变化以及图形与坐标.特别是在图形的性质里面，包括点、线、面、角，相交线与平行线，三角形，四边形，圆等基本图形，并且每个图形都有自己的性质.而我们复习的时间大概有100多节课，几何又可以占到50节课左右，这就要求我们每节课定好主题，做到精准定位，确保复习的实效性。
案例1：几何复习单元主题的确定
设计说明：本主题的确定并不是统统用形状来确定主题，而是在对称、度量等性质方面下进行形状的划分，在性质的统领下设计不同的单元主题，然后在该单元主题下再以不同形状加以区分。
2.目标明确 操作可行
教学目标是保证一堂课顺利有效进行的前提条件，是保证课堂教学质量与效益的前提，我们定的教学目标不应是空洞的、无法执行的，而是应该具体的、可测量的、有针对性的，可操作的。
案例2：矩形的折叠的教学目标
1、能根据教师下发的纸张进行折叠后，能画出图形经过折叠后的新图形
2、能根据折叠前后的图象，看出变换后的图形与原图形的对称不变性，找出相等的角和线段
3、能充分运用折叠的对称不变性，探索图形之间存在的关系，运用相关数学知识，如勾股定理、方程思想解决问题.
设计说明：此教学目标主要要求学生会画图、识图、用图，并且在每个目标都有具体的知识点的体现，具有可操作性。
3. 适宜学生 分层教学
由于不同学生对于知识的掌握程度肯定是不一样的，因此在同一个主题的学习中，应该根据学生的知识水平和差异情况，对不同的学生设计不同的问题，让每个学生在学习过程中，都有收获，都能获得成就感。
（二）设计新起点 奠定复习的高度
1.课前习题 反馈知识水平
虽然复习课往往是“面对老学生，复习旧知识”，但是随着学生的年龄的增长和心智的成熟，相比之前在刚刚学习新的知识的时候，也许之前觉得难的知识现在已经变得相对简单了，当然，肯定也存在有些知识虽然已经学习过，但是由于时间久远，加上用的少，已经记忆模糊或者遗忘了.那么如果能进行课前的习题作业反馈，就能掌握学生对旧有知识的掌握情况，便于有针对性的选择适合学生的习题。
案例3：三角形及其性质复习的课前习题片断
1.现有4根铝合金小棒，长度分别为30，40，50，60厘米，任取3根铝合金小棒首尾相接焊接，问能焊接出多少个不同三角形？
2.已知在一个三角形中，其中有两个角的度数和是第三个角度数的3倍，求第三个角的度数？
3.如图1,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为 .
4.如图2,在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=4，则S阴影为 .
（图1） （图2）
设计说明： 通过一组小、活、灵的课前习题测试，测试学生对三角形的基本性质，包括边的性质、角的性质、面积的简单计算，教师批改后收集问题，便于复习课上着重对于哪块内容进行强化有比较好的指引作用，也能了解学生的实际情况。
2.精选例题 回顾知识梳理
复习课往往从知识梳理开始，知识梳理不是知识框架的简单再现，或者性质定理的背诵，而是设计合适的问题唤醒学生的回忆，通过问题解决建构知识体系.在中考复习时，设计的复习内容和价值取向要符号中考要求，既要落实“四基”，也要兼顾适度拓展，注重对学生能力的培养.设计开放型的问题，也可以帮助拓展学生的能力。
案例4：平行四边形的性质及判定的复习片断
已知：如图3，E，F是的对角线AC上的两点，且 .求证：四边形BEDF是平行四边形.（请你附加一个条件，然后完成证明）
（图3） （图4）
生1：我添加AE=CF，由条件可知△ADE≌△CBF和△ABE≌△CDF 那么DE=BF，BE=DF，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可证明.
生2：老师，我觉得仍旧添加这个条件，但是只利用一组全等三角形即可，△ADE≌△CBF，由全等三角形可以得到DE=BF并且∠AED=∠CFB,再利用等角的补角相等得到∠FED=∠EFB，推出DE//BF，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 即可证明.
生3：老师，还是这个条件，但是连接DB会更简单，利用平行四边形的对角线互相平分，可以得到AO=CO,DO=BO，而已知AE=CF，则可以得到OE=OF，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 即可证明（如图4）.
生4：老师，添加DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线……
生5：那如果是高线，好像也可以……
……
设计说明：平行四边形的判定方法众多，如果通过PPT播放文字叙述，这几乎也是新授课的教学流程，连新课都没听进去，那么复习课中学生头脑中不会留下深刻的印象，学生需要做多少题才能真正地掌握这一知识点。而本例中的原题来源于课本八下《4.4.1平行四边形判定》作业题1，《4.4.2平行四边形判定》例2、作业题2和作业题3，设计了开放式的问题，它是基于学生脑中已有的平行四边形的判定方法，让学生通过不同的判定方法来回顾平行四边形的判定及性质，让学生能够唤醒头脑中的旧知，经历思辨的过程，自然而然地建构知识体系。
3.深入挖掘 开发习题资源
教师面对一个基本题时，应该思考，该题背后可以蕴含哪些几何知识，深入挖掘一个题的素材，抓住原题，对题目进行再创造，形成连贯通畅的整体，开发出一套习题资源。
案例5：三角形相似的习题开发片断
已知，如图5，在△ABC中, ∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足：
求证：
变1：求证:
变2：如果AC=2BC，求证：5CD=AB
变3：若AB的中点为M，求证：
变4：如图6,若增加“DE⊥AC于E, DF⊥AB于F,”
求证：（1）（2）
变5：如图7,若增加“CE平分∠DCB”,
求证：
变6：已知，如图8，在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，
求证： CE：BC=CF：AC
（图5） （图6） （图7） （图8）
设计说明：本题为九上《4.4两个三角形相似判定》的作业题1中的一个题，在学习相似三角形的时候，对于通过相似找到边之间的关系是一种常见的中考题型，也是学生学习相似三角形的一个难点.因此，为了拓展学生的思维，笔者设计了以上变式，通过对题目稍作更改，附加高线、角平分线、圆等不同条件，寻求线段之间的具体数量关系。
（三）重构新认知 拓广复习的宽度
1.用新知去体会旧知 重新架构知识网络
由于学生在学习新知识时，受知识储备不完善，考虑问题不全面，能力有限等，很难对所学的新知识有一个全方位的了解和认识，知识面还是单一的。当学生学习了后续知识后，这样可以对前面所学的新知识进行融汇、整理、编排、产生新的认识，架构知识网络，形成知识体系。
案例6：正方形的复习片断
已知:如图9,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.
求证:四边形EFPQ是正方形.
教师在完成这题的讲解后
问1：你能用它解释勾股定理吗？
问2：如图10，在直角坐标系中，已知一个正方形的顶点O（0,0），A（3,4），你可以求其余的点坐标吗吗？
（图9） （图10）
设计说明：用已学习过的正方形的知识去解释之前的勾股定理，去完成之前学习过的直角坐标系中表示点的坐标，其实都是用了课本中这个题的原图，这个图其实就是赵爽弦图。当然，在数学学习中，还有其他的迁移知识，比如在学习了比例线段后，可以比较容易地证明 “三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”；又比如学习了矩形的对角线相等且互相平分，可以用于证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等等。
2.注意知识“负迁移” 设计辨析予以区别
数学学习是一个逐级递进的过程，当学生拥有更多的知识时，难免会对前面所学的知识产生负迁移.比如当学生学习了菱形的对角线互相垂直平分，学生往往会认为“对角线互相垂直的四边形是菱形”等误解，这就要求我们平时几何教学中，要设计一些辨析训练题得以区别。
（四）提炼新经验 挖掘复习的深度
1.巧设问 提供思维空间
每节课的每个问题之间都形成层层叠叠的关系网，从学生的知识水平和认知结构出发，精心预设，循序渐进的启发式提问，给学生提供思维的空间，引发学生深度思考。
案例7：矩形的折叠的复习片断
如图11，在矩形纸片ABCD中，AD=6，AB=8，E为DC上的动点，把△ADE沿直线AE折叠使点D落在D’处，（老师下发A4纸）
①折叠后，你有哪些结论？
②若ACD’三点共线，你又可以计算出哪些线段的长度？
③若D’落在矩形的边上，则DE=
④若△ED’C为Rt△时，则DE=
（图11）
设计说明：从最基本的折叠开始，让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探索历程，让学生巩固并深刻领会折叠的本质在于轴对称，轴对称的本质在于保证了图形的全等不变性，涉及方程、相似等众多核心的知识与方法，这对培养学生“动态变化、数形结合、推理能力”等素养起到较好的聚焦作用.通过问题①的设计，让学生先回顾折叠的本质是在于轴对称，轴对称前后的图形线段、角、面积都是相等的.问题②和问题③，是在折叠过程中的某个特殊位置，通过勾股定理、方程思想可以帮助解决困难.到了问题④，需要学生利用分类讨论思想，去判断哪些角可能为直角，最后可以分成两种情况。
2.说思路 产生思维碰撞
如果每节课的目的仅仅是求解一道中考题或者一道综合大题的答案，教学的时间会节省不少，但学生是否真正地理解、掌握了这个题背后蕴含的这个类型的题的解法。教师不仅要关注自己的教，也要关注教会学生“说”，从说思路开始，让学生从学会到会学。
案例8：矩形的折叠的复习片断（教学设计同上案例）
师：你得到了哪些结论
生1：由于折叠，我可以得到折叠过程中的角度、线段相等，如DE=D’E,AD=AD’,
∠DAE=∠D’AE, ∠DEA=∠D’ EA, ∠D=∠D’=90°.
生2：老师，其实这些结论的背后都来源于,折叠前后的三角形全等.师：所以，在折叠的题中，我们应该看到折叠前后的图形是关于折叠的痕迹所在的直线前后成轴对称的关系。
设计说明：其实，第①问的设计，就是要让学生先体会折叠的本质，折叠前后的图形是不变的，可以从角入手，也可以从线段入手，此处，学生1说的是具体的线段相等，而学生2则进一步说出折叠的本质，两学生之间产生了思维的碰撞。
问题②、问题③和问题④此处不展开详细的课堂教学片断，接下来再来看看学生叙述问题⑤的叙述片断。
师：C D’是否存在最小值？
生3：老师，点D’在动，这个最小值好像一下子看不出来
生4：老师，我觉得虽然D’在动，但是点动起来好像有一定的规律，我知道了，由于折叠，点D’是由点D折过来的，也就是绕着AE折过来的，那么A D’=AD
生5：老师，点D’的痕迹是以A为圆心，AD为半径的圆弧
师：那我们现在看出点D’的痕迹了，但是题目让我们求的是C D’的最小值，是否可以与此联系起来？也就是说C D’与A D’是否有联系？
设计说明：求最值的问题一般是学生看着最头疼的问题，此处同样通过学生之间的思维碰撞，教师加以引导，最后学生自己解决问题，让学生能够把思路说出来，让做题的过程“说”出来，也是我们平时复习应该注意的一点，多让学生说一说，碰撞出思维的火花。
3.重小结 提炼思维经验
学生的经验是零散的、模糊的，教师需要帮助学生将这些经验进行梳理，使得经验明晰并且有条理。所以在教学中，除了要对基础知识进行回顾小结外，也要对数学活动经验进行归纳总结，使得学生养成小结、反思的经验。
案例9：三角形的性质的复习片断
(1)如图①,把沿DE折叠,使点A落在点A’处,若，求的度数.
(2)如图②,BI平分,CI平分,把沿DE折叠,使点A与点I重合,若,求的度数.?
题目分析，图②其实是由图①和图③组成的，而图③这个题最早出现在作业本等资料中，已知的大小，求.
复习过程中，第二小题错误率较高，要求学生订正前反思以下内容：
（1）本题运用哪些所学知识
（2）两小题是否有内在联系
（3）之前有没有做过类似的题型，或者包含做过的题目模型
在老师讲解完后应该让学生反思：
（1）运用了哪些思维方式、数学思想方法
（2）这题的难点在哪，是如何突破的
设计说明：平时复习中，若能把反思与总结当作一个经常性、自觉性的学习行为，.就会在不断地积累和总结基本的数学活动经验中，提高数学知识的运用能力.当学生能够说自己的感悟时，思维经验也就得到提升了。
三、关于教学实践后的效果与反思
（一）实效
1.加深学生对几何内容的理解：通过对几何复习课的研究，巩固了学生对几何的概念、性质、判定及定理的掌握，把这些零散的知识点，通过一个主题串联起来，形成了几何知识网络和知识结构体系，经历了知识的再现与发展过程。
2.提升了学生对于学习数学的兴趣：在以前的课堂中，比如一个几何题，是老师灌输给学生的，学生只是一个学习的机器，并没有主人翁的感觉，而在”四度“教学复习中，这样的设计是让学生自己进行梳理、归纳，让学生真正成为学习的主人，这样，学生对于学习数学的兴趣就提升了。只有内心喜欢，才会认真学习，用数学的内在魅力使学生从内心深初喜欢数学。
3.提升了学生数学思考、探究、归纳的能力：每一次几何复习的课堂，都要求学生自己去探究、归纳，每次设计的问题要求学生能经历充分的思考，能一题多解，并分享自己的方法。
4、促进教师的专业发展：初三的复习课通常枯燥乏味，教师通过不断研读教材，加深对教材的理解，设计好主题式复习课，让学生打心底里喜欢数学的几何学习，肯定是可以促进自己的专业发展的。
（二）反思
1.几何复习内容多、范围广，研究覆盖面小：本文只选取了初三几何复习的一部分重点内容进行设计研究，并没有覆盖全部几何内容，有待笔者今后继续研究。
2.教师自身专业水平制约着复习课的设计研究：每一位教师的专业发展能力不一，对于任何新生事物，也有着不同的理解.因此，教师的专业水平还制约着复习课的设计研究，这也要求我们教师本着谦逊的态度去学习。
【参考文献】
[1] 潘小梅.初中数学教学研究入门36问[M].杭州：浙江大学出版社，2017
[2] 高原.主题式复习在高三复习课教学中的实践与思考[J].延边教育学院学报，2017（12）：154-156