胡俊朗 骆语凭 华中治
（江苏大学 数学科学学院，江苏 镇江 212013）
摘要 本文分析了Sagemath数学软件对知识可视化，语义情景化，以及输出式学习三种教学方式的促进作用，并选取一些高等数学中初学者理解比较困难的极限、导数相关问题作为例子，进行具体的说明。在示例中，本文利用Sagemath中的作图、动画等功能，来帮助学生直观地、代入情景地理解高等数学的相关概念，并激发学生输出式学习的兴趣，最终提高了教师的教学效果和学生对教学内容的理解。
关键词：高等数学；SageMath软件；知识可视化；语义情景化；输出式学习
Abstract
This?paper?analyzes?the?promotion? of?SageMath?on the three teaching methods including?knowledge?visualization,?semantic?situational?teaching?and?output?learning. What’s more, it takes?some?problems?related?to?limits?and derivatives in?higher?mat-hematics which?are?difficult?for?beginners?to?understand??as?examples. The?examples illustrated below explains how the usage?of drawing,?animation?and?other?functions?of?SageMath helps?students?understand?the?related?concepts?of?higher?mathematics?intuitively?and?substitutively,?stimulating?students’?interest?in?output?learning,? and?finally?improves?the?teaching?effect and student’s understanding of the teaching content.
引言
教学由教学内容和教学方式组成，一切教学方式的终极目的是帮助学生更快更好地理解教学内容。根据学习科学理论，知识可视化，语义情境化和输出式学习是有效的教学方。知识可视化可以调动学习者视觉，降低知识的抽象性，加速学生脑中知识间的连接。语义情境化运用从具体到抽象的方法，通过例子巧妙创设情境，从而帮助抽象内容的理解。输出式学习则能够改变学习方式，变被动学习为主动学习，并提高理解知识的通透程度，有利于学生将表层的记忆理解内化为自己知识体系的一部分。数学软件SageMath可帮助教师在教学过程中有效实践上述三种方法。
SageMath是一个免费的、开源的计算机代数系统，涵盖了包括代数、方程，数论和统计等许多数学分支。该系统最初于2005年由Welliam Stein教授研发，最初的目标是创建可替代Magma, Maple Mathematica和Matlab的开源软件。本软件的一大特色是：不仅支持在Linux, MacOS和Windows操作系统上的本地安装，更在设计层面上融入了云计算思想，使用者可通过访问SageMath官，通过线上服务器，在线交互式使用，而无需将体积庞大的软件下载到本地后使用。
SageMath软件提供大量2D和3D绘图函数，可帮助教师进行知识可视化的应用。 软件使用Python软件编写，内置了众多计算机代数系统的软件包，为师生提供很多具体的例子，并且为学生提供了输出式学习的平台，帮助学生进行发现性学习。
SageMath还拥有简易的语法格式和简约的界面，是学生极易上手的数学软件。在教学过程中，鼓励学生亲自使用SageMath软件解题，能够提高学生探索问题的效率与编程水平。SageMath可以充当科学、高效的计算器，帮助学生简化繁琐的、不必要的计算过程，从而让学生独立探索问题本质的效率发生质变。同时，经过亲自动手编写代码的不断出错、修改的历练后，学生关于计算机学科的核心素养和关键能力也会得到整体提升。
下面我们举出两个实例，来分析SageMath是如何体现以上所说的几个性质的。
实例分析
【例一】
我们知道，遇到求某函数在某点处极限的问题时，传统的处理方法是：先分别求左极限和右极限，在左右极限都存在的情况下，再判断它们是否相等，若相等，则为所求极限，若不等，则所求极限不存在。
如果利用里可视化与计算的相关功能，作出函数在该点附近的图像并求出极限，就能够更加直观地理解这一概念，并得到可靠的答。
【步骤1】利用函数，通过分段作图的方法，分别作出分段函数在和时的图像
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图1：的图像
【步骤2】分析结果：从图像中可以看出，在处,因为的左极限（为0）不等于右极限（为8），所以该函数在处的极限不存在，为DNE（Does not exist）
【步骤3】若有兴趣的读者可继续尝试用里
1.limit(f,x=3,dir='direction')?(其中'direction'='left'/'right')???
语句来分别求出在处的左右极限，并比较它们是否确实不相等。
【例二】定义, 求其在处的n阶展开式
考虑用里函数来求在处的不同阶数的泰勒展开。
由于输出的泰勒展开式较为抽象，仅从多项式中不易理解其是如何随着阶数的增长，而逐步逼近原函数的。
考虑把多阶泰勒展开式与原函数画在同一张图像里，从抽象到具体，实现知识的情景化。
【步骤1】运用Sagemath中taylor
函数，得到在处的泰勒展开式。
1.order = 3
2.func = e^(-x^2)*sin(x)
3.taylor(func, x, 0, order)
输入以上代码，即可输出关于在处的泰勒展开式。其中order代表展开式的阶数，这里填写的是3阶，根据具体需要可以改动。
Taylor函数只能输出一个多项式。这个多项式是怎样逼近原函数的？逼近的精度有多大？这些都无从得知。SageMath则为解决这些问题搭建了良好的平台，为学生进行发现式学习创造了条。
如果我们能通过SageMath画出原函数以及泰勒多项式的图像，就能够实现语义情景化，通过图像创设的具体情境，认识到泰勒展开式逐渐逼近原函数的过程。
【步骤2】
设计函数show_taylor_series来完成这一目的。
使用该函数时，输入需要展开的函数、展开的点，以及展开阶数。输出原函数，泰勒展开，以及绘制的图像。
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【步骤3】
里的函能够制作动画。现在使用和调用show_taylor_series函数，使得每隔一定的时间图像变为及其更高阶展开式的图像,从而形象地反映出随着阶数的增长，展开越来越逼近原函数的趋势。此处以，即绘制的阶展开式图像为例。
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图2：（虚线）及其1阶泰勒展开式（实线）的图像
图3：（虚线）及其5阶泰勒展开式（实线）的图像
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图4：（虚线）及其10阶泰勒展开式（实线）的图像
在教学级数的过程中，不妨让学生自己设计像这样的一个函数，引导学生进行输出性学习。编写程序不仅可以加深学生对概念的理解；还能够改变学生的学习方式，变被动学习为主动学习；从而激发学生的学习积极性，达到较好的课堂效。
结语
信息技术正在快速的改变着学生的学法和影响着教师的教法，并为高等教育提供强有力的技术支持。SageMath软件为教师和学生提供了一个崭新的教与学的平台，为培养创新型、复合型和应用型人才、改革学生评价、促进学生“德智体美劳”全面发展提供了有力支持。
同时，教师将SageMath与传统的教学模式相结合，引导学生进行输出型学习、发现性学习，也适应了《深化新时代教育评价改革总体方案》文件提出的要求，贯彻落实了习近平总书记关于教育的重要论述和全国教育大会精神。
目前，SageMath应用数学软件正缺少相关的Lab Manuals进行注解与教学，还需要得到补充。
致谢
感谢江苏大学本科生科研立项（第19A272号）对本项目的资金支持。感谢江苏大学留学本科生英语授课精品课程《线性代数》（项目号：5551190057）对本项目的支持。
参考文献
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