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关于向量法在高中数学立体几何中的应用探析

发表时间：2020/12/17 来源：《中小学教育》2020年12月3期作者：李松

[导读] 作为一名即将迎战高考的高中生，学好数学知识对更好地迎战高考是非常有帮助的。但是，在于同学沟通、交流的过程中，了解到数学立体几何方面知识的理解和掌握是比较困难的，难以灵活的运用这方面知识解决数学习题，导致数学成绩不高。本文将总结自己学习经验，着重说明“向量法”在高中数学立体结合中的有效应用，希望能够给予同学一些帮助，使之更好地掌握数学立体几何知识，提高自身数学知识水平。

李松    安徽省肥西农兴中学
摘要：作为一名即将迎战高考的高中生，学好数学知识对更好地迎战高考是非常有帮助的。但是，在于同学沟通、交流的过程中，了解到数学立体几何方面知识的理解和掌握是比较困难的，难以灵活的运用这方面知识解决数学习题，导致数学成绩不高。本文将总结自己学习经验，着重说明“向量法”在高中数学立体结合中的有效应用，希望能够给予同学一些帮助，使之更好地掌握数学立体几何知识，提高自身数学知识水平。
关键词：高中数学；立体几何；向量法；应用
        向量是高中数学中很重要的一部分，并且早在初中的时候就已经对向量有了初步的了解。向量分为平面向量和空间向量，其之所以重要，是因为在解决许多问题的过程中都要用到向量。向量的应用范围是十分广泛的，尤其是在立体几何中的应用。
        一、空间向量在立体几何中的应用策略　　
        学习向量知识的重要目标，是“着重培养学生运用向量这一代数方法去处理立体几何中的问题能力”，把立体几何题中复杂的逻辑推理转化成空间向量的代数运算。加强几何与代数之间的联系，实现立体几何问题解题的程序化、模式化，尽量减少添加辅助线，从而把解题难度降低。使用空间向量方法来处理立体几何中的问题，首先，必须根据遇到的立体几何问题的情况，采用恰当的方式,把点、线、面等问题中涉及到的所有元素利用空间向量的方法表示出来，把几何图形和空间向量之间的联系建立起来。然后,利用空间向量的方法进行运算，证明出所有相对应的元素之间的关系(夹角和距离等问题)。最后，把运算的结果进行几何意义的解释,实现对立体图形问题的解决。如果几何图形中有较多的垂直关系,同时建立空间直角坐标系比较容易时,应该建立空间直角坐标系,利用相应的坐标把向量表示出来。如果几何图形中缺少垂直关系或者很难在几何图形上建立空间直角坐标系,可根据已知条件利用三个不在同一个平面的向量作为基向量,把空间向量利用基向量表示出来,并根据条件计算出这三个向量之间数量积和模数的关系。使用空间向量的方法解决空间角和距离问题时,可以不建立出空间直角坐标系。根据空间向量的基本定理,选取出不在同一个平面的三个向量当作基向量。同时，为了方便向量内积的计算,所设的三个基向量的模以及三个向量之间的数量积,已知条件必须给出或者可以根据所给条件计算出。空间向量方法将复杂问题简单化。例如，空间向量方法将复杂问题简单化：如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD⊥AC，∠ABC=60。，PS=AB=BC，E是PC的中点。
        图1
        （1）证明：CD⊥AE；（2）证明：PD⊥平面ABE；（3）求二面角A—PD—C的大小。
        采用综合推理的论证方法：
        （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD属于面ABCD，所以PA⊥CD，因为AC⊥CD，PA与AC相较于A，所以CD⊥平面PAC，而AE属于平面PAC，所以CD⊥AE。
        （2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60。

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，可得AC=PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC，由（1）可知，AE⊥CD，且PC与CD相交于点C，所以AE⊥平面PCD，而PD属于平面PCD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD，又因为AE交AB与点A，所以PD⊥平面ABE 。
        （3）过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，由（2）可知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角。
        二、平面向量在立体几何中的应用策略
        将平面向量应用于立体几何时，还应注意以下方面：首先，弄清坐标点的起点和终点；其次，当使用平面向量解决立体几何问题时，通常需要设置很多东西但是，不必求解所有点的坐标。通过添加和减去向量可以删除很多点。第三，遇到多解决方案问题时，必须解决问题并解决问题的答案。检查每个答案以避免出现根增长之类的问题。当前，在高中数学教育中，平面向量在立体几何中的应用变得越来越重要，平面向量与立体几何的集成度越来越高。向量源于图形，它和几何的关系本是 “鱼水” 关系。许多几何问题，都可借向量简单解决。例如实例分析：已知平面上的一个三角形，在已知平面上有一点，设的中点是，的中点是，的中点是．证明只有唯一的一点Ｐ使得  ，另外，设这点为时，求和的面积比。
        图2立体几何图解
        解析：取Ａ为始点，设，，，则，，，根据题意，。因此。由于 a 和 b 是确定的向量，所以是唯一的一个向量。设Ｄ是将ＢＣ内分为的点，那么， , 是将内分为的点，设，则，， , 。因此，。这里，向量加法和定量比分点起了关键的定位作用，具有其它方法所没有的优越性。使用向量法解决几何问题通常分三步完成。首先，将几何问题的条件和结论转化为向量问题，用向量语言表示，然后建立基本向量，并使用“基本向量”表示问题的相关向量。最后，通过“基本向量”得出推论，计算和解决方案结论。其中，“基本向量”的选择是否适当直接影响解决问题的难度，这是解决问题过程中的关键要素。至于将向量应用于立体图形的优势，将进一步讨论教科书和各种材料，并详细讨论各种问题。例如，已经证明共线（平面）问题，平行问题，垂直问题，角度和距离的解以及问题的存在几乎都可以用向量解决，这里就不再举例了。
        结语：
        其实，在做数学题的过程中，尤其是立体几何数学习题的过程中常常会碰到运用向量法解答习题的情况，学生们要想灵活的、有效地运用向量法来解答习题，就需要明确向量法使用的关键是设置向两坐标，将立体几何问题转变为平面几何问题，由平面几何问题转换为代数问题，那么立体几何问题就很容易解答了。
参考文献：
[1]陈伟基,蔡小青.核心素养下高中数学培养学生数学思维能力的策略探究[J].考试周刊,2020(97):69-70.
[2]王志庆.数学核心素养视角下高中解析几何的教学[J].高考,2020(36):122-123.
[3]孙少仙.数学实验在高中数学探究教学中的应用[J].教师博览,2020(30):55-56.
[4]钱海涛.数学有效思维课堂的构建探究[J].延边教育学院学报,2020,34(05):204-206.