鲁辉
四川省资阳市雁江区第一小学 四川省，资阳市 641300
[摘要]学科素养是数学的魂，知识技能是数学的形，只有形神兼备才是好的数学。中国的数学文化博大精深，源远流长。作为新时代的人民教师，有责任和义务把老祖宗的东西传承给下一代，既要知道传承什么，还要知道怎么传承。在教学中体现数形结合思想、变中不变思想、转化思想、方程思想、类比思想、分类讨论思想等数学思想与方法，这就是把学科素养落到实处的有效途径。
[关键词]数学文化；学科素养；数学思想
《数学课程标准（2011）》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。……通过对数学文化的传承和滋养，培养学生的核心素养，达到全面育人的目的。”
中国的数学文化博大精深，源远流长。作为新时代的人民教师，有责任和义务把老祖宗的东西传承给下一代，既要知道传承什么，还要知道怎么传承。数学学科素养是为落实“立德树人”总目标而设定的，那么，在教学中如何融入悠久的数学文化，又如何渗透学科素养呢？结合专家们的理论和自己的教学实践，我觉得可以从“整合教材→寻找例题→提炼三点（知识点、技能点、素养点）→落实素养”这四个维度进行。
“鸡兔同笼”问题是中国古代著名数学问题之一。早在1500年前，《孙子算经》中就有这个问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从笼子外面数，有35个头，从笼子下面数，有94只脚。问笼子中分别关着多少只鸡，多少只兔？
这个题目在多种版本的教材中都有出现，甚至在初中教材中也有，很受到编者们的青睐，说明它具有独特的地位和意义。原因在哪里呢？
第一，从显性的数学知识来说，它起着从算术到代数的承前启后的作用，属于老师难教、学生难学的一个题；第二，从隐性的数学思想来说，它是数学文化的代表，蕴藏着丰富的数学思想和方法，例如假设法、转化法、数形结合等，非常有利于学生的学科素养的培养；第三，从教学设计与实施来说，它对同类题目具有较强的启发和借鉴意义，学好一题可解千题，属于种子题类型。
下面就以“鸡兔同笼”问题为例，谈一谈在数学文化背景下如何体现数学思想方法，如何渗透数学学科素养。为了便于计算，将题目稍作修改：
笼子里有鸡和兔，有头7个，有脚22只，鸡兔各几只？
一、渗透转化思想
把新知转化为旧知，这是老师们常用的教学方法。转化思想是一种非常重要的数学思想，转化的目的就是化难为易、化繁为简，寻找新知识的根，寻找新旧知识的关联。我们可以用转化法来做鸡兔同笼问题，转化的流程包括以下四个方面：
1.假设。这里如果假设全是鸡，就该有2×7＝14只脚。
2.比较。14只脚比实际的脚数少了22－14＝8只。
3.调整。之所以少了8只脚，是因为我们把兔假设成了鸡，每只兔就少算了2只脚。怎么把鸡转化成兔呢？我们可以给4只鸡每只多长2只脚，那么就要长4次，就有4只鸡变成了兔，也就是8÷2＝4只兔，则鸡就有7－4＝3只。
4.检验。可以算一下鸡和兔的总脚数和题目是否一致，4×4＋3×2＝22只，说明计算正确。
最后还可以引导学生归纳，如果假设全是鸡，先求出来的就是兔；如果假设全是兔，先求出来的就是鸡，两种方法形式不同，但流程是一样的。转化的过程逻辑性较强，这种方法适合于中年级的儿童做，能够很好地培养学生思维的深刻性。
二、渗透数形结合思想
华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”、“复杂的问题要善于退，足够的退，退到原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍”。数形结合思想是最重要的数学思想，也是一种很原始的数学思想。我总结的是：容易上手，容易明白，适当后退，容易做对。
数和形是数学的主要研究对象，它们之间的联系十分密切，在一定条件下数和形可以相互渗透，相互转化。
数形结合思想主要有以下两种方式：
1.以形助数。以形助数就是借助图形的直观来帮助理解复杂的数量关系。这里可以先全部画成2只脚的鸡，再结合条件把部分鸡变成兔，非常地直观和形象，就算一年级的小朋友也能理解和掌握。
2.以数解形。以数解形就是利用数的精确与程序性来理解图形的属性。如果只看下面左图，虽然容易看出结果，但是思维的过程却不知道。我们可以配上对应的算式（如下右图），两种方法相辅相成，学生的理解就会很深刻了。
三、渗透变中不变思想
大千世界纷繁复杂，貌似没有规律，但是很多现象是周而复始的。变中不变思想能够培养学生“用数学的眼光观察世界”。在解决数学问题时，面对千变万化的对象，在变化中找到不变的性质和规律，这就是变中不变思想。在变中寻找不变，这是一种思想，也是一种能力。
仔细分析，不难发现题目中的鸡和兔的只数关系：1＋6＝7，2＋5＝7，3＋4＝7，……，变的是鸡和兔的只数，不变的是鸡和兔的总数，在由只数凑脚数的过程中，就渗透了变中不变思想。学生在二年级学了表内乘法后，就会做租船、租车这类方案设计题，其中就蕴含着变中不变思想。
四、渗透方程思想
方程的一个优点就是顺向思维，只要按照题目的表述顺序思考列式就成，这样就降低了思维难度。由于未知数参与了等量关系的构建，方程与算术方法相比，更加便于人们分析和解决问题，因而方程在解决实际问题中发挥了重要作用。列方程解应用题完整的解题过程包括：审题→设未知数→找等量关系→列出方程→解方程→检验→作答，重点是找出等量关系。
这里可以假设鸡为x只，则兔有（7-x）只，然后根据等量关系“鸡的脚数＋兔的脚数＝22条”列出方程。鉴于字母表示数比较抽象，这种方法更适合于高年级的学生做。但是很多高年级的小学生受算术方法的影响，不喜欢用方程解决问题。在学了用字母表示数后，教师要教学生有意识地用方程解决问题，体验方程的便利性，为初中知识的学习搞好衔接。
五、渗透类比推理思想
《论语》中“举一隅不以三隅反，则不复也”，讲的就是类比思想。类比就是在比较基础上进行的推理，是从特殊再到特殊的推理方法，也就是依据两种事物的相似性，用一种事物的性质去推测另一种事物也具有该种性质，类比也是一种发现新问题和获得新知识的重要方法。
日本人对鸡兔同笼问题也是早有研究，称它叫“龟鹤算问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”其实是一样的意思。乌龟就相当于兔子，都有四只脚，仙鹤就相当于鸡，都有两只脚，可以用前面的解题方法来做。还有三轮车与小轿车问题，不同面值的纸币问题，等等，看来鸡兔同笼问题中的鸡可以代表很多东西，兔也可以代表很多东西。
六、渗透分类思想
按照一定的标准把事物分类，再“分而治之，各个击破，综合归纳”，这就是分类思想。到六年级的时候，如果再来上鸡兔同笼，学生们的解题方法就会很多了，其中比较典型的应该有画图、假设、凑数、方程四种方法。如果将这四种方法分类，可以怎么分呢？
1.画图和假设可以分为一类。因为画图的每一步都可以和假设的每一个算式对应，比如画了14只鸡脚就对应2×7＝14，给4只鸡每只都添上2只脚就变成兔，对应8÷2＝4，所以这两种方法是一类的。
2.凑数和方程可以分为一类。因为凑数的过程其实是这样的：鸡1只兔6只，鸡2只兔5只，鸡3只兔4只，……，鸡x只兔（7-x）只，这就顺利过渡到方程的代数式，找到了两种方法的联系。所以凑数和方程其实也是一类的。
学科素养是数学的魂，知识技能是数学的形，只有形神兼备才是好的数学。米山国藏说：“就算把数学知识全忘了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭记在学生头脑中，长久地活跃于日常的生活中，使他们终生受益。”因此，在教学中，我们筛选文化底蕴深厚的数学问题，深度挖掘题目背后蕴藏的数学思想，并有意识地在教学中加以渗透，帮助学生逐步学会“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”，从而提升学生的数学学科素养。