浅谈应用题教学中的数形结合

发表时间:2020/12/22   来源:《中小学教育》2020年9月(上)25期   作者:张垚
[导读] 说到“数形结合”,我想到了数学家华罗庚的一句诗:数缺形时少直观,
        张垚
        山西省长治师范附属友谊小学  (山西 长治)  046000
        说到“数形结合”,我想到了数学家华罗庚的一句诗:数缺形时少直观,形少数时难入微。现在,借助最近在教学的《列方程解决问题》,我来谈谈我对“数形结合”在应用题中的理解。不足之处,敬请老师们批评指正。(文中的数均指:问题情境)
        一、数形结合是数与形的结合,不单单是用形理解数,在用形理解数之前,我们要先用数来理解形。
        我们对数形结合的理解是建立在用图形来描述一个情景,认为如果可以将线段图画出来,就可以把题目弄懂弄通。这个想法是正确的,但是问题是:如何才能正确的画出线段图?我们经常是出示一个问题,让学生根据自己的理解,试着画线段图。然后在学生画图的基础上,老师进行指导。这么做看似很合理。但问题是:学生在没有任何画线段图的基础上,就进行自己的摸索。这样的过程就像盲人摸象,以偏概全,老师最后的指导也是无源之水,因为学生的画图全凭自己对题目的理解,画图的规范化和合理化都不能保证,此时最可怕的事情就是先入为主,学生认为自己画的就能说明问题。所以,我认为,在学生自己摸索着画线段图之前,我们可以先出示规范的线段图,让学生去理解,并告诉学生:在数学上,我们称这样的线段图为……。
        比如研究:猎豹速度比大象速度的2倍还多30千米,教师可以先出示线段图,然后让学生说说自己对线段图的理解,然后总结出这个图表示的含义。那么学生在遇到:一个数比另一个数的几倍多几或者少几的时候,他就会自己套用进去。这样的引导是有合理的,因为学生看到这个问题情境中的线段图是这个样子的,那么他在画的时候就有一种积极的先入为主的概念。再比如:研究“和倍问题”(梨树是桃树的2倍,梨树和桃树一共120棵)的过程中,我出示线段图,本意是想引导学生:我们应该把哪个设为未知数x。预设是两个:桃树和梨树都可以,然后进行辨析,设桃树时候列的方程比较简单。但是实际课堂上,当我出现这样的线段图的时候,学生自然而然的就想到应该设桃树为x,这样梨树就是2x,本来是这个问题的难点,学生却很自然的说出来。这就是先入为主。这节课本来设谁为未知数就是一个难点,但是在出示线段图之后反而变的不是难点了。所以这里的线段图起到的不是给学生增加负担,而是帮助学生理解问题,那么学生再遇到类似的问题,他的线段图也会试着这么画。但是我们想通过形来理解数的意图,是达不到的。之后我出示:妈妈今年年龄是小明的3倍,妈妈和小明一共48岁,这个问题情境,没有用形去解释,学生才出现了设妈妈为未知数x,也就是设大数为x的想法。列方程:x+x÷3=48。可喜的是该同学自觉的用线段图来分析x+x÷3=48的含义,因为学生已经在刚才的问题中知道这个类型问题的图是什么样的,所以学生会模仿着用图去分析。
        因此,我认为,我们的线段图是帮助学生理解问题情境的,但是如果我们想让学生根据问题情境画出线段图,这就把“我们的线段图是帮助学生理解问题情境”的这个想法提前一步,提前到:我们要引导学生先理解所需要画的线段图。这就需要我们老师解决一个问题:线段图怎么理解?因此,给学生建立线段图模型,是很有必要的,也就是先给线段图,再理解线段图,最后模仿着画线段图。
        二、形是帮助了解数的,但是如果我们已经对数有了一定很深的认识,那么形可以省略,甚至画图会成为一种负担。
        我们的教学归根到底是解决问题的。我们应该为学生建立一定的“数”的模型,以便让学生在看到这个模型之后,不需要进行画线段图,就可以自然的想到这个问题情境讲了一个什么故事。

比如:猎豹速度是每小时100千米,猎豹的速度比大象速度的2倍还多30千米,求大象的速度?
        老师出示了线段图,也引导学生理解了线段图,然后学生根据线段图也列出了方程,解决了这个题目。但是解决这个题目的目的是什么呢?我们是要通过图去理解数,主体是数。因此我们就必须得借助图形这个脚手架,来沟通“数与式”之间联系,也就是建立模型。如上题,猎豹速度对应110,大象速度对应x,2倍对应×2,多30对应+30。这样的对应看似有些为了对应而对应,但是最本质现象可以体现出来:列方程解决问题是一种顺向思考,故事怎么讲,我们就怎么理解。以后学生再看到“一个数比另一个数的几倍多几”的问题,就不需要画线段图,顺着这句话:一个数=另一个数×几+几。这就是形的作用,因为它帮助了我们建立了数的模型。
        因此,我认为,图固然重要,我们会画图是一种技能体现。但是理解数才是我们的目的。我们更应该把图进行延伸,让图作为数与式之间的脚手架,帮助学生建立数的模型,这才是目的。
        三、既然数是我们的目的,那么当我们不用形就可以理解数的时候,我们是不需要形的。但是我们可以把形这个概念进行拓展,形不一定必须得是图,也可以是现实情景的模型,也就是题目的逻辑性。
        既然我们的目的是理解数,但是如果我们不需要形就可以理解数的时候,形是不需要的。这个时候我们可以通过基础的数向复杂的数进行过渡。比如:一些糖果,小明吃了3个,小亮吃了2个,刚好吃完,这些糖果一共有多少?在这个问题里,我们并不需要形,因为我们根据我们的生活经验,我们就知道:小明吃的+小亮吃的=一共的。在生活中这样的情境很多,体现在数学上就是一种模型:部分+部分=总量,这是基础。之后我们可以过渡到复杂一些的,比如:小明带了10元钱,买了一支钢笔用去6元,他用剩下的钱买了2本笔记本,每本笔记本多少钱?这个情景也是很常见的,学生可以根据前面的分析,也可以根据自身的生活经验进行列式,这里不需要形。我们可以再次加深,比如:小红卖了2套丛书,《科学家》2.5元一本,《发明家》4元一本,《科学家》丛书有4本,《发明家》丛书有多少本?有了刚才的基础,学生会容易的想到是:科学家的钱+发明家的钱=22。这里同样不需要形来帮助我们理解。
        综上,我想表达的是:如果我们根据我们的生活情境分析一个问题,我们就能知道这个问题描述的是一个什么故事,我们根据我们的生活经验就可以建立和理解数学中的一个基本模型:部分+部分=总量。那么我们是不需要形的,或者说,我们可以把形的形式进行拓展,不能单单认为是画图,更应该是通过某个具体的情景,也可以是临时想到或者精心准备的生动的生活例子。帮助学生理解数所表达的含义,进而建立数的模型。这先是一种由具体到抽象的过程,进而从抽象到抽象的过渡。
        四,数的结果是建立模型,用模型来理解数,所以模型是最终的目的。
        我们小学阶段研究的数,是一个一个具体的问题情境,具体的问题情境很多很多。比如数学中的“和倍”“差倍”“和差”问题等问题,虽然都是不一样的问题情境,但是它们的模型是一样的,一是部分与部分之间的关系。二是我们借助方程去解决这些问题,会发现这些问题的思路都可以转化成ax±bx=c或者x+(a+x)=b类型的方程上。解决一个一个的问题,这是具体的,我们应该想办法让学生解决的一个一个具体的问题,归结到一个抽象的模型上。
        总之,华罗庚所说的:数缺形时少直观,形少数时难入微。在小学解决应用题的过程中,我认为:我们借助的形更多的是线段图,但是我们也不应该忽视生活情境中的逻辑性;我们借助线段图帮助我们理解题意是目的,但是我们也应该思考如何保证学生能够正确的理解线段图,这就需要我们老师先画线段图,让学生分析每一部分的含义,再让学生模仿着去画;解决问题的结果就是建立模型,问题很多,归纳到一个具体的模型之中,可以帮助学生理解纷繁复杂的生活问题所体现出的数学本质。 
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