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辨析几组易混淆的函数题

发表时间：2020/12/23 来源：《文化研究》2020年11月上作者：陈宁

[导读] 函数题型较多，解法灵活，经常会遇到条件很相似，而不少同学在解题过程中因概念不清，忽视条件，考虑不周等原因导致思维混乱。

贵州省遵义市第十七中学陈宁 563000

       函数题型较多，解法灵活，经常会遇到条件很相似，而不少同学在解题过程中因概念不清，忽视条件，考虑不周等原因导致思维混乱。虽然条件很相似，但在理解及解题方法上却存在很大差异，若能将它们进行对比处理，在加深对题目的理解，题目的挖掘，审题能力的培养等多个方面，都是大有好处的。本文就对这几种易混淆进行对比归纳总结学习，希望能对同学们的学习有所启迪。
        一．函数的定义域
        例1：（1）已知函数f(2x-1)的定义域为[0,2]，求f（x）的定义域。
       （2）已知函数f（x）的定义域为[0,2]，求f（2x-1）的定义域。
       分析：f（x）的定义域是指x的取值范围所组成的集合，而复合函数f[g（x）]的定义域为x的取值范围，而不是g(x)的范围，弄清定义域的意义，便可求解。

二．定义域与值域

        小结：函数中有不少类似的似是而非的问题，要善于将它们放在一起进行辨析，本题在将对数符号去掉后转化成代数问题时，由于二次项系数含有字母，此时还不能说它是二次函数。因此首先要对二次项系数为0的情况进行讨论。这是较为简单而又容易忽视的问题。
       三．定义域与有意

小结：（1）给定函数的定义域，往往转化为解不等式处理，也可以借助不等式解集端点值恰好是该不等式所对应方程的根来求解。（2）若给定函数在某区间上有意义，则函数的定义域应包含所给有意义的区间，往往转化为恒成立问题加以解决。
四．值域与函数值变化范围

小结：当恒为非负数时，是指当自变量x在定义域内取一切值所对应的函数的每一个值必须大于或等于0，但不一定要求必须取到大于或等于0的一切数，而函数的值域为是指当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须能且只能取到大于或等于0的一切数。
五．有解与恒成立

六．对称变换

        七．向左与向右
        例6（1）已知函数f（x）是偶函数，求函数f(x+1）的对称轴。
        （2）已知函数f（x+1）是偶函数，求函数f(x）的对称轴。
        解：（1）由函数f（x）是偶函数，知函数f（x）的图像关于直线x=0对称，将函数f（x）的图像向左移动1个单位得到f（x+1）的图像，故f（x+1）的图像关于直线x=-1对称。
        （2）由函数f（x+1）是偶函数知，函数f（x+1）的图像关于直线x=0对称，将函数f（x+1）的图像向右移动1个单位得到f（x）的图像，故f（x）的图像关于直线x=1对称。
        小结：函数f（x+1）是偶函数，应当有
        f（x+1）=f（-x+1），而非f（x+1）=f（-x-1）
        八.主元与次元
        例7：（1）已知函数f（x）=x2+ax+1在[0,2]上f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围。
        （2）已知函数f（x）=x2+ax+1，当a∈[0,2]时，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围。