广东省广州市广东第二师范学院 1龚宇平 2吴焚供 510303
摘要:辅助函数是数学分析中命题证明的重要工具，其在微积分学中具有重要的地位. 本文针对辅助函数的概念，如何结合所需证明的命题条件构造辅助函数两大问题展开探讨；定义了辅助函数的概念，分析了构造辅助函数的一般性原则，对可作为辅助函数的函数类型进行归类，总结了一般常用的构造辅助函数的方法并对应分析了具体的例题，揭示了构造辅助函数所体现的数学思想方法以及对于解决一般数学问题的方法启示. 通过本文以期望对数学分析初学者以及学习研究数学的其他学者培养创造思维，开拓视野，提高分析问题和解决问题的能力能够有所帮助.
关键词：辅助函数；数学分析；中值定理；构造；化归
1.前言
在解决某些数学问题时，从条件出发往往难以得到或接近结论，此时采取避开直接讨论，从条件与结论的性质，特征出发展开联想，构造搭建中间桥梁，往往会取得更加便捷高效的成果. 辅助函数思想便是其中一种桥梁. 辅助函数作为一种实用型的数学工具，基于其本身灵活性，应用领域广泛等特征，难以对其形成系统的知识体系.
国内学者对其研究总体上分为两个方向：
其一为构造辅助函数对各类命题进行证明和分析，主要有对微分中值定理的应用，对积分等式与各类不等式的应用等. 另一方面，国内对于辅助函数的探讨多为对构造辅助函数的方法，原则等方面的综述与探讨.一部分文献专注于就某类问题如何构造辅助函数证明进行论述，另一部分文献则从概述的高度，阐述了构造辅助函数的一般性原则和一般方法. 其基本分为两大阵地，一是以微积分学为蓝本，二是以中学数学中高考题型为蓝本.自然，在中学数学阶段辅助函数的应用也极为广泛. 但实际上其思想方法一脉相承，同根同源.
前人对辅助函数的研究和探讨均十分深刻，覆盖范围全面. 但实际上亦有可研习补充之处. 一方面对于辅助函数的方法论总不够完备，对于例题引用多述于解析，而少对使用该种辅助函数构造方式的条件，命题特征进行补叙，对读者造成一定的不便. 另一方面，也鲜有文章对辅助函数所反映的数学思想方法进行剖析与迁移，亦可能导致读者较难建立完备的数学思想体系.
笔者在基于阅读前人优秀文献之上，以数学分析为蓝本，一方面，汲取众长，较为全面地对辅助函数的方法论进行总结综述，使用条件与命题特征，构造的方法步骤进行探讨，以期建立可一套较为可操作的构造模式. 另一方面，站在数学思想方法论的角度，剖析辅助函数构造所反映的化归思想，分析综合思想等，并以此探讨辅助函数对于解决一般的数学问题所给予的方法启示. 籍此期望对构造辅助函数的数学思想方法有更深入的剖析.
2. 绪论
2.1问题的提出
为讨论方便，我们不妨先对辅助函数方法做一个定性的分析说明：
所谓构造辅助函数方法，即是在解决某些数学问题时，依托于问题所给出的条件，以及已有的定理，对问题条件进行变形，等价转换，根据转化与归结等思想方法，构造一个具有某些分析性质的函数，进而利用所构造的函数进行分析推理，得到命题的结论. 构造辅助函数的过程本质是通过数学问题的条件将其归结为我们所熟知的容易解决的函数类问题，进而寻找原问题的结论的过程.
辅助函数是目前研究数学问题应用广泛，手法丰富，形式多样的思想方法之一.它的辅助功能为数学发展有着举足轻重的地位.我们不妨先观察一个例子.
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可以观察到，本例的条件“函数连续，二阶可导”对于其结论而言联系非常隐晦，而从其结论的结构上而言，颇有使用微分中值定理的韵味，但其形式上却不同于微分中值定理. 直接对考虑使用微分中值定理求证有一定的难度，但是若构造辅助函数再结合已知定理进而求证却是有迹可循. 本文将分别在5.7，5.10 讨论证明本例的三种方法.
至此,我们可以领略辅助函数的构造对于解决数学问题时的巧妙性与带来的便利，但同时，也正需要考虑到正是因为其具有灵活的特征，往往从事数学学习研究的人员对其进行把握是具有一定难度的，其主要集中表现在：
1、难以通过命题本身进行联想寻找合适的方法构造合适的辅助函数；
2、难以把握辅助函数本身的性质对命题的条件与结论进行联系；
3、容易忽略命题对辅助函数的某些局部限制条件；
4、容易忽略所作函数本身的局限性对命题证明产生的影响.
2.2行文结构与研究方法
为研究上述各类辅助函数构造问题，本文分四部分进行探讨，第一，基于数学分析，对定理，推论，命题等的证明时运用的各类辅助函数构造方法进行总结；第二，在领略其在完成证明是的必要性和便捷性同时探讨辅助函数工具使用的背景条件；第三，从命题条件出发对其不同的构造方法，适用范围进行分类与适当推广；第四，期望从辅助函数的构造目的出发探讨数学分析中常见的证明或解题的思想方法.期望能由此文，对读者建立更完备的知识体系提供帮助，起到抛砖引玉之功.
3.辅助函数的构造原则浅析
从宏观的角度而言，构造辅助函数的方法证明命题属于转化与划归的数学思想方法，这种思想方法在数学命题证明中时常使用.以下笔者借用一个框图的形式展现构造辅助函数工具解决问题与直接法解决问题的比较以及使用辅助函数解决问题的基本方针.
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利用图3.1所反映的信息，我们可以总结出构造辅助函数解决的题的一般性原则，而下述的构造原则，在第五章所述任何方法中均能全面展现.
一、直观性原则[10]；
所谓直观性原则，是指构造辅助函数需要具有清晰的表征. 一般有以下几方面：
1、其在图像上的特点. 如端点值相等；
2、其具有与命题相呼应的分析性质. 如连续性，单调性，极值点等；
二、可行性原则[10]；
通过图3.1我们可以大致把握所谓可行性原则应分两点：
1、构造辅助函数的方法必须能够从命题A的条件达到命题A的结论；
2、构造辅助函数后对于证明命题的思想难度必须较直接证明的方法低.
三、化归原则
化归原则是构造辅助函数方法的最重要原则，化即为转化，归即为归结，分为两点：一为化未知为已知原则，二为化复杂为简单原则.其一，在面对陌生命题证明时，选择构造辅助函数的方法需要使得所构造的辅助函数拥有我们熟悉的良好的性质或满足我们熟悉的定理的条件. 其二，在命题较为复杂时，我们可以采取通过恒等变形，引入参数等方法化繁为简，探索构造辅助函数，在必要时，亦可将命题做进一步深入挖掘，拆分为几个步骤，采用引理等方式构造不同的辅助函数分步解决以达到化繁为简的目的.
4.常用于构造辅助函数的函数类型
辅助函数的构造一般需要根据实际问题,具体问题具体分析，所以类型多样，方式灵活，对可做辅助函数的函数类型进行归类可以为在命题证明时构造辅助函数提供参考，具有价值尺度的意义.
4.1 Lagrange函数
在讨论极值问题时，往往我们将碰到如下形式的附有约束条件的极值问题.
在限制条件组
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的解.
定理4.1的证明参照华东师范大学数学系编著的《数学分析》[14]，这里不再进行赘述.
Lagrange函数是专业的解决条件极值类问题的辅助函数，利用Lagrange函数的“拉格朗日乘数法”具有非常好的针对性与可操作性.
4.2一致连续函数
在证明函数连续性或的命题或所证命题需要函数具有连续或一致连续性质时，我们可以采取构造辅助函数的方式，使得函数的性质更好. 我们除多用的逐点连续函数外，一般选择构造较逐点连续更强的一致连续函数. 一致连续的函数体现出连续步调的一致性为命题的证明将带来诸多便利. 而一般地，以下两种函数是一致连续的：
（1）闭区间上的连续函数必一致连续；
（2）Lipschitz连续函数函数必一致连续.
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4.3 变限积分函数
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变下限积分函数亦可同理写出.在处理积分等式或不等式类问题时，若被积函数为连续函数但其可微性未知，则构造变限积分函数是个优越的选择. 这有赖于求导将使函数本身的分析性质变差，而积分将使函数本身的分析性质变好. 尤其有微积分学基本定理的保障。
在构造变限积分函数时，我们尤其需要注意变限积分的变量取值范围.
5. 辅助函数的构造方法总结与应用举例
本章笔者着眼于辅助函数构造方法的总结与其实际应用. 在总结构造方法时，也着眼于其应用的条件，命题的特征分析.
5.1 延拓构造法
延拓构造一般为延拓函数端点，间断点以及无穷远点的定义，以期构造能够在定义区间符合题意要求的函数进而达到证明命题的目的. 一般情况下，延拓定义点的函数值多采用已知函数在该点的极限值，少数也将根据实际命题进行适当调整.
我们不妨考察个例子.
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上述例子展示了延拓构造法的一般手段，其主要考虑端点的取值调整. 延拓构造方法较为单一，多数应用于证明函数连续性尤其是一致连续性，以及零点存在性等命题，其偶尔也将视情况结合中值定理，介值性定理等辅助完成命题的证明.
5.2 作差构造法
作差法构造辅助函数的方式较为简单.多见于证明不等式，或与极值，最值相关等命题，也常见于证明零点存在性，连续性等命题. 偶尔需要结合微分中值定理作为辅助. 其构造方法一般采用将命题中的等式或不等式进行如移项作差，交叉相乘移项作差等恒等变换后直接构造的方式.
我们考察一个例子.
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一般地，在考虑使用作差构造函数方法证明一致连续或零点存在性的命题时，作差构造需要结合介值性定理，一致连续的判定定理等，如上述例子所讨论. 此外，亦需格外注意等式或不等式的变形处理，往往需要细微的变形调整方可观察到作差的方式.
5.3 积分法（或称原函数法）
积分法体现的是解决数学问题中的分析综合的思想.它的做法是先分析，由结论出发逆推，对等式求两边原函数，进而找到所需要的辅助函数，再综合，从辅助函数出发结合题设或已知结论，达到索要证明的命题结论的方法.
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对于Cauchy中值定理的证明完全类似于上述Lagrange中值定理，证明时应该观察其结论的结构进行适当通分处理，请读者自行证明。
华东师范大学数学系编著《数学分析》中对于上述Cauchy中值定理与Lagrange中值定理则另有他法（见5.8.1），而本文所讨论的积分法构造原函数相对而言更具有可操作性.
积分法多用于在利用微分中值定理求解介值，零点等问题，其命题的结论特征通常带有“存在使得某个关于或其导数的代数式能够成立”.可以由此推断其结论可能是某函数导数的零点等问题.
5.4 利用变限积分构造辅助函数
变限积分函数作为辅助函数其构造方式多样.在上述4.3中提到，其多数用于处理被积函数为连续函数但其可微性未知的积分等式或不等式问题，也常与中值定理相联系. 故而在命题结论有存在积分等式或不等式问题时，尤其是存在定积分的式子时，可以考虑利用变限积分函数作为辅助函数协助证明. 我们考察两个例子.
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利用变限积分函数构造辅助函数的方法在部分文献中亦称之为“参数变易法”. 结合上述例5.3可以总结变限积分函数构造辅助函数的方法的一般步骤：
1、对命题的等式或不等式中的某一积分限参量变易为积分变量；
2、整理处理，移项后得到辅助函数；
3、结合相关定理进行证明命题.
这里需要注意的是在变易某一积分变量时需要结合命题的实际需要，适当考虑需要进行变易的参量；另一方面亦需要注意参量变易的统一性.
5.5 常数变易法构造辅助函数
常数变易法[16-18]在部分文献中也称值法或常数法. 这种方法针对性较强，灵活度不大，故而是一种较为容易把握的方法.
这种方法通常针对于微分中值定理有关的命题证明，且其结论一般为导数中值与函数端点值相互联系的等式[16].
我们不妨考察两个例子.
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从上述例子可以观察到其针对的命题具有较为显著的特征. 故而可以总结常数变易法的一般步骤：
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偶尔我们碰到命题的结论具有二阶导数，若被证命题含二阶以上的高阶导数形式，使用本方法构造辅助函数往往需要考察其二阶微分方程是否可以降阶求通解. 但往往成效不佳，此时我们亦可以考虑使用Taylor展开式构造辅助函数的方式进行证明. 下面文章继续对这类命题进行讨论.
5.7 利用Taylor展开式
Taylor展开式在解决命题已知函数具有高阶微分（二阶以上）时体现的作用较为强大. 其作为函数的一种近似逼近. 一方面，使用Taylor展开式的难点在于其展开点的选取以及余项的把握，需要结合命题条件，分析命题结论综合判断. 另一方面，在构造辅助函数时，往往需要结合上述5.4所言利用变限积分的方式，结合其他定理等综合应用. 例2.1便可以利用Taylor展开式结合Darboux定理进行证明（方法一）. 具体证明过程如下：.png)
5.8直接观察法构造辅助函数
直接观察法是一种较为灵活的构造辅助函数的方法. 需要有较强的联想能力，丰富的创造思维. 其大体上可以分为以下两种：
5.8.1 图像直接观察法
图像直接观察法是指在对于某些命题证明时，可以考虑结合其结论的几何意义，做出符合需要的辅助曲线，再根据解析几何等相关知识寻找曲线方程，进而找到所需要构造的辅助函数[10].
例如，在上文中提到华东师范大学数学系编著《数学分析》 [14]中关于Lagrange中值定理的证明，便是使用图像直接观察法，利用曲线与端点连线所在直线作差，进而得到辅助函数满足Rolle中值定理条件以达到命题结论.同理于Cauchy中值定理的证明.
5.8.2 函数解析式直接观察法
函数解析式直接观察法一般从命题所给已知函数出发，观察推敲其所在的等式或不等式，自身的结构等特点，进而结合所需要证明的结论构造辅助函数.
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5.9 作Lagrange函数为辅助函数
在解决条件极值类问题时，我们采用Lagrange乘数法构造Lagrange函数作为辅助函数寻找驻点进而寻找极值.Lagrange函数可操作性十分强，应用范围集中在求多元函数最值，不等式等问题. 我们直接来考察下面这个例子.
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Lagrange函数应用解决的问题较为显著，多用于极值与最值得计算. 其作为辅助函数而言构造难度较小，但值得注意的是在使用时是否能够满足定理4.1的条件.
5.10 混合多种方法构造辅助函数
我们在证明命题时，由于命题条件的隐晦性与结论的复杂性，使得在构造辅助函数时，往往不单一使用一种方法构造，而需要考虑综合多种方法. 所谓法无定法，实际上无论综合何种方法构造辅助函数，都需要我们从命题本身的条件结构入手，在熟练基本的构造法后，进行具体问题具体分析.
这里还需要注意的是，本文所指多种方法不能仅局限于文章本章节上述5.1至5.9中各类方法，更需要结合所需证明命题的条件，综合分析，选择最佳的路径. 下面笔者继续展示例2.1的另外一种证明方式：结合Rolle中值定理、Lagrange中值定理、函数与方程的思想（方法二）.
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从这个证明角度可以见到，所谓“混合多种方法”不仅是考虑构造怎样的辅助函数这个角度，更需要考虑构造辅助函数的目的，是为了使得所证命题化归为怎样的一类问题，需要如何利用所构造的辅助函数这个角度.
6. 构造辅助函数体现的数学思想方法
构造辅助函数体现的数学思想方法是丰富的. 所谓万变不离其宗，掌握思想方法对于解决问题具有指导性的意义. 另一方面，深刻了解其思想方法是我们深入挖掘其内涵，并且能够扩充迁移到更加一般的数学问题中的先决条件. 以下笔者对构造辅助函数的数学思想方法进行一一叙述.
一、分析综合思想方法.
在本文3中叙述构造辅助函数的一般性原则中已经指出，所谓分析综合的思想可以形象地比喻为夹逼原理. 分析即为执果索因，从结论出发，假设结论成立的情况下寻找需要满足的条件，思想路径为“要证……需证……即证……”；综合即为由因导果，从条件出发寻找与结论的桥梁，思想路径为“由……可得……从而……即有……”.
构造辅助函数的方法体现这种分析综合的思想方法. 从结论出发得到辅助函数，为分析思想，根据得到的辅助函数从命题条件出发得到结论，为综合的思想，分析综合的思想方法为构造合适的辅助函数寻找证明的切入点提供了有利的思想工具.
二、化归思想方法.
化归是“转化”与“归结”的合称. 在本文3中已阐述辅助函数构造方法需要把握化归的原则. 其意义是指面对待解决的问题,我们利用某种转化的手段，归结为我们已知或容易被解决的一系列问题，通过解决这一系列的达到解决问题的目的.
辅助函数的构造便是某种转化的手法. 故而我们在构造辅助函数时，检验所构造的辅助函数是否合理的一重标准便是能否满足我们已知结论的条件，将需要证明的问题归结到我们熟知的转化命题中来，进而达到求证命题的目的.
三、函数与方程思想方法.
构造辅助函数在证明等式或不等式的命题当中，结合根的存在性定理，导数介值性定理以及微分中值定理，积分中值定理等命题，体现函数与方程的数学思想方法.
7. 结束语
辅助函数在微积分学中具有重要的地位与作用，其结合其他著名的定理展开的讨论涉及到方方面面的命题证明. 此外，在其他学科领域当中也展示着它的精彩. 它作为我们解题的强大工具同时，优秀的数学工作者们对它的研究前仆后继，取得了颇为丰硕的成果.
在我们研讨一般的数学问题时，辅助函数法给了我们一个可能可行的研究模式：两面夹击追根溯源，转化问题归结讨论. 可以说这类研究模式从最初接触数学开始就已经灌输，例子举不胜举，其贯穿我们研究数学的始终，但是正由于其构造性强，故而需要我们不断开拓视野，训练自我，提神思维能力，提高解决问题得能力. 笔者认为，有意识地刺激相对于无意识的训练更加有效. 如何做到有意识的刺激，首先归结于总结方法，题型千变，方法有限，而命题的证明如何万变也不离有限的方法. 故而总结为先，思考先行. 有了熟练的思想方法，如手握利刃，下一步才可以磨砺自我敏锐的感知以及洞察力. 针对每个命题，证明是其一，结论更为重要. 如此，一方面完善整个知识体系，一方面完善方法论，才可以看清问题的本质.
本文基于数学分析基础，浅析了辅助函数的构造一般原则，总结了其常用的构造方法，并具体举例说明，揭示了辅助函数所体现的思想方法与解题启示. 在体会辅助函数的便利性，可操作性同时，也感受数学构造思维的魅力，体现对思维能力的训练，对创新能力的培养. 希望能够给数学分析初学者以及广大读者带来帮助.
参考文献
[1]董姗姗,齐雪.辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用[J].通化师范学院学报,2019,40(08):22-25.
[2]吴丽崇，孙凤忠.辅助函数在定积分中的运用[J].衡水学院学报,2011,13(01):19-20+39.
[3]黄绍东.浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法[J].求知导刊,2015(15):134.
[4]刘心歌,唐美兰.积分不等式证明中的辅助函数方法[J].数学理论与应用,2018,38(Z1):76-79.
[5]陈红.构造辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学学习与研究,2015(13):99.
[6]李茂旺.积分上限函数在微积分证明题中的应用[J].江西科学,2017,35(06):846-847.
[7]石丽娜,邢丽丽.罗尔定理应用中辅助函数的两种构造方法[J].高等数学研究,2019,22(03):13-14+17.
[8]胡云学.《数学分析》中辅助函数的应用[J].科教导刊(上旬刊),2019(10):29-30.
[9]王鲁欣,李少军.浅谈高等数学中构造辅助函数的几种方法[J].中国教师,2014(S1):30.
[10]陈小亘.浅析辅助函数的构造及应用[J].湛江师范学院学报,2009,30(06):22-25+45.
[11]王德利.证题中引进辅助函数的几种方法[J].江汉大学学报,1995(03):55-59.
[12]刘再平.例析辅助函数法的模式与解题运用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2013(21):36-38.
[13] 梁志清，黄军华，钟镇权.研究生入学考试数学分析真题集解[M]. 西安：西安交通大学出版社，2016.
[14]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社,2010(第四版).
[15]张禾瑞，郝鈵新. 高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007（第五版）.
[16]司玉会. 微积分学中辅助函数的构造[D].南阳师范学院学士学位论文，2012.
[17]邱永利.罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法[J].数学学习与研究,2017(01):4.
[18]王鲁欣,李少军.浅谈高等数学中构造辅助函数的几种方法[J].中国教师,2014(S1):30.
[19]费定晖，周学圣. 吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，1987.
[20]李铨辉,王神华.道法自然 以道取法——探析构造辅助函数证明不等式[J].福建中学数学,2018(12):24-28.
[21]杨胜.辅助函数构造方法列举[J].数学学习与研究,2015(07):87-88.
[22]杨瑞强.构造辅助函数,简证三类不等式[J].河北理科教学研究,2014(02):18-19.
[23]张文亭.构造函数在导数问题中的应用[J].数学学习与研究,2015(13):105-106.
[24]王迎.浅谈数学分析中辅助函数的构造[J].科教文汇(中旬刊),2019(02):76-77.
[25]刘亚敏.浅析高等数学解题中辅助函数的建构[J].数学学习与研究,2014(09):75.
[26]潘敬贞,韩景岗,唐明超.巧构函数妙解抽象函数导数与不等式问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(21):45-48.
[27]董亚,魏定波.巧妙构造辅助函数 解极值点偏移问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(11):12-13.
[28]杨云苏.数学分析中辅助函数的构造及其作用[J].课程教育研究,2013(29):158-159.
[29]赵彦军,姜淑珍.谈数学分析中辅助函数的构造[J].数学学习与研究,2014(23):69-70.
[30]龙志文.微分中值问题中辅助函数构造的再探讨[J].数学学习与研究,2019(20):8-9.
[31]丁卫平,李敏,张再云,何帆.一类微分中值辅助函数的构造及应用[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2019,32(03):10-12+22.
[32]杨红莉,李士垚,于红,曾宪阳.与中值定理相关的辅助函数的一个构造法[J].南京工程学院学报(自然科学版),2018,16(01):66-70.
[33]钱吉林. 数学分析解题精粹[M]. 西安:西北工业大学出版社，2019(第三版).
[34] 陈志惠.根据微分中值公式构造辅助函数的3种类型及其方法[J].沈阳工程学院学报(自然科学版),2008(02):187-189.
[35] 邵光华.作为教育任务的数学思想方法 [M]. 上海：上海教育出版社，2009.