陆瑞花
广东省中山市坦洲镇明德学校
摘要：数形结合中的数与形是相辅相成，互相补充的，数可以利用形把抽象问题直观化，而形的属性变化又可以通过数准确标示出来。数指的是抽象的数字、符号、语言概念和数学逻辑关系等，形包含的是直观的图形、图象和位置关系。在数学解题中运用数形结合思想，通过数与形相互转换，优化知识间的结构，提高学生解题能力。本文通过分析二者关系，探讨实际数学解题中数形结合思想的互换应用。
关键词：数形结合思想；数学解题；实际应用
引言
数学是一门描述和记录数量、信息、结构和空间等方面变化的学科。同时也是开展现代科学技术学习和研究的基础。所以，学好数学，掌握数学学习的能力是必须而且必要的。在数学学习中运用数形结合思想的方法，可以有效提高学生的数学解题能力。数和形虽然是数学中两种不同的形式，但它们在数学学习过程中通过互相转换，相互进行补充，降低了知识的难度，数的抽象知识可以用形具体直观的表现出来，而形的性质和变化属性又可以通过数准确的表达出来，这种数形之间的转换结合，常常有以简驭繁的功效，更便于学生对知识的理解和掌握。
数与形的相互转换，大体分为两部分：一种是以形换数，把复杂的问题用简便的方法来解决；一种是以数描形，把繁杂的图形变化用准确的数量形式表达出来
一、以形代数，用简便的方法去解决复杂抽象的问题
在数学教学中，常常会用数学中的几何图形来解决代数的抽象概念和公式定理的推断。
（一）用图形的形式证明恒等式的成立
在应用数形结合思想解题的过程中，常会利用一些几何图形来验证恒等式成立。如果遇到的这类问题,其中涉及到了数的平方关系,通常都可以画出直角三角或圆,根据已知条件在图上构造题目相关图形线条,使问题的数量关系在图形中一目了然,解题思路豁然开朗。例如题目:A2+B2=C2,而且A、B、C、D都是正数，请证明:CD=AB.在解答这道题的时候,先读题了解题意,再看要求什么。根据题目的已知条件：A2+B2=C2,联想到学到的直角三角形三条边平方的关系,以及直角三角形斜边的高和三条边之间的关系,既勾股定理和欧几里德定理(也叫射影定理或第一余弦定理),先画出一个直角三角形,根据已知条件,利用图形、线条一步步进行勾画解答，把抽象的CD=AB数字关系利用具体图形直观展现在眼前，解题过程也变得清晰明了。
（二）用直观图形解答函数取值范围相关的问题
数形结合思想也常被用在求函数最值或值域范围的问题中，利用图形比较直观的特点能够使取值范围有具体的体现。例如，在二次函数的解题过程中，利用公式y=ax2+bx+c(a≠0),当a＞0，-3≤x≤3时，求函数y=2x2+x-3的最大值和最小值，看到题目，先在纸上画出对称轴图形，然后根据题目相应自变量的数值找出函数取值范围，图象的最高点和最低点就是问题中要求取最值。现实数学解题中，应用图形结合思想来进行抽象函数的解答，先画出坐标轴图形，根据已知函数关系在坐标轴上一步步确定相关函数的位置，最后求出问题的答案。
二、以数精准表形，揭示形的问题答案
在解答数学问题时，常会遇到有规律的图形问题，这种类型的题考查的是学生的观察分析和归纳总结能力，教师在平时的教学中要注意培养学生这方面的能力，引导学生通过观察和分析图形之间隐藏的规律，进行归纳总结，并且善于用数字的形式表示图形之间的隐含的规律，把进行规律性变化的几何图形数字化，能用精确的数字找出问题的答案。
例如，用长度相对的小木棍做一排棱形图案，每两个棱形之间共用一条边，做第一个棱形用了12节小木棍，第二个用了21节，第3个棱形用了30节，......,求做好第n个图形的时候一共用了多少节小木棍？（用代数式表示出来）
根据图形分析：第1个棱形12节，
第2个棱形，21=12+9=12+9×1
第3个棱形，30=12+9=12+9×2
第n个棱形，30=12+9=12+9×（n-1）
这道题的解题过程，就是应用了数形结合思想，以数表形的方式，用准确的数值把几何图形存在的规律完美体现出来，简化了问题的难度。
（二）以数表形，寻找函数问题的答案
以数表示图形各个空间位置的关系，是函数教学中运用数形结合思想解题的一种具体应用形式。这种应用方式，把函数数值之间的数值关系用数字的形式表达出来，使函数的问题解答过程详尽而且一目了然。例如，张丽利用暑假进行勤工俭学，到餐馆当服务员，工资是底薪+绩效，并且绩效跟出勤情况挂钩，20天以内绩效工资是一个标准，20天以上还有奖励，题目中给出了一个函数图象，Y轴表示张丽的月份总工资，X轴表示她的出勤天数，问题：
（1）分析图象，求出张丽的基本工资是多少元？出勤天数20天以下是每天绩效工资是多少元,15天以上又是多少钱？
（2）如果张丽的出勤天数达不到20天她能挣多少钱，列出它出勤天数和总工资之间的函数关系式。
（3）假如张丽希望6月份工资能达到2300元，那么她至少需要上多少天的班？
看到问题先读题，分析已知条件
（1）从函数图像分析得出她的基本工资和两种绩效工资数值，张丽的基本工资是每月b元，出勤20天之内每天绩效工资是k元，那么20天以上时，超出的天数每天绩效工资就是40元。
（2）通过分析图象的函数关系，当张丽出勤天数低于20天时，可以用y=kx+b的一次函数关系式来表示，因为这个函数关系的图象坐标是（0,b），（20，2000），从而得出y=kx+b这一函数关系式。
第（3）个问题也是通过函数图象进行分析，当张丽出勤20天以上时，写出横轴和纵轴之间的函数关系式，找到X轴20和30这两个点对应的函数图象的数值，带入预设的函数方程式中，就能求出问题的答案。
在运用数形结合思想进行数形关系互换解答的时候，要通过对函数图象的观察，首先分析图象各阶段的形状特征，从中挖掘隐含的已知条件，进而确定函数关系式，最后找出函数图象相应位置数据代入函数关系式求解。
结束语
数学教学中数形结合思想是相辅相成，密不可分的，二者通过相互之间的合理转换，互为补充，把数的问题转换成形的方式，可以把复杂抽象的问题具体形象化，使问题更便利被学生理解和掌握；反过来，利用数的形式把形的问题表示出来，又可以在学生解决形的问题的时候找到更加精确完整的问题答案，总之，数形结合思想可以有效提高学生的解题能力，对数学教学中教与学的双方都起到了不小的助力，教师要在实际教学过程中不断深入挖掘数形结合思想的新的应用方法，使之更好的为数学教学服务。
参考文献
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