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微积分课程模块化教学 ----不等式证明一题多解

发表时间：2020/12/30 来源：《教育学文摘》2020年9月26期作者：齐琼

[导读] 不等式的证明是微积分中的重要问题，也是各类考试中经常出现的一类问题

        齐琼
        （西北政法大学）

        不等式的证明是微积分中的重要问题，也是各类考试中经常出现的一类问题，虽然有很多应对不等式证明的方法，但要求原本就基础薄弱的文科学生把各类方法逐一掌握并熟练应用到具体问题中，还是有一定的难度。而一题多解恰好可以弥补这一问题，让学生开动脑筋，联系不同章节的知识，打破章节界限，既解决了问题，又将知识融会贯通，让学生逐渐产生学习兴趣，提高学习数学的能动性。本文对一个不等式选了四个不同的证明方法，希望通过这个问题的讨论，让学生加强高等数学的模块化学习，更好的掌握不等式的证明。

我们选了四个不同的方法解决这个不等式的证明问题，方法一和方法二是借助拉格朗日中值定理完成的。在这个双边不等式里，我们不难发现从左到右，同时出现了某个函数和它的导数，因此可以考虑中值定理，而拉格朗日中值定理正是解决这个问题的最佳选择，唯一需要注意的是辅助函数的构造。中值定理中辅助函数的构造是根据命题特点与需要，经过推敲与修正构造出来的，并且不是唯一的，所以本题选择了两种辅助函数来解决同一问题。方法如下：

方法四是借助函数单调性完成的。因为用单调性证明不等式是高等数学中常

用的方法，借助证明函数具有单调的性质，再讨论去不同自变量值时对应的函数值之间的不等关系。只是这个方法证明单边不等式居多，双边不等式如果一次不方便完成证明，可以将左边和右边分开来证。方法如下：

本文主要从不等式形式特点寻找证明不等式方法上入手，用四个不同的方法完成一个双边不等式的证明，虽然不等式的证明方法很多，但还是要因题而异，多思考，多比较，才能准确快速的找到证明不等式的解决办法。

参考文献
[1]吴赣昌，微积分（经管类），中国人民大学出版社，2017.7
[2]符丽珍，高等数学导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.12
作者简介：齐琼（1981—），女，汉族，陕西延安人，讲师，理学硕士，单位：西北政法大学经济学院，研究方向：高等数学教育理论
基金项目：西北政法大学教学改革项目（XJY201821）