雷骆芳
浙江省海宁市行知初级中学 浙江 海宁 314415
[摘要]初中几何的学习，学生更需要积极的态度和足够的耐心，学生通过对不同几何问题的探究与理解，尝试增加自己在解决几何问题时的画图意识，而这种意识的不断积累能够使学生的思维能力得到有效地提升，学习几何的热情不断地增强。笔者通过创设情境、例题精讲、类比联想等方式培养学生“精准画图”的意识，从而提高初中几何教学的效果。
[关键词]几何教学;精准画图;思维能力;意识
初中几何是中学数学内容的重要组成部分，而几何教学既是中学数学的教学的重点，也是教学的难点。教师的教与学生的学是相辅相成、相互依存的，学生学习几何的过程既漫长又痛苦，这更加需要他们有充分的准备、积极的态度和足够的耐心。为了让学生能够把几何学习顺利延续下去，我们在教学过程中对几何问题进行图形的理解和分析，并且做到“精准画图”,把问题解决在萌芽状态，使学生学习数学的画图意识逐步增强、几何分析能力得到有效提升。
一、何谓“精准画图”？
“精准画图”是指在解几何题时，根据题目中的不同要求，我们通过对题目的逐字理解和整体掌握，把题目中原有的图形分解为几个更为简单图形进行准确地画图，每一步画出图形的过程是为了解决从易到难的几个不同问题，清晰地展现出每个问题分析的具体过程，并且每一步画图过程都衔接地非常紧密、非常合理，通过这样的“精准画图”过程学生能更好地体会原图形的组合与形成过程。“精准画图”既是一种学习方法，又是一种教学策略，在实际的教学中，我们可以让学生进行不断地尝试。
例如：如图1，在⊿ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD=BD.求证：DC=DF.要证明DC=DF，我们可以顺利地找到DC与DF分别所在的两个三角形，并且证明这两个三角形全等，同时进行画图分析，根据原图形中的条件AD⊥BC、BE⊥AC、AD=BD成功地分解出图2，然后为证明三角形全等做好图形的准备，最后问题得到彻底解决，让学生的画图意识在简单问题中生根发芽。
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1.在创设问题情境中培养学生“精准画图”的意识
新课程标准明确指出：“教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识形成的过程”。好的情境可以很大限度地激活学生思维，促使其积极主动的状态投入新知的学习，实践表明，紧密联系学生的生活实际，创设贴近学生生活实际的教学情境，可达到激发学生学习动机的目的。[1] 而创设问题情境必须从数学问题出发，寻找适合学生的问题进行分析与解答。
例1：如图3，A、B两点在河的两岸，为了测量A、B两点之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C两点之间的距离是100米，∠BAC=1050，∠ACB= 450，则A、B两点之间的距离为_____________．
本题主要是考查解直角三角形的应用。可以创设以下问题：①我们需要先测量BC的长吗？②由于图中没有直角三角形，那么我们该怎么办？③如果要构造合适的直角三角形辅助线又该怎么作？带着这些问题，我们可以把⊿ABC从原图形中分解出来（如图4），由于∠BAC=1050，∠ACB= 450，则∠B= 300，因此，我们可以过点A作AD⊥BC，把⊿ABC分解为两个直角三角形来解决问题（如图5），在通过锐角三角函数的相关知识求出AB的长。
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创设问题情境既是学生接触实际生活中的数学问题的第一步，也是激发学生学习和探究兴趣的有效途径。一个贴近生活的例子，不仅能引发学生的认知冲突，还能拉近学生思维与数学问题之间的距离。[2]而数学问题教学的核心，围绕着问题的发现、思考和解决，学生能够在此过程中获取数学知识，达成数学领悟。 [3] 所以，好的问题情境不仅能够激发学生的学习兴趣，还能让学生的思维能力得到有效地发展。
2.在例题精讲变式中培养学生“精准画图”的意识
例题教学是数学教学的重要组成部分，是学生理解、掌握和运用数学概念、法则、性质、定理、方法、思想的重要环节，是学生将数学知识和技能转化为能力的途径和手段。高效的例题教学，不仅能使学生掌握运用数学基本知识解决问题的具体方法，反过来也会加深学生对基础知识的领会和理解，更好地掌握解题技能，促进学生数学素养的提高。[4] 美国著名数学教育家波利亚曾经说过：“掌握数学意味着什么呢？就是善于解题。”而例题教学的目的就是开拓学生思维，从中找出解题的方法和技能。
例2：如图6，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③
其中正确的结论是_____________．（只填序号）
本题主要考查全等三角形的判定、图形的旋转以及正方形的性质与勾股定理的综合运用。由于四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，利用正方形的边相等、角相等的性质可以得到⊿BCE与⊿DCG全等，从而我们可以分解原图并准确地画出图7，因此可以说明BE=DG，①正确；假设BE与DG相交于点P，连接EG，即要说明∠EPG= 900，然后分解出图8，并准确地画出图形，利用直角三角形两个锐角互余的性质得出结论BE⊥DG，②正确；最后利用勾股定理得到③也正确。
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例题变式是指教师有目的、有计划地更换命题的非本质特征、变换问题中的条件或结论、转换问题的形式来进行教学，促使学生掌握对象的本质属性的一种教学方式。其实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动发展能力。[5]
拓展1：如图9，对于例2，如果其他条件不变，结论④S⊿BCG = S⊿DCE成立吗？
拓展2：如图10，对于例2，如果其他条件不变，过点C作CM⊥BG，再延长MC交DE于点N，结论⑤DN=EN成立吗？
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变式1：如图11，⊿ABC与⊿CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点P，连接AE与BD，给出下列结论：①AD=BE；②∠BPD= 1200；③ S⊿ACE = S⊿BCD
，其中正确的结论是_____________．（只填序号）
变式2：如图12，五边形ABCDE与五边形EFGHI都是正五边形，AF与DI相交于点P，连接AI与DF，给出下列结论：①AF=DI；②∠APD= 1080；③ S⊿AEI = S⊿DEF，其中正确的结论是_____________．（只填序号）
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通过以上的拓展变式，学生能够明确解决问题的方法和思路，并且能成功地运用“精准画图”模式思考问题，从而巩固学生的画图意识。总之，通过变式训练让学生以多角度分析同一个数学模型，深化学生对知识的理解，培养学生的发散思维能力，让学生充分应用所学的知识解决同一个问题，把握知识间的纵横联系，形成一个完整的知识体系。[6]
3.在问题类比联想中培养学生“精准画图”的意识
所谓类比其实就是比较，它是一种思想方法，是一种推理方式，同时还是一种学习策略。首先，懂得运用类比方法就必须注重知识结构的完整性和整体性，了解知识间的异同点，把握探究分析的关键点；其次，懂得运用类比方法就必须注重知识的差异性，需要创设类比情境，通过尝试、分析、猜想、雷比和验证等建立起新旧知识的联系，从而实现举一反三，一通百通；最后，懂得运用类比方法要增强知识探究活动的过程性和反思性，并在各种数学学习活动中灵活运用类比方法，以质疑、判断、比较和推理学习数学知识。
诚然，注重学生画图意识的培养，想象力是必不可少的。爱因斯坦早就鲜明地提出了“想象力比知识更重要”的观点。学生想象力的锻炼是其创新能力的基础。因此，学生在解决问题中进行类比联想为培养“精准画图”意识创造有利条件。
例3：（1）方法选择
如图13，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB=BC=AC，
求证：BD=AD＋CD
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD，然后连接AM…；
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN=DA…．
请你选择一种方法进行证明．
（2）类比探究
[探究1]，如图14，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，若BC是⊙O直径， AB=AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
[探究2]，如图15，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，若BC是⊙O直径，∠ABC= 300．则线段AD，BD，CD之间的数量关系为___________．
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本题主要考查边与角的关系、等边三角形和直角三角形的性质、构造辅助线以及相似三角形的判定与性质、圆的基本性质的综合运用。由于题目中的图形非常多，因此我们必须抓住个图形之间的相似之处进行画图与分析。而要分析出解题方法可以从第（1）题开始进行研究与尝试，经过多次尝试后选择在DB上截取DM=AD，连接AM（如图17），再有等边三角形和全等三角形的性质可得BM=CD，
DM=AD，所以BM＋DM=AD＋CD，即BD=AD＋CD，第（2）（3）（4）题可以利用类似的方法进行辅助线的作图（如图18、如图19、如图20）。最后再利用等腰直角三角形和直角三角形以及相似三角形的判定与性质得出相关结论：（2）BD=CD＋AD；（3）BD=CD＋2AD；（4）BD=CD＋AD 。
虽然知识的理解离不开平时的积累，但是通过“精准画图”学生能够深刻体会到解决问题的优越性，让画图体验更加深入人心、让画图意识得到有效培养。
三、结束语
总之，学生“精准画图”意识的培养，是一个不断反复，逐级递进的过程，教师只有把握适当的时机，将实践活动作为载体，采用创设问题情境、例题精讲变式、问题类比联想的方法培养学生学习几何“精准画图”意识。张奠宙先生指出：数学有原始形态、学术形态、教育形态三种形态。教学任务在于把数学的学术形态转化为教育形态，而数学画图意识的教学在于站在学生立场去涉及问题，从教育的角度版主学生理解节本图形，在分析图形解决问题过程中有迹可循，有明确的解题方向，真正帮助学生实现解法自然、优化，更好地感知几何图形，领会数学，养成良好的思维品质。让学生在思想上愿意接受“精准画图”的学习方式，为学生今后立体几何、解析几何的学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1]王德昌．数学课堂教学怎样联系实际[J]．数学教学研究．2018（1）：37
[2]朱彩华．初中数学“生活化”教学策略浅析 [J]．数学教学通讯．2019（1）：71
[3]朱海燕．指向思维发展，创设有效数学情境[J]．数学大世界．2020（15）：37
[4]许芬英．“浙江省中小学学科教学建议”案例解读——初中数学 [M]．浙江教育出版社．2015：132
[5] 许芬英．“浙江省中小学学科教学建议”案例解读——初中数学 [M]．浙江教育出版社．2015：141
[6]郭建华，张云飞．立足数学抽象素养 培养为题意识 深度提升“四能”——以“一道向量题多解”教学为例[J]．数学教学研究．2019（1）：27