陆爱英
杭州市富阳区富春大青小学 311400
【摘 要】几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题，是《数学课程标准（2011版）》提出的十大核心概念之一。借助恰当的几何直观，能够启迪思维，揭示概念本质；搭建桥梁，形成良好的知识结构；明晰思路，解决实际问题；降低难度，突破教学难点；多角度思考，增加解题策略；渗透数学文化，提高数学素养等。借助几何直观使学生最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。
【关键词】几何直观 有效 数学素养
几何直观是《数学课程标准（2011版）》提出的十大核心概念之一，将原先的“空间与图形”改为“图形与几何”，对学生在这一领域发展的关键词由原先的“空间观念”修改为“空间观念”和“几何直观”。而“几何直观”方面的要求原先是在2003年版的《普通高中数学课程标准》中提出的，将这一要求下移到小学数学课程标准中，可见几何直观在小学生的整个数学学习活动中同样发挥着重要的作用。
一、几何直观的认识及意义
《标准（2011版）》中指出：“几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。结合直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习活动中发挥着重要的作用。”几何直观凭借图形的直观特点将抽象的数学语言语直观的图形语言结合起来，把学生的抽象思维和形象思维结合起来，充分展现问题的本质，有助于学生探索问题、发展数学思维，突破教学的难点。
1．几何直观是一种特殊的数学直观
对于数学直观，当代著名数学家徐利治教授提出，“直观是借助于经验、观察、测试和类比联想，所产生的对事物 认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。通过直观能够建立起人对自身体验和外物体验的对应关系。
所以，几何直观是一种特殊的数学直观，是指借助于见到的（或想象出来的）的几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。
2．几何直观在课堂实践层面的意义
在《标准（2011版）》中，增加了许多处借助几何图形了解或理解概念及运用几何作图解决问题的内容目标。同时，由于这一阶段，许多重要的数学内容和数学概念具有“数”和“形”两个方面的本质特征，因此学生学会同时从这两个方面去认知这些数学对象，借助几何直观显得尤为重要。
（1）寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节
几何直观能将抽象的数学对象直观化、显性化。对于刚接触到数学的儿童而言，借助恰当的图形、数学模型能够启迪学生思维，有利于学生描述和分析问题，通过形象的图表，有助于学生发现和描述问题，也有助于探索和发现解决问题的思路，使他们把抽象的问题变简单，体验和感受数学发现的过程，从而不断地形成良好的数学观。
（2）借助几何直观，是学生良好的创新思维活动的开端
在数学教学活动中，引导学生凭借几何直观理解的有关数学知识，开展的数学活动，不仅仅是引导学生深化理解知识，而且能够不断地培养学生一种思考问题的方式，即借助简洁的、直观形象的载体，灵活有效地把复杂的问题化简，这也正是数学创新思维活动。借助几何直观进行思考，已经成为一种很重要的研究策略，在数学的学习、发展中起着不可替代的作用。
3．几何直观与空间观念、数形结合的关系
（1）空间观念（即空间想象力）是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想出所描述的实际物体。空间观念是对图形的告知，包括对图形进行保持、再认、回忆的过程，在这个过程中人对头脑中的表象进行改造并创造出新形象的过程。具有良好的空间观念对发展几何直观能力会起到积极的作用。两者在几何活动中共同发挥着作用。但是，两者之间各有侧重，
（2）数形结合包含着“由形到数”和“由数到形”两个方面。在数学的教学过程中，数学结合已经成为大家经常谈论的基本数学思想和方法。因为涉及到图形和数量这两个基本的对象，使得数形结合在运用图形表示数量关系和用数量关系解决图形问题时，更多的是以具体的策略和方法出现的，数形结合呈现出的是解题化的倾向。
几何直观中含有数学几何中的“由形到数”的这一方面，但又不仅仅是“由形到数”，还可以是由形到其他的数学领域问题。几何直观中说运用的图形也同样是多种多样的，可以是一些基本的平面图形，也可以使一些不规则的平面图形，还可以使一些立体图形等。借助这些图形所描述的问题的范围也是很宽泛的。因此，几何直观既是一种方法，又是人们在运用这种方法时的一种能力。
二、几何直观的表现形式
结合小学数学教学的实际，在小学数学教学中，几何直观有四种具体表现形式。
1．实物直观
实物直观，就是实物层面的几何直观。借助于实际世界中实际存在的物体，帮助建立起与需要研究的对象之间发生关系，对研究对象进行更简洁、形象的思考，从而对研究对象有更深刻的认识与判断。
2．简约符号直观
简约符号直观，就是指在实物的基础上，借助符号对实物进行一定的抽象，说形成的半符号的直观。
3．图形直观
图形直观，以明确的几何形体，如三角形、长方形、正方形、圆等为载体的几何直观。
4．替代物直观
替代物直观，是指运用简洁的直观图形，或借助语言等形式表象出来的几何直观，它也可以是实物直观、简约化直观、图形直观等的综合性运用。
几何直观的四种表象形式，实物直观是以现实中的实物模型为载体，能比较直观的表现出某些数学对象的特性，因此属于最低级的抽象。而替代物直观，是在现实基础上的进一步抽象，或者是对其他三种表现形式的综合运用，属于较高级的抽象。
三、几何直观在数学课堂教学中有效的运用
在多数的情况下，数学的结果是看出来的。而这里的“看”就是一种直观的判断，这种判断是建立在学生长期有效地观察和思考基础上的。在小学数学教学中，有效的运用几何直观，培养和不断提高学生的几何直观水平，是数学教学的一个重要的价值追求。
几何直观不仅仅是在“图形与几何”的学习中所需要，在整个数学学习的过程中都发挥着重要的作用。教学中必须加强学生对图形的认识、理解、感悟能力，培养学生能从图形中直观地提取图形所反映的信息，直观地感悟到一些结论，利用图形“合情推理”推出一些显而易见的结论。
1．借几何直观，启迪思维，揭示概念本质
小学生的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，揭示概念的本质。
如在认识平均数的概念教学中，可以借助恰当的几何直观，帮助学生理解平均数的本质特征。
出示：篮球比赛——双方人数不同，5名男生，4名女生（教师出示课件，显示投篮结果）
第一组 第二组
张 李 刘 郑 汪 周 许 陈 林
师：哪位男生投得最多？哪位女生投得最少？（李姓男生最多，许姓女生最少。）
师：谁投得最多？谁投得最少？（林姓女生最多，许姓女生最少。）
师：如果让5名男生围一小组，4名女生为一小组，你认为那一小队能够赢，为什么？（学生独立思考，小组讨论，并进行激烈的争论，有的认为是男生赢。）
师：大家同意男生赢这种观点吗？
生：第一组男生人数多一人，用总个数来比对女生不公平。人数多自然投得相对会多一些。
师：同意吗？有没有更好地办法来比较呢？
生：可以比较最多的，女生做多的可以投9个，而男生只能投7个，我认为可能女生会赢。
师：这个方法同意吗？公平吗？（交流讨论，认为用每组中平均每人投的个数来比较，才是公平的。）
师：刚才我们都赞同用每组中平均每人投的个数来比较，请大家拿出学具袋中的圆片，用一个小圆片代表投中一个球，和课件上一样摆好。想一想，如何移动你手中的圆片，让每对中的每个人都同样多？（生很快的把每组中的多的补到少的上去，男生每个都变成了5个，而女生每个都变成了6个。）
师：这里的“5”是男队中某位队员实际投中的成绩吗？它代表了什么含义？
上面的片段中，借助替代物来表示“篮球图片”，学生很快理解了在人数不同的情况下，用总数进行比较是不公平的，用平均数比较更公平，而采用用“移多补少”的方法，让学生通过移动圆片理解了平均数，帮助学生在操作中理解了平均数的真正含义。
我们在认识整数、分数、小数及其加法、减法、乘法、除法的运算时，教材都是借助直观的几何图形帮助学生理解抽象的数概念。生动、形象的图形能将枯燥的数学知识直观化、形象化、趣味化，让学生感觉到所学的知识是“具体实现的，亲身体验的眼睛看到的或是感觉到的，甚至是想象的”，从而获得“学习有趣”的情感体验，进而引导学生进行探索，将兴趣逐渐转化为内在动力，达到认识概念本质的目的。
2．借几何直观，搭建桥梁，形成良好的知识结构
“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观能使复杂多样的分类变得简单明了，几何直观能使学生更加深刻的理解数学不是杂乱无章的，而是由一定的联系和规则的。
如分数乘整数，从计算方法上来说，简单易记；从算理上来看，借助于加法，学生理解起来也非常的简单。在教学中，类似的内容还有很多，面对这样一些可以不必深究的内容，是否可以简单带过？
出示下图：
师：每一个正方形后面都藏着一个物体，掀开正方形看一看，你能用什么算是来表示？
生：用7×3=21或7+7+7=21
师：用哪种方法更加的简便？为什么？
生：用乘法计算更加简便，求几个相同加数的和的简便计算。
师：我们在看看正方形后面还藏着什么图形？（依次出现线面的图形，学生列式。
并说说自己的想法）
70×3=7×3×10=21×10=210
0.7×3=7×3×0.1=21×0.1=2.1
0.07×3=7×3×0.01=21×0.01=0.21
×3=2×3×=6×=
师：观察以上的图和式，你发现了什么？它们的共同的地方是什么？
师：想一想，图形后面还可能藏着哪些分数？你能列式，再算一算吗？
总结：在计算分数乘整数时，我们应该怎样计算？整数乘整数、小数、分数在计算中，计算方法有什么相同之处？
从上述的案例中，借助几何直观，从另外一个视野来搭建了知识之间的桥梁，拓宽了教学思路。其实整数乘整数、小数、分数，都是先要计算出游几个这样的单位，然后再计算出积是多少，方法时相同的，知识单位发生了变化。从学习活动中，引导学生发现计算方法的统一性，学生更加容易的会将学习的内容顺应到已有的知识结构中。
数学学习活动是一个具有联系性的活动，数学学习的内容应该重视学生的数学经验的积累，让学生形成良好的认知结构，了解并理解知识之间是相互联系并相互作用的。
3．借几何直观，明晰思路，解决实际问题
对于一些抽象的数学问题，可以借助于形象的几何直观，把抽象、复杂的数学问题有效地转化为直观、形象的图形。学生能有效地根据自身的知识和经验，借助几何直观，对问题进行进行分析和整理，明确所隐含的信息和所需要解决的问题，准确、简单的整理出解题思路，从而提高解决问题的能力。
如在学习《公因数和最大公因数》一课中，可以引导学生，借助几何直观，明确需要解决的问题。
师出示问题：有一间长16分米，宽12分米的储藏室要铺地砖，为了能整齐美观，你认为边长铺几分米的比较合适？（地砖的边长为整分米数）
生：独立思考并和同桌进行交流讨论（师引导学生可以借助图形来理解）
全班交流，师出示由代表性的图示：
引导学生观察并交流：铺地砖的边长可以使多少分米？说一说你是怎么思考的？
讨论：地砖的边长，与长方形的长、宽分别有什么关系？
得出：其实就是求12和16的公因数有哪一些？
利用几何直观，教师很快就帮助学生理清了思路，让学生理解了求地砖的边长，就是求长方形长和宽的公因数。特别是在让学生自主作图理解中，学生运用直观化的工具，把抽象的数学问题有效地转化为直观、形象的图形，解决问题的思路更加的一目了然，不同层次的学生也能通过直观更加深刻地掌握方法。
4．借几何直观，降低难度，突破教学难点
在知识的习得的数学学习过程中，学生的数学思维如果受到了障碍，很容易就形成知识的难点。怎样把这些难点进行突破，把知识的学习的重点更加深刻的印入学生的脑海，几何直观能够将难点、重点进行突破，把难点知识更形象化、直观化，将复杂的难点突破。
在乘法的运算定律的习得中，我们总是会发现，学生对于乘法分配律的规律的探究并不是难点，引导学生能够正确的把规律表达出来才是教学中的难点。
笔者曾对自己教学的两个班级中95名学生进行过关于乘法分配律的规律表达的研究，情况如下：
表达形式 人数 百分比
借助语言 41 43.16%
借助字母 32 33.68%
既能借助语言又能借助字母 9 9.47%
可见在乘法分配律的教学中，我们不妨借助几何直观，特别是对乘法分配律的规律表达中，我们更应该借助形象的图形，引导学生进行尝试，以突破难点，降低难度。
知识引入借助几何直观，课件出示：列综合式求以求一共摆了多少块？
学生回答并得到两个算式“3×5+4×5”和“（3+4）×5
分别说一说这两种方法先求什么再求什么。
在学生交流讨论后，让学生得到了乘法分配律的雏形。之后再通过对比练习等，加深学生理解规律的特定模型。最后，在乘法分配律的规律表达中，我们可以借助下面的图形，引导学生理解乘法分配律的字母公式（a+b）.c=a.c+b.c
大长方形的面积=（a+b）.c 两个小长方形的面积之和=a.c+b.c。
得出：（a+b）.c=a.c+b.c
在探索乘法分配律的字母公式的过程中，利用长方形的面积计算等几何直观帮助学生突破难点，学生可以轻松自如的理解（a+b）.c=a.c+b.c。通过原来的借助数字计算，语言的叙述，凭借了简单的图形化解难点，有效地促进了学生对知识的整体理解。
5. 借几何直观，多角度思考，增加解题策略
直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。
例如《长方体和正方体表面积》的教学中：出示长方体，说一说长方体的表面积在哪，摸一摸，并试着求一求
得出：长方体的表面积就是指长方体六个面的总面积。根据长方体的特征相对的两个面的面积相等，上、下面面积为长×宽×2，左右面面积为宽×高×2，前后面面积为长×高×2，得出长方体的表面积为长×宽×2+宽×高×2+长×高×2。
除了用这种方法能求出长方体的表面积，还有别的方法吗？
借助几何直观，即出示长方体的展开图，引导学生借助展开图，再次探究方法。
方法二（图1）把长方体的表面看成面积相等的两大部分，长方体的表面积就是这两大部分相加，每一大部分的面积是长×宽+宽×高+长×高，得出长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2。
方法三（图2）把长方体的表面看成上下面和四周面两大部分，四周的面积为（长×2+宽×2）×高，（长×2+宽×2）也就是长方体的底面周长，上下面的面积为长×宽×2。所以长方体的表面积=底面周长×高+长×宽×2。
借助于直观图形，学生的思维突破了原有的枷锁，尝试了从多角度分析和思考数学问题，找到了多种解决问题的途径。学生在借助几何直观，既体验到了成功的喜悦，感受到数学带来的快乐，有发展了空间观念和创新思维。
6. 借几何直观，渗透数学文化，提高数学素养
在数学的发展过程中，对于数学中的很多数学问题的发现和探究，数学家的灵感往往起源于几何直观。借助几何直观进行思考，以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，有机的渗透数学文化，使学生最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。
如在学习北师大第九册“点阵中的规律”时。可以借助于几何直观，形象的帮助学生理解了规律，又展现了数学的神奇的魅力，拓宽了学生的数学视野，提高了学生的数学素养。
师：在黑板上出示一个点，点是几何中最基本的图形。
接着老师又画了4个点，问：老师又画了什么？（生：4个点）
第三次老师又画了9个点，接着问：大家猜猜看老师第三次要画几个点？第四次、第五次呢？
师：这样按一定规律列成的点叫点阵，里面蕴含着许多神奇的数学规律。出示故事“棋盘上的麦粒”。
在古老的印度有这样一个传说：……宰相对国王说：“请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二个格子里赏我2粒麦子，第三个格子里给4粒，以后每一个格子都比前一格子加一倍，把棋盘上64格的麦粒都赏给我。”国王觉得很容易就可以做到，答应了。结果随着放置的方格不断增多，结果发现哪怕把整个国家的麦子都给宰相也满足不了……千百年后的我们知道了答案：国王的承诺，是一个长达20位的天文数字，约是全世界2000年的小麦总量。
师：从刚才的故事和前面老师画的点阵图，你有什么想法？
数学是一个奇妙的世界，它让这个世界充满神奇，充满魅力。借助点阵的直观，激发了学生的好奇心，拓展学生的视野广角。借助几何直观，让学生充分体会到数学的价值，从而促进了学生良好的数学素养的形成。
总之，几何直观是影响小学生数学发展的重要因素之一，是揭示现代数学本质的有力工具。在小学数学教学中有效地运用几何直观，有助于学生形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。在课堂教学中，我们应该充分发挥好几何直观的作用，在数学课程的每个领域中有意识的培养学生运用几何直观的能力，让学生最终形成良好的数学观和深厚的数学素养。
主要参考文献
1．《借几何直观，促问题解决》 蔡水华
2．《关于几何直观的含义和表现形式》 孔凡哲 史宁中
3．《再从“几何直观”谈起》 刘晓枚
4．《对“几何直观”及其培养的认识和分析》 刘晓枚