盐城工学院土木工程学院 江苏盐城 224051
摘要：本文提出二阶一致点插值法（PIM-QC3）的二维固体强迫振动公式。根据无网格形函数与其导数的要求，PIM-QC3采用点插值法和T6结点选择方案，避免了在每个积分点计算逆矩阵，其形函数和修正导数能够满足近似微分一致性和离散散度一致性，且形函数具有Kronecker性质。使用二维固体的强迫振动算例分析，计算结果表明PIM-QC3具有较高的精度和稳定性，施加边界条件方便，非常适用于二维固体的强迫振动分析。
关键词：二阶一致，修正导数，强迫振动.
一、引言
无网格法的发展已有20多年，提出了各种类型的无网格法，例如无网格伽辽金法（EFG）[1]、点插值法（PIM）[2]、hp云团法[3]和广义无网格近似法[4]等。其中，无网格伽辽金法得到了广泛的研究。
无网格法相对于有限元有许多优点，不需要划分网格，可以得到高阶连续的解等。但是对于采用移动最小二乘（MLS）近似的无网格法，由于形函数不具有Kronecker性质，使得施加位移边界条件较困难，需用罚函数法或拉格朗日乘子法等。无网格法另外一个缺点是计算效率较低，无网格伽辽金法需要高阶积分，使用更多的CPU时间。应力点法[5]，结点积分法[6]等方法被提出用于克服此缺点。
Chen[7]等提出稳定节点积分法（SCNI），它能够通过线性分片检验，极大地提高精度和收敛率。但是它不能通过二次分片检验，在域边界仍会出现锯齿模式。Duan[8]根据无网格形函数与其导数的要求，对二次基函数的伽辽金法（EFG）采用三点积分方案，得到修正的形函数导数。该方法（EFG-QC3）能够通过二次分片检验，极大地改善精度和效率。但EFG-QC3采用MLS近似，仍需在每个积分点计算A矩阵的逆矩阵，消耗CPU时间，且位移边界条件不方便施加。
本文根据二次基函数的点插值法，利用无网格形函数与其导数的要求以及T6结点选择方案，推导出二阶一致动力问题分析的PIM-QC3格式。通过数值算例，分析PIM-QC3的强迫振动性能。
二、PIM法的强迫振动离散方程
对于二维动力学问题，平衡方程可以用虚功原理写成
为了求解方程（9），使用T6结点选择方法，采用基于PIM的3点积分方案，如图1所示。用三角形离散问题域并作背景积分网格，每个积分网格域内有3个域积分点（图中×点），每条边有2个边积分点（图中空心圆点），实心圆点是域结点。使用T6结点选择方案，结点i1-i6是网格i用于建立位移域函数的6个支持结点，其中i1-i3是连接网格i的三个结点，i4-i6是网格i相邻3个网格的另外3个结点。则式（9）可被分为3个方程，用于确定三个积分点上的修正形函数导数。
.png)
图1.基于PIM的二阶一致3点积分方案
式（9）可被离散为
（b）
图3.简谐荷载作用下悬臂梁的动态响应：（a）规则结点分布；（b）不规则结点分布
（2）对于图2（c）所示的突加荷载情况，荷载函数为 N，时间步 s，持续时间取600s，采用规则分布的63个结点离散。无阻尼情况下点A的动态响应结果绘于图4（a），可以发现PIM-QC3的结果和参考值非常一致。有阻尼情况下点A的动态响应结果绘于图4（b），从图中可以看出，由于阻尼作用点A的响应随着时间的增长而衰弱，最后收敛于一个定值。响应结果非常稳定。
（b）
图4.突加荷载作用下悬臂梁的动态响应：（a）无阻尼；（b）有阻尼
五、结论
本文应用二阶一致3点积分的PIM-QC3法分析二维固体的强迫振动。根据散度定理，采用二次基向量和T6结点选择方案，计算PIM-QC3的修正形函数导数。使用Newmark方法求解动力方程。强迫振动的算例表明，PIM-QC3具有较高的精度，产生精确稳定的结果；对不规则的结点分布，也能保持较好的精度，结果优于PIM-LC1，PIM-ST3，PIM-ST1和LFEM，而且PIM-QC3易于实施，非常适用于二维固体的强迫振动分析。
参考文献：
[1]T. Belytschko，Y. Y. Lu，L. Gu，Element-free Galerkin methods，International Journal for Numerical Methods in Engineering. 37（1994）229-256.
[2]G. R. Liu，Y. T. Gu，A point interpolation method for two-dimensional solids，International Journal for Numerical Methods in Engineering. 50（2001）937-951.
[3]C. Zuppa，ackson-type inequalities for h-p clouds and error estimates，Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 194（2005）1875-1887.
[4]C. T. Wu，M. Koishi，W. Hu，A displacement smoothing induced strain gradient stabilization for the meshfree Galerkin nodal integration method，Computational Mechanics. 56（2015）19-37.
[5]C. T. Dyka，P. W. Randles，R. P. Ingel，Stress points for tension instability in SPH，International Journal for Numerical Methods in Engineering. 40（1997）2325-2341.
[6]S. Beissel，T. Belytschko，Nodal integration of the element-free Galerkin method，Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 139（1996）49-74.
[7]J. S. Chen，C. T. Wu，S. Yoon，Y. You，A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods，International Journal for Numerical Methods in Engineering. 50（2001）435-466.
[8]Q. L. Duan，X. K. Li，H. W. Zhang，T. Belytschko，Second-order accurate derivatives and integration schemes for meshfree methods，International Journal for Numerical Methods in Engineering. 92（2012）399-424.
基金项目：江苏省高校自然科学研究面上项目（15KJD130001）；盐城工学院大学生创新项目（2020-302）