张茜茜
黑龙江省牡丹江市第一高级中学
立体几何中点动点轨迹问题主要考察学生的空间想象能力，要求学生能构建出变化过程中的不变关系，并选用恰当的方法解答。在立体几何问题中，属于难度中等偏上的问题。
例1.如图，已知分别是棱长为1的正方体的棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ）
A.一条线段 B.一段圆弧 C.一个球面区域 D.两条平行线
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图1
【课件制作】
（1）在3D绘图区绘制棱长为1的正方体，作图时将点放置在坐标原点，A点放置在轴上；
（2）在棱上任取一点，以为圆心为半径做球，球与棱的交点记为，则；
（3）记的中点为
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图2.课件1制作
【例题讲解】
方法一、几何法
讲解思路：先借助Geogebra观察点的运动轨迹，再用数学语言描述。
【Geogebra操作】：右键单击点选择“跟踪”——右键单击点选择“启动动画”——旋转视图从不同的角度观察。
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图3 例1解析1 图 4 例1解析2
【问1】请同学们思考：运动的过程中有没有不变关系？线段的长度如何使用？
【分析】当运动时，（不与正方体定点重合时）始终为的斜边，为斜边上的中线，故。所以在以为球心，半径为的球面上。
图5 例1解析3
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【问2】根据动态演示结果，轨迹应该是一条曲线，请同学们想一想，关于中点我们还有什么结论？
【分析】可以考虑过点构造中位线。当运动时，始终有，故始终在正方体的“中截面”内，如图所示。故点的运动轨迹是一段圆弧。
【Geogebra操作】：先按图执行指令，再拖动点观察线段的运动情况，验证始终在正方体的“中截面”内。
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图6 软件操作
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图7 例1解析4 图8 例1解析5
方法二：坐标法
我们还可以通过求点的坐标满足的关系来判断，点的运动轨迹的形状。
如图5-9，建立空间直角坐标系。设，其中由及点线段的中点可知：
由此可得，点的运动轨迹是一段圆弧。
图9 例2解析6
【评析】这道题，对于学生来说，选出选项是比较容易的，但是真正能想清楚的学生并不多，通过Geogebra的演示可以让抽象的知识更加具体，让学生更加肯定自己的判断，同时在证明的过程中又将具体的图形重新抽象成数学模型，加强了学生的逻辑推理能力。
本文章为黑龙江省重点科研课题《高中生数学核心素养培养策略研究》（XHZ135-123）的研究成果