张萍萍
河南三门峡市龙湖小学 （河南 三门峡） 472000
2016年，我校加入了“小学生数学素养的构成要素分析与培养策略”课题组，主要围绕《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念开始进行课题实验研究。2018年，我校持续进行了河南省基础教育教学成果“基于数学素养发展的小学数学典型课例研究”的应用推广实践检验。作为我校课题实验组成员之一，我先后多次参加以“培养和发展学生数学直观”为核心的典型课例实验研究和应用推广实践活动，希冀在积极培养和发展学生数学美感的同时，着力促进学生数学素质的不断提高。
一、数学直观的内涵
曹培英老师在他的论著《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》中指出：“小学生对于数学的直观感知、直观理解与直观思考，主要依赖于生活经验直观与几何直观。”因此，在培养和发展学生的思维方式时，不仅要注重对学生逻辑思维能力的培养，还要注重对学生在观察和直觉方面能力的培养，即直观思维能力的培养。
何谓直观思维？直观思维是指通过人体本身的各种感觉器官对真实存在的事物进行感知的思维活动。它没有具体的、直观的形象来作为思维活动的基础和背景，是一种比较深层的构想性质的心理活动。
二、数学直观的培养
如何培养学生的数学直观思维？首先，要奠定坚实的知识基础。直观思维活动必须在十分扎实的基础上才能进行。如果学生连基础知识都没有搞懂，提高其直观思维能力根本无从谈起。其次，要鼓励学生进行创造性猜想。教师在教学过程中要注重教学的技巧，比如在讲授新的定义或者结论之前，先不揭示答案，而是让学生在自己或者分组进行观察、类比以及联想的基础上，对题目进行有理有据的创造性猜想，然后再对猜想结果进行验算和证实。同时，对于学生猜想中合理的内容给予大力的鼓励和充分的肯定，以此提高学生学习的积极性和进行直观思维的领悟能力。第三，要选择适当题目类型培养数学直观思维。比如在教学的过程中，教师可以通过对于选择题的讲解来考察和培养学生的直觉思维。由于选择题的答案有多个选项可以选择，省略了具体的解题过程，有利于学生进行合理的猜想，更好地发展其直观思考能力。
总之，在数学教学过程中，教师应坚持从多个角度和多个层次培养和发展学生的直观思维，发挥其最大作用。
三、“轴对称图形”典型课例研究和实践
基于对上述数学直观内涵和培养的理解和认识，我选择“轴对称图形”作为典型课例，明确“设计开放活动，培养数学直观”的研究主题，不断实践检验，以进一步探究如何利用对具体知识的学习来培养和发展学生的数学直观。
《数学课程标准》强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在设计“轴对称图形”课前,我先对学生的学情进行了调研。这节课之前，学生已经学过一些平面图形的特征，形成了一定空间观念的基础，但低年级学生对对称的现象并不太熟悉，其思维也以具体形象思维为主，在学习抽象的图形知识时，需要直观形象予以支撑。因此，我决定将观察和动手操作作为本节课重要的学习手段。由于学生对美丽的轴对称图形很感兴趣，我便把轴对称图形的图片做成课件供学生欣赏，并通过让学生折、画、剪等动手操作，使他们感知现实世界中普遍存在的对称现象，感受物体和图形的对称美。既激发他们学习数学的积极性，又发展他们的空间感念。
[第一次研磨教学设计]
1.激趣导入，引出对称（猜一猜——体会对称现象）
（1）今天老师带来了一个猜猜看游戏（蜻蜓出示一半）老师没有出示完整的图你怎么猜到的？ 你怎么看了一半就马上知道了？生：仔细观察一半想象另一半，所以猜到了。（板书：观察、想象）打开看看猜的对吗？
（2）（三叶草出示一半、“日”字出示一半）你又是怎么猜到的？
（3）你们发现蜻蜓、三叶草和“日”字有什么共同的特点吗？
指出：像这样两边一样的物体，我们就说它们是对称的。
2.自主探究，认识对称
（1）认真观察，感知对称。（课件出示教材第29页最上面的3幅图。）
师：图中的树叶、蝴蝶和天安门各有什么特点呢？
生1：它们的左右两边完全相同。生2：是对称的。
师：请同学们进行小组讨论交流。
师：平时有没有见过这种左右完全相同的图形呢？
学生观察图形，体会对称。
老师出示剪纸作品，学生猜测剪法，引导学生注意这些剪纸作品的特点。揭示课题并板书：轴对称图形。
（2）动手操作，了解对称。
学生小组合作，用准备的彩纸按教材第29页例1中的2顺序折、画、剪。
学生作品展示。
学生说说自己是怎么做到的。
（3）总结特点，掌握对称。
师：数学上把这种两边形状、大小都一样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做这个轴对称图形的对称轴。
学生说说生活中见到的轴对称图形。
3.应用知识，领悟对称
（1）想一想，学过的平面图形中，哪个是轴对称图形？
（2）下面哪个图画可以看作是轴对称图形？
图1蜻蜓图，图2窗花图，图3水壶图，图4字母n，图5京剧脸谱。
（3）找对称轴在哪里？
图1 瓢虫图(图上出现3条直线，你选择是哪一条)
图2找平面图形对称轴，图3找汉字对称轴。
4.全课小结，喜谈收获
通过这节课的学习，你有什么收获？
[第一次研磨后的反思]
在猜图游戏中吸引学生的注意力，激发了学生的学习兴趣，并初步感知对称图形的特点，在欣赏对称图形的过程中进一步感知对称图形的特点，通过折、画、剪，深入感知对称图形的特点。练习设计应该打破对称轴只是纵向的定式思维。
[听课教师的建议]
1.课堂操作不够深入，参与练习和体验的学生较少；数学语言还不够精炼，让学生感受到轴对称图形美还未完全到位。
2.练习收集忽略细节，生活中的对称图片收集不是很精准，如水壶从正面看是对称的，但从侧面看却不是对称的；京剧脸谱额头上的弯月并不对称。
[第一次研磨后改进措施]
1.设景激趣，导入新课和主动探索认识轴对称图形两个环节重新修改，重新选取最能凸显对称美的蝴蝶图，由动态的蝴蝶变为静态的蝴蝶图，让学生直观感知对称的美。
2.修改练习题，把有争议的图形换成形状、大小、颜色完全一致的图形。由于低年级学生是以直观形象思维为主，中国的有些汉字，虽然字形上是对称的，但是写出来字体是不对称的。找对称轴题目里删去有左右文字不对称的图形，换成小篆字“木、林、森”。
3.找对称轴环节，教师出示图片，让学生思考有几条对称轴，把平行四边形两面涂成两种颜色，让两名学生上台验证，平行四边形的两边对折后，不能完全重合。找平面图形的对称轴，重点指导：找出圆的对称轴有无数条。
[第二次研磨后核心环节设计]
1.设景激趣，导入新课
（PPT）春天来了，小动物们都出来散步了，蚂蚁和乌龟看见蝴蝶，它们大声问：“蝴蝶，蝴蝶，你为什么会飞呀？”蝴蝶笑着说：”因为我有一对美丽的翅膀，我飞给你们看。”
（PPT）同学们，我们也来看看，蝴蝶的翅膀美在哪儿？（生;形状、大小、颜色都一样）
2.主动参与，探索新知
（1）想办法
这么美的一只蝴蝶，老师特别想把它画下来，先画蝴蝶的右边部分，再画它的左边部分，对比一下，老师画的蝴蝶和图片上的，哪个更完美？（生：图片上的）
我也想得到这么完美的蝴蝶图，怎么办呢？（老师把蝴蝶的左边部分根据学生的提示做出修改）可以了吗？谁愿意过来帮老师修改？
谁还能帮老师想出一个好办法，让我也得到一副完美的蝴蝶图。
（2）探究
咱们一起来想办法吧！老师在每个同学的文具盒下面都压了一张神秘的彩纸，现在可以翻过来看看，上面有什么？[只画了半只蝴蝶)想一想，你能用什么办法使它成为一副完美的蝴蝶图呢？请同学们自己动手，比比看，谁的办法最巧妙！
交流：谁得到了一副完美的蝴蝶图？你用的是什么办法？（生1：照着右边画出另一半。生2：先对折，再剪）分别让学生说出画和剪的方法。
[第二次研磨后的反思]
有了上一节课的经验，本课在习题的设计和处理上好了很多，学生对对称图形和对称轴有了更深的认识。让学生自己想办法得出一幅完美的蝴蝶图，通过折一折、剪一剪环节花时太大，学生纪律难以控制，削弱了学生对其他知识的体验。
[实施效果]
两次研磨试课后，感觉学生对轴对称图形的特征只是停留在表象，多次把轴对称和对称轴两个概念混淆。老师还是没能深度挖掘教材，设计出最好的教学过程，制约了学生的学习成效以及思维能力的发展。
[研究过程]
1.提出问题
（1）创造矛盾;先画出半只蝴蝶，怎样才能得到一幅完美的蝴蝶图？
（2）怎样能通过轴对称图形制作的方法，让学生体会收获的不仅是知识，更多的是学习经验？
2.分析问题
（1）设计中存在的问题
对于第一次设计与实施，在老师的“精心”设计下，通过老师的演示操作和引导下的学生观察，已暗示了“轴对称图形的特征”这样的事实。在教师的“启发”下，个别学生已说出了对称的概念。但老师仍然将操作定位于小组内的讨论，这样的活动，学生实际上只是一个按老师指令进行操作的操作员，空间观念、几何直观和模型思想被限制，这样的活动越多，学生的数学直观被扼杀的程度会越高。
对于第二次设计与实施，虽然老师没有急于给出对称的概念，而是充分让学生发挥形象力，用自己想出来的办法，通过动手操作得出完美的蝴蝶图。但是二年级学生的学习能力和动手操作有差别，一些学生剪不出完美的图形，学生纪律难以控制，削弱了学生对其他知识的体验。
（2）设计中应考虑的问题
充分考虑学生的数学学习现实。这节课是在学生已经学习过一些平面图形的特征形成一定空间观念的基础上进行教学的，但是对于低年级学生来说对称的现象并不太熟悉。因此，在学习抽象的图形知识时，需要直观形象支撑，而观察和动手操作都是非常重要的手段。学生对美丽的轴对称图形很感兴趣，通过让学生折、画、剪，剪出一个轴对称图形，把轴对称图形的图片做成课件供学生欣赏，使学生感知现实世界中普遍存在的对称现象，感受物体和图形的对称美，既激发对数学学习的积极情感，又发展他们的空间感念。
探究活动中要有意识、有计划、有步骤地培养学生的数学直观思维，要贯穿到课堂的始终。这就要求活动设计中，要充分考虑学生的实际，给学生一定的自主探究空间，并且要循序渐进。在探究活动中，要充分激发和调动学生的学习自主性，鼓励学生独立思考，充分调取自己已有的知识经验和数学学习活动经验开展探究。本课的探究主要是以操作为手段，尝试把物体的轴对称现象和轴对称图形相互转化。有了策略和方法后，要围绕目标任务再次进行思考与探索，在获取知识的过程中，积累丰富的数学活动经验，进一步建立数学直观思维，培养和发展数学直观能力。
教学设计要考虑如何有效发挥教师对学生学习的指导帮助作用。图形的运动的教学中，动手操作虽然可为学生寻求解决问题的思路、方法提供启发和帮助，获取一些感性认识，但要形成正确的认知，还需要学生在感性认识的基础上，及时抽象概括，完成由具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡。这就需要老师在学生操作思考的基础上，通过组织展示交流活动，促使学生进行抽象思维活动，建立表象，进行抽象概括、逻辑推理等活动。同时，教师要对学生正确的认识进行评价确认，对错误的认识进行有效的引导帮助，使学生通过交流与互动，获得更多的认知，促进学生进行必要的提升与反思。
（3）改进意见
减少铺垫，开门见山地提出探究任务，并提供丰富的图形材料，给学生一定的选择和探索空间，让学生主动运用自己的数学学习经验，创造性地探索研究问题，为学生用多种策略解决问题创造机会。
发挥教师主导作用，有意识引导学生体会和感悟几何直观、空间观念、模型思想的培养。通过提出探索活动要求和师生交流对话指导，让学生经历“明确探究任务——动手操作，寻求思路和策略——运用策略和几何直观——表达交流，再学习，形成认知”的过程。在这一过程中，让学生在获得知识的同时，发展学生的数学直观，培养积极的学习情感。
[改进后的教学设计]
1.教学目标
联系生活中的具体事物，使学生初步体会生活中的对称现象，能在实物和平面图形中识别轴对称图形，并能准确地找出对称轴。
2.核心环节设计
（1）提出探究任务，促学生自主探究
老师创造矛盾：老师和同学们都不能画出两边一样的蝴蝶图，怎样才能得到一幅完美的蝴蝶图？师:其实，有一个很好的办法，出示一张彩纸，学生能根据老师的提示，说出把这张纸对折后，画半只蝴蝶再剪下来，最后展开后得到一幅完美的蝴蝶图。老师直观演示制作轴对称图形的全过程。
（2）组织交流讨论，促学生认知提升
在交流讨论中，充分发挥教师的主导作用，促使学生将动手操作与数学思考有机结合，感受动手操作在数学学习中的作用，让动手操作真正成为数学学习的有效方式。交流讨论中，引导学生说出得到轴对称图形的每个步骤。
这次试教没有从“由实物图形观察到图形抽象理解”来引入新课，而是用适合低年级学生的语言情景，创设适合数学学习的环境。通过“画不对称的蝴蝶图”到“怎样才能得到一幅完美的蝴蝶图？”引发学生积极动脑，变被动学习为主动研学，不留痕迹的完成了得到一个轴对称图形的全过程，顺应学生学习思维的发展，同时培养了学生的空间想象力。
[改进后的实施效果]
老师用动手操作为导入，虽然没有强调．但却能吸引学生的注意力。通过让学生观察老师剪的过程和所剪的图形。使学生初步感知了轴对称图形的特点。而接下来的验证过程。不仅让学生感知了什么是完全重合。什么是对称轴，同时也在培养学生科学严谨的求知态度。老师的这一系列操作，都是在为接下来学生的剪纸和检验活动做示范。用操作来代替语言，真是此时无声胜有声。
课堂上注重培养学生可持续性的发展，将学习的主动权更大限度地让给学生，对于学生猜想中合理的内容给予大力的鼓励和充分的肯定，提高了学生学习的积极性，也提高学生直观思维的领悟能力，引导学生发现生活中的数学美。
[课例研究的启示与教学建议]
通过对本课例的研究实践，给我们的教学启示是：课堂教学是培养和发展学生数学素养的主阵地，学生数学素养的表现水平是可观可测的，数学直观是在学习活动中逐步形成的。要设计核心的探究活动，提供有结构性的学习素材，引发学习中的真实问题，使学习活动的推进在真实问题的引领下逐步展开。同时，要对真实的生成性资源随时把握，把握给予学生提出问题和解决问题的时机，组织学生在交流分享中不断发展和提升数学素养。
结合这节教学案例，提出的教学建议是：在小学数学教学中，只要教师立足于教改探索，以美育为己任，充分利用教材、资料，以及各种教学手段，并在平时教学中深入挖掘和提炼数学中美的因素，充分地展示数学美，诱发学生审美情趣，不仅可使枯燥乏味的数学课变得更加生动、愉快，还可以充分调动学生学习的积极性，使学生养成勇于探索、敢于创新的良好习惯，并在美的气氛中体验美的乐趣，享受美的快乐，在美的陶冶中主动、生动的发展，数学课堂才能时时闪烁着灵动的美感。在小学数学教学中实施美育渗透，要认真体会小学数学中美的内涵，引导学生去捕捉、发现、领悟、接受、创造数学之美，让“美”满课堂，从而培养学生的美感和情操，促进学生素质的不断提高！