陈凤鸣
四川省乐山市柏杨小学614000
教学内容：人教版义务教育教科书小学数学六年级上册第69-70页
教学目标：
1、理解圆与外切正方形、内接正方形之间的面积关系，并能根据面积关系解决问题；
2、经历观察、操作、合作交流的学习过程，理解知识间的联系，培养类推能力与几何直观，提高解决问题的能力；
3、培养学生合作学习的意识及能力，体会数学与生活的紧密联系，提高数学素养。
教学重、难点：理解圆与外切正方形及内接正方形之间的面积关系。
教学准备：课件、课前研究单，研学单；学生准备尺和圆规
教学过程：
一、情境导入：
1.师:古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如长盖，地方如棋局＂的说法。(结合课件出示)虽然这种说法是错误的，却产生了深远的影响尤其体现在建筑设计上。
2.课件展示(1):鸟巢和水立方等建筑，精美的门窗，浮雕等，有圆形也有方形，还有屋顶装饰，家中的餐桌，撑开后是圆形，折后是方形。
二、探究图形之间的面积关系：
1.课件展示(2):
这两个图案是中国古代建筑中两种经典的窗户设计，将圆和正方形完美的结合在一起，体现了我国古代人民的智慧。
请大家说一说这两种窗户有什么联系和区别?(外方内圆，外圆内方）课前让孩子们对这两种图形进行了研究，如果圆的半径都是1米，那么图（1）中外切正方形的边长和圆有什么关系，它们的面积怎样计算？图（2）中正方形的边长是多少？可以用什么方法来计算正方形的面积？通过计算你有什么发现或猜想？（课件展示课前研究单）
图（1） 图（2）
2.学生汇报：预设1：图（1）正方形的边长就是圆的直径，所以圆的面积：3.14×12＝3.14（平方厘米）；正方形的面积：2×2＝4（平方厘米）
板书：S圆：
师：能直接观察出图（2）中正方形的边长是多少吗？可以用什么方法来计算正方形的面积？
预设2：内接正方形的一条对角线将正方形分成两个同样的三角形，它的底是圆的直径，高就是圆的半径，正方形的面积可以用三角形的面积来乘2来计算。
（课件演示）
板书：
预设3：这个正方形的两条对角线把正方形分成四个同样的小三角形，每个小三角形的底和高都是圆的半径，再用小三角形的面积乘4计算。（课件演示）
板书：
3.师：经过计算，你们有什么发现吗？
预设1：外切正方形与圆的面积的比是4比3.14，圆与内接正方形的面积比是3.14比2，然后再化简就是200比157和157比100。
预设2：外切正方形与圆的面积的比是4比π，圆与内接正方形的面积的比是π比2。
师：那是不是所有外切正方形和内接正方形与圆之间都是这样的关系呢？一组数据能得到有力的证明吗？你们打算怎样来进行研究？
师：让我们用数据来说话！（课件出示课中研习单及学习要求）
1、以小组为单位，组长分工，小组成员可以分别举例计算这些图形的面积；
2、小组讨论：它们的面积之间有什么关系？
3、如果圆的半径定为r，看看是否也能得出相同的结论。
3、小组活动，教师巡视指导。
4、各小组汇报研究的成果。
板书：
师：既然圆的大小相同，那么这三个图形之间的面积关系可以怎样表示？
板书：
师：同一个圆的外切正方形和内接正方形之间是什么关系呢？（外切正方形是内接正方形的两倍，也就是2:1）
师：这三个图形之间为什么有这么奇妙的关系呢？（随教师的讲解出示课件）
师：图（1）圆的面积怎样表示？（πr2）图（2）中每个小正方形的边长与圆有什么关系？每个小正方形的面积怎样表示？（r2）外切正方形的面积也就是多少？（4r2）图（3）中能看出两个正方形之间的关系吗？（课件演示小正方形旋转45度得到图4），其实我们也可以用前面的数据来证明，在外方内圆中圆形和正方形之间的面积是0.86 r2（课件闪烁这部分），外圆内方中圆和里面的正方形之间的面积是1.14r2（课件闪烁这部分），两部分合起来就是里面正方形和外面正方形之间的部分（课件一起闪烁），也就是0.86r2+1.14r2=2r2，和里面正方形面积相等。
师：所以三个图形面积之间的关系是……？
三、运用面积关系解决问题：
出示课中练习单
挑战一：已知外面正方形的面积是10平方厘米，求里面正方形的面积？
挑战二：变式练习
正方形的边长是40cm，求黄色部分面积。
（1）、先出示图一，计算黄色部分的面积；
（2）、现在，我们在这幅图中添加一个方中圆，现在黄色部分的面积又是多少呢？
（3）、把图二黄色部分与白色部分交换位置变为图三，求图三黄色部分的面积？
2.（课件展示：黄色部分和空白部分交换色彩）追问：现在黄色部分的面积怎么计算呢？
四、全课小结。
师：其实我国古代的人们早就发现了正方形和圆之间的关系，并把我们的为人处世之道总结为方圆之道。（课件出示）
方圆之道 ：
方，是规矩，是做人之本；圆，是圆融，是处世之道。
方外有圆，圆中有方，方圆相济，社会才会和谐。