崔爱静
（广东省清远市华侨中学 广东 清远 511500）
摘要：立体几何是对现实世界从三维上的描述，能够对物体的位置、形状进行精确地概括，从而通过更好地方式探索空间规律。立体几何对学生的思维能力要求很高，能够通过计算、推理以及图形变换来解决立体几何中的问题。数形结合是解决立体几何问题中的重要思想，能够有效地帮助学生建立起解决问题的思路，降低立体几何中空间想象演绎推理的难度，使学生的数学素养得到提高。本文对数形结合思想在多面体与球的切、接问题中的应用进行了探究，希望能够更好地促进高中数学教学工作的开展。
关键词：多面体与球的切接问题；数形结合思想；高中立体几何教学。
内切和外接是多面体与球组合问题的两种主要形式，虽然是高考中的重点内容，但是其解答方法还是有一定的规律，学生通过总结归纳其中的规律，能够更好地完善自身对这部分内容的认知，所以在教学中应该不断的渗透数形结合思想。
一、棱柱与球的组合体问题
在探究棱柱与球有关的组合问题的过程中，出现最多的是正方体与球有关的组合。高考除了考察与正方体相关的组合问题之外，另外考察点还有长方体的外接球。将正方体和长方体同球结合起来，考察球半径的求解方法。学生在这类问题的解答的过程中，可以事先记住不同情况下的球的半径求解公式，从而能够在考场上直接使用，达到事半功倍的效果。
例1：如图1，已知球O1为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，球O2为同正三棱柱ABC-A1B1C1的五个面内切，问：球O1与球O2的体积之比和表面积之比。
分析：在求解过程中要将三维几何变换为二维几何，通过二维平面关系寻找球O1与球O2之间的关系，进而找到解决问题的突破口。
解析：如图2，球O1与球O2的球心重合，过AA1做截面AA1E1E，设正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，R1、R2分别为球O1与球O2的半径，则正三棱柱的高为，在Rt△A1D1O中，得所以故
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图1 图2
对于这种题型，学生应该学会构造直角三角形，利用直角三角形边长之间的关系来完成对球半径的求解。在解答相应问题的过程中，需要首先弄清楚各个几何体之间的关系，采用更加有效的方式对点、线、面之间的关系进行研究，通过做截面图的方式对球心和截面圆心之间的关系进行判断，从而找出解决问题的最佳途径。
二、棱锥与球的组合体问题
在探究棱锥与球有关的组合问题中，出现最多的就是球与正四面体相关的组合体问题。高考考察棱锥与球组合体的问题是重点内容，学生在学习过程中需要通过有效的方式寻找其中的规律，学生在解答相应题目的过程中要能够采用更加有效的方式记住相关公式，从而使解题过程能够有事半功倍的效果。学生在学习过程中需要对相应的公式加强记忆，从而能够采用更加有效的方式改变提高自身对这方面知识的掌握。
例如，在求解正四面体外接球体积的过程中，就可以用到以上的半径公式，最终通过球的体积公式V球＝πr3得出问题的答案。
例3：求棱长为a的正四面体外接球和内切球半径。
分析：对于这种题型应该首先画出截面图，然后充分利用点、线、面之间的关系进行求解。
解析：在本题的求解过程中，学生可以直接应用套用公式的方法使问题得到有效解决。参照图3和图4中的相关内容，学生直接求出相应的半径r和R。
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图3 图4
正四面体的表面积正四面体的体积因为所以在RT△BEO中，BO2=BE2+EO2，即得即R=3r。
在解这道题的过程中，要能够充分利用正四面体的对称性以及圆心同正四面体之间的关系，在求解过程中，公式法是一种非常有效的求解方法。但是仅仅记住公式还是不够，学生要能够充分具备数形结合的思想，从而采用更加有效的方式找到解题的思路。因此，本题的答案为正四面体外接球半径为R=.
三、总结
多面体与球的切、接问题是高考中经常会遇到的问题，学生在解题过程中需要将立体几何问题转化为平面几何问题，从而使问题得到简化。在解决棱柱、棱锥等多面体同球组合问题的过程中，学生要学会用构造的方式，通过对图形的变换以及对公式的应用，找到求解问题的方法。通过以上数形结合的方式能够很好地完成多面体与球的切、接问题的解答，从而提高学生对该类问题的解答能力。
参考文献
[1]张锐. 数形结合思想方法在高中数学教学中应用研究[D].
[2]佟丽丽. 高中立体几何教学的研究[D]. 2015.