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摘要：针对二级倒立摆这一典型多变量、不稳定的复杂非线性系统，首先基于拉格朗日方法建立了二级倒立摆系统的数学模型，分析二级倒立摆的影响因素。
关键词：倒立摆拉格朗日非线性系统
引言
倒立摆系统作为一种多变量、不稳定的复杂非线性系统，常常用来检测控制方法的有效性，是理想的自动控制教学实验设备[1]。由于倒立摆系统自身存在的高阶次、多变量、强耦合和不稳定性特点，实现对该系统的稳定控制是十分困难的[2，3]，基于此，许多学者都致力于稳定性控制和非线性控制方法的研究。
本文以二级倒立摆作为控制对象，根据拉格朗日方程[4]对二级倒立摆系统进行了数学建模。分析得出针对线性化后的数学模型能控，但实际的二级倒立摆的非线性很重，同时一些参数的数值并不十分准确，比如摩擦系数和转动惯量的计算等等，这些因素都使得二级倒立摆的实际控制是比较难以实现的。
1二级倒立摆拉格朗日方法建模
图1为二级倒立摆系统的简化模型，为了简化建模过程，假设摆杆1与摆杆2是匀质刚体，且只考虑小车与导轨之间的摩擦力，系统内部的各部件之间因为摩擦力很小，可以忽略，忽略摆杆在摆动过程中所受到的空气阻力。为了方便表达推导过程，对各部件参数做以下定义：
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由该结果可知，系统的开环极点有两个正值两个零，由劳斯判据可知，倒立摆系统是不稳定的，需要添加控制器，使系统达到稳定。
对于线性状态矩阵方程
3总结
但该处能控性是针对线性化后的数学模型，实际的二级倒立摆的非线性很重，同时一些参数的数值并不十分准确，比如摩擦系数和转动惯量的计算等等，这些因素都使得二级倒立摆的实际控制是比较难以实现的。
参考文献：
[1]王莹莹，王冬青.基于卡尔曼滤波的二级倒立摆LQR控制方法[J].青岛大学学报（工程技术版），2015，30（03）：21-26.
[2]彭锦，黄为，熊欢.二次型最优控制在小车倒立摆控制系统中的应用[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2020，33（01）：17-23.
[3]周荻，朱东方.并行双倒立摆系统的鲁棒同步控制[J].系统工程与电子技术，2010，32（10）：2192-2197.
[4]姜岩蕾，史增芳.基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真[J].精密制造与自动化，2016（02）：26-29.
[5]赵文龙，陈能祥，曹博，李俊.平面二级倒立摆的线性二次最优控制[J].实验室研究与探索，2013，32（11）：56-59+196.