孙艳伟
博兴县乔庄镇蔡寨中心学校
数学是一门逻辑性、思维性很强的科学。广义的思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质和事物间规律性的联系，包括逻辑思维和形象思维。而狭义的通常的心理学意义上的思维专指逻辑思维。可以说，逻辑思维是数学的核心。根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维。常规思维是从条件入手顺序解决问题，而逆向思维，则从反面观察事物，变换一下处理问题的角度，从非常规方面入手，由此寻找解决问题的方法，有时会产生意想不到的效果。在数学解题中，常规思维是从已知条件到结论的思维方式，然而有些数学问题按照这种思维方式比较困难，有时甚至无法解决，在这种情况下，我们可以从问题入手，逆向推理至已知条件，结合公式、规律性例题的逆用，往往可以使问题简化。逆向思维的培养训练对培养学生的创新意识，提高学生的创新能力是至关重要的。逆向思维在数学中的应用主要有以下几方面：
一、逆向思维在数学概念及公式应用中的双向联结
数学中有许多概念、法则、性质等，若能恰当地引导学生进行“由此及彼”的思考，提出相反的思路，帮助学生建立双向联结，知识就容易得到引导和扩充，技能就会产生积极的迁移。如教学六年级《圆柱与圆锥》的体积公式推导的过程中，通过实验，圆锥的体积等于与其等底等高的圆柱体积的三分之一，但在练习中应用时，当圆柱与圆锥体积和底面积相等时，高的关系如何？很多学生就无从下手，甚至不知如何去解决。当老师引导学生从体积公式入手，逆向思考时，由V圆柱=S底h和V圆锥=1／3S底h，V圆柱=V圆锥时，高的关系便一目了然，学生很容易得出圆锥的高是圆柱高的3倍这一结论。这样不仅能使学生对数学概念和数学性质等加深理解，而且还能在此基础上总结出论证某些问题的思路与方法。
二、逆向思维在数学运算中更能化繁为简
??? 数学运算常常是成对出现的，它们互为逆运算。如加法与减法、乘法与除法等相对应，尤其是在一些混合运算的形式中，一些学生往往只习惯按常规顺序进行计算，但在许多情况下，恰恰需要逆向变形或逆向运用公式，即把右式化为左式的形式或者运用各种运算定律使计算简单来解决问题。
如下列两题中，在运算时，学生往往列竖式计算，计算量大，根据乘法的结合律变形形式，逆向运用或正向运用乘法分配定律，可写成
125×79+125 25×102
=125×79+125×1 =25×（100+2）
=125×（79+1） =25×100+25×2
=125×80 =2500+50
=10000 =2550
这样无需计算也可直接写出结果。
所以遇到难以解决的实际问题时，教师应有意识地改变学生的思维定势，引导学生灵活地用逆运算解决问题。?
三、逆向思维使应用题中的思路更加清晰
1、数学应用问题给出了问题的重要条件很类似，问题的结论需要我们用逆向推理去探索。
这类数学问题如果运用正向思维去思考往往会造成思维障碍，甚至走很多的弯路而不能求得问题的解决，此时，若把问题发生的顺序倒过来，引导学生用逆序的方法，逐步还原，很多相似的问题便会迎刃而解。
例如在教学应用类题目时，教学中有这样一个环节很能说明逆向思维的作用：
例一：一项工程，第一天完成全部的1/3，第二天完成全部的1/5，第一天和第二天共完成多少？
例二：一项工程，第一天完成全部的1/3，第二天是第一天的1/5，第一天和第二天共完成多少?
师：观察这两个例题你能获得什么信息？
生：我通过整体观察发现这两句话都是重点句，
生：分析比较第一句话有1个单位“1”—全部。第二句话是两个单位“1”—全部和第一天。
生：相同点数字没有发生变化
生：例一中两天一共是全部的（1/3+1/5）
师：第一个例题中，我们要求的两天共完成的，就需要知道这两天各做了多少，因为其标准1相同，所以我们可以直接相加。而第二个例题中因为标准1不同，所以我们也必须知道两天各完成的，然后相加。
师：第二个例题中，第一天的我们可以知道，那第二天的怎样求？
生：可以求第二天的数量，这里需要知道第一天的量，转化后才可以求第二天的分率（逆向推理）
师：很好，在解决应用问题时，我们可以从问题入手，逐步过渡到已知条件，然后把问题解决。
像这类分数、百分数、比例应用题的教学中运用审题策略，从问题入手，逆向推理至已知条件，然后寻找间接条件，这样可以帮助学生透过问题的现象看到问题的本质规律，也能从多方面以及多种联系中系统地理解和掌握数学知识，以解决实际问题，更有利于灵活性思维的培养。
2、在解决图形面积、体积问题中，逆向思维更突显出解决问题的简洁性。
如用铁皮制成一个高是5分米，底面周长是12.56分米的圆柱形水桶（没有盖），至少需要多少平方分米铁皮？若水桶里盛满水，共有多少升水？
单从本题给出的条件来看知道高，底面周长，求做水桶用的铁皮及其容积，如果按常规思维，我们由已知条件可以求出很多的量，但到底哪个量对我们有用，很难理清。如果我们运用逆向思维可以分析如下：
①求用多少铁皮←水桶的表面积←侧面积和底面积之和←侧面积：底面周长×高；底面积：∏×半径的平方←底面圆的半径←底面周长
②求容积←底面积×高←底面积：∏×半径的平方←底面圆的半径←底面周长
按照如上逆向思维，我们把需要解决的问题逐步推敲，就会使解题思路明确，运用已知条件一步步求出所需的量，从而求得问题答案。这样一来，学生在解决问题的过程中，思路清晰，目的明确，从而节约大量做题时间，提高了学习效率。
总之，逆向思维在数学上有广泛的运用，但小学高年级学生还不习惯反过来思考，倒过来想，即不善于逆向思维。因此，在数学教学中，我们应加强逆向思维训练，从中低年级开始有意识地引导和培养学生的逆向思维的意识和习惯，帮助学生从正向思维过渡到正、逆双向思维，这样不仅能解决一些比较繁琐的数学问题，使问题在解题过程中更有目的性与针对性，对提高学生分析问题、解决问题的能力具有重要的作用。