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浅谈不定方程整数解的求解方法

发表时间：2021/1/7 来源：《教学与研究》2020年9月第26期作者：嘎勇严沛

[导读] 不定方程是数论的一个分支，

        嘎勇严沛

        南充市高坪中学
        摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法
        二元一次不定方程整数解的求解方法

        3辗转相除法
        两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。

分解法，将二次二次不定方程中的项移等号左边并分解为两个一次因式的积，等号右边的常数分解为质因数的乘积，将问题转化为求二元一次方程的整数解.

故原方程无整数解.
本论文首先通过对不定方程的发展以及对不定方程整数解的了解和研究，主要从二元一次不定方程，三元一次不定方程，整数解进行了具体的探究，通过具体的例题进行了计算，最终得出了相应的结论。将其升华到二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明和证明，也得出了一些结论。但由于一些不确定的因素，有些计算中出现了一些误差，导致一些结论不够准确。这也为以后对不定方程的整数解的进一步探究提供了一些有用的线索。