史珏尔
宁波市北仑区大碶中学
一、内容及其解析
图形的变换是义务教育阶段数学课程标准中“空间与图形”领域的一个主要内容,包含平移、翻折和旋转，体现了运动变换的理念与思想。在几何的解题中，运用图形变换将分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个基本图形中，建立起某种数量关系，进而使问题得以转化解决。图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，若能领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质。
二、图形变换型问题教与学的现状分析
虽然图形变换的问题学生早有接触，中考复习中也做了大量类似的题目，但老师和学生仍然存在很大的困惑，题目千变万化，学生难以突破，原因何在？
教师本身对图形变换的思想方法理解不到位：大多数教师只停留在图形变换的定义，性质及简单的图形变换的作图或图形的欣赏层面上。图形变换包含一种非常重要的数学思想：转化思想，这一点为许多教师所忽视。若教师缺乏对图形变换的深入研究，则学生对这块知识的思想方法更是一块空白，导致在实践中看不到学生图形变换思想方法的能力体现，因此在教学中图形变换问题成了学生的一大难点。
笔者以自己执教的《图形的全等变换》为例来谈一谈数学思想方法在复习课中的应用。
三、教学目标及重难点
1. 教学目标
（1）让学生学会用图形的平移、轴对称、旋转的性质解决问题
（2）让学生初步掌握用全等变换思想构造全等去解决较难的几何问题
（3）让学生经历活动、积累运用全等变换解决问题的经验
2. 重难点
重点：用图形的平移、轴对称、旋转的性质解决问题
难点：用全等变换思想构造全等解决教难的几何问题
四、教学过程设计
1.回顾
师：上一节课老师带领大家一起回顾了图形全等变换的概念和性质，图象变换性质的研究重点是什么？
生：变换前后图形之间的形状、大小和位置关系。
师：这些变换的性质有什么共性吗？
生：变换前后图形全等，只改变了图形的位置。
师：怎样用好这些性质去解决问题呢？带着这个思考，我们一起复习用全等变换的性质解决问题。
2.例题讲解
例1 如图1，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，连接AD。
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图1
问1：图中，由平移的性质可得到哪些结论？
问2：△ABC的周长为16cm，平移的距离为2cm，则四边形ABFD的周长为______。
问3：△ABC的面积为25，△ADG与△EFG的面积之比为4：9，则四边形CFDG的面积为_____。
师：想一想平移变换的性质在解决问题过程中的具体作用是什么？
设计意图：回顾平移的性质为问题2、3的顺利解决作铺垫。问题2:让学生体会应用平移的性质为解决几何问题带来的方便。平移改变了图形的位置但不改变其形状、大小，通过平移将分散的线段转移到恰当的位置，让其具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形，从而解决问题，体现了转化的数学思想。问题3应用了平移的性质：对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等，以及平移的面积不变性，具有一定的综合性。
练一练 如图2是一块长为a，宽为b的长方形草地，在这草地上有纵横交错着的宽为c的两条小路没有种草，则草地面积为多少？
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设计意图：这是一道实际问题，此题实际要求的是四块草地的面积之和。单独求每块草地的面积显然是不现实的，通过平移变换将小路平移到长方形的边上（如图3），这样就将四块草地集中到一起且面积没有发生变化，从而可很容易求出草地面积。此题也是对平移的性质的巧妙运用，化散为整，解决了这一实际问题。
例2 矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是AB上的点，沿CE翻折△BCE，B的对应点为B′，B′在AD上.
（1）求BE的长；
（2）连接BB′,交CE于点H，求EH的长；
（3）F是BC的中点，G是CE上的动点，求△BFG周长的最小值。
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设计意图：
问题（1）是典型的折叠问题，运用了轴对称变换的性质（折叠前后图形形状大小不变，具体有相等的线段、相等的角等）。根据这个性质，在不改变图形某些线段长短的情况下改变其位置，构造直角三角形，并用勾股定理来求解。体现了转化的数学思想。
问题（2）需要用到轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两对称点的线段。以及解决折叠问题中线段长度的一般方法——勾股定理、面积法、相似。让学生体会一题多解所带来的解题乐趣。
问题（3）典型的将军饮马问题，实则考查的是线段和最小问题，该问题可以转化为两点之间线段最短问题。在探索最短路径过程中，让学生体会轴对称变换的桥梁作用，感悟转化思想。通过三个问题的探究与思考，帮助学生寻找此类问题的突破口，掌握正确解题的方法和途径，充分利用图形变化中的不变量，感悟转化的数学思想，拓展学生的数学思维，激发学生的学习热情。
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设计意图：此类型题目需构造全等三角形，引导学生思考如何找到解决问题的方法和思路，获得解题经验：三条线段关系问题，需把三条线段转化到一条线上或一个三角形中，要用到（构造）全等变换来实现这一转化。通过旋转将分散的条件集中到同一个特殊的图形，用特殊图形的性质来解决问题，是解决此类问题的关键，体现了转化的数学思想。此外，对于旋转，要弄清楚旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转的角度。如何确定这三要素，需要学生认真审题，借助题目中同端点、等线段等已知条件来获得解题思路。
3.小结
问1：结合上面的例题，说一说全等变换的性质在解决问题过程中的具体的作用有什么？
问2：结合上面的例题，说一说你获得了哪些解题经验。
设计意图：数学新课教学是“画龙”，而复习则是“点睛”。复习课是一个系统、完善、深化所学内容的关键环节，有利于学生巩固、消化、归纳数学基础知识、提高分析、解决问题的能力。复习课中，教师应选择有针对性、典型性、启发性的问题，引导学生进行练习，当问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来，帮助学生归纳、总结，实现思维的提升。
五、教学反思
图形的全等变换这部分内容越来越受到重视，已成为中考中的热点、难点。但相关的复习课中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，忽略或淡化了蕴含在图形变换背后的数学思想，如转化思想、不变量思想等。从而导致一堂复习课下来，收效甚微。那如何才能打破这一局面？
1.通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想
“转化”是几何变换一个重要思想。这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易。它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想。
例如，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），来实现线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中。比如旋转是搬动图形最常见的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形、正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便。又比如将军饮马问题中，通过轴对称变换将直线同侧的线段转化为异侧，从而用“两点之间线段最短”知识来解决。
2.通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律
“变中不变”是图形变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形位置的改变，“不变”是指图形经过变换后不改变的性质和相关量，就是所谓的“不变量”思想。“变中不变”是我们研究动态问题的精髓。
例如，在图形变换的过程中，图形的形状大小不变，具体指的是变换前后图形的对应线段、对应角、面积、周长等不发生变化。
授人以鱼不如授人以渔，教师若是能在课前认真备课，抓住问题的关键和实质，在课堂上适时点拨学生的思维，渗透数学的思想方法，定会有效提高课堂的效果，提高学生的思维品质。