高建全
平顶山职业技术学院 河南省平顶山市 467000
摘要：泰勒公式是高等数学知识体系中的重要组成部分之一，并且这一公式在部分数学问题的分析和研究过程中发挥了十分重要的作用。为此，本文以泰勒公式的内容分析为切入点，就其实践应用展开了相应的分析。
关键词：泰勒公式；内容；实践应用
在数学研究领域中，对一些复杂的函数进行研究时,出于有效简化函数以便于研究工作深入开展的考虑，通常都希望使用一些最为简单的函数做出近似形式的表达，而其中多项式作为数学研究领域中最为简单的函数类型之一，只需要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，便可具体求出其函数数值，也正因如此，使得多项式被广泛的应用在其他函数的近似表达上。英国杰出的数学家泰勒斯在这方面做出了不朽的贡献，根据其有关的研究结果表明，具有一直到n+1阶导数的函数在一个点领域内的数值可以使用在该点上的函数值以及各阶导数值所共同组成的n次多项式做出相应的近似表达，这也正是泰勒公式的前身。泰勒公式本身作为高等数学知识体系中的一个重要组成部分，在多个方面的数学研究领域中都有着十分广泛的应用，并且为数学研究的深入发展带来了极大的便利。为此本文就数学研究领域中太多公式的实际应用进行了深入的分析和研究。
1、泰勒公式内容分析
1.1带有皮亚诺余项的泰勒公式
在泰勒公式定理中，如若函数f在x0位置上存在着直到n阶的导数，则函数f(x)=Tn(x)+0((x-x0)n)，换言之，
简单说来，这就是函数f(x)在x0位置上的泰勒公式，而其中的Rn（x）=f（x）-Tn（x）则就是泰勒公式的余项，而类似0((x-x0)n)就是皮亚诺型余项。从之前的定理不难看出，可以在代替函数y=f(x)的时候，使用泰勒公式对其余项大小进行估计，但是需要注意的一点是，这一估计也只是告知我们在x→x0的时候，误差是（x-x0）高阶上的无穷小量，从某种意义上来看，这一说法偏向于定性，简单说来，在函数给出一个固定点的时候，与之相对应的误差数值究竟有多大，这一类的泰勒公式无法准确得出这一数据。故此，必须要在深入探讨公式余项的基础上，最终得出一个便于计算或者是误差数值估计的公式形式。
1.2带有Lagrange 型余项的泰勒公式
而在泰勒公式还存在着如下这一定理：如果在[a,b]区间内函数f存在一直到n阶的连续导函数，n+1阶的导函数存在于（a，b）中，如此一来，对于给出的任意的x，x0∈［a，b］， 则至少存在一点∈（a，b），使得
。同时，需要注意的一点是，在n=0的情况下，这一公式又被数学界称为拉格朗日公式，为此，泰勒定理也可以视为拉格朗日定理向着高阶导数方向的发展及推广，而在x0=0的情况下，这一公式就变为了带有拉格朗日余项的泰勒公式。
2、泰勒公式的实际应用分析
2.1部分非初等函数的定义
就当前的情况看来，在部分非初等函数的定义过程中会经常性的用到泰勒公式。比如，函数f（x）在某一个区间（R）是连续的，则这个函数f（x）就会在这个区间（R）上存在一个F（x）＝f（t）dt ，x ∈ R的原函数，但在有些情况下，这个原函数是无法使用初等函数进行表示的，换言之，原函数无法使用通常积分进行求解。在这种情况下，就可以借助泰勒公式将被积函数f（x）展为一个幂级数，如此一来，f（x）就可以表现为幂级数的函数形式。
有这样一个例子：函数f（x）=e-x2在R上是连续的，故此在R上它也存在着一个原函数，但这个原函数却并非是初等函数，为此，就可以使用如下的方式：
2.2用于数学证明
通常情况，在数学领域中证明部分定理的时候也会用到泰勒公式，其中比较有代表性的就是中值定理证明，这里所指的中值定理指的是微分学上的一些基本定理，而这也恰恰是导数应用的重要理论基础条件，研究的侧重点是区间内函数的整体状态。
除此之外，如若在条件或者是结论中包含高阶导数的时候 ，一般情况下也都是借助泰勒公式进行证明。
由此不难看出，泰勒公式自身的应用较为广泛，借助其展开式或者是余项类型可以很好的用于中值定理的证明。
2.3用于函数极值的研究
在数学领域中，在研究函数极值的时候，通常都会使用如下的方式：在f′（x0）=0且 f″（x0）＞0（或 f″（x0）＜ 0）的情况下，则f（x0）就可以认定是函数的极值（极大值或者是极小值）。但需要的注意的一点是，如若f″（x0）=0，那么在判断x0点是否为函数极值点的过程中，也就必须借助f（x）的泰勒公式的帮助。比如，如果f（x）在x0位置上一阶、二阶和三阶导数结果全部为零，根据f(x)=f(x0)+(x- x0)2+o((x- x0)4)不难得出，在f（4）（x0）大于0的情况下，在x0位置上f（x）取得的是极小值，而在f（4）（x0）小于0的时候，则在x0位置上f（x）取得的是极大值。
在一般情况下，如果题目中给出了或者是经过自行推倒可以得出函数在某一个x0点上的具体函数值和在该位置上的低阶导数值f′（x0）以及f″（x0），就可以考虑使用泰勒公式进行极值的证明。
2.4用于函数极限的求解
在求解函数极限的时候，也可以借助泰勒公式的帮助，简单说来，就是借助带有皮亚诺型余项的泰勒公式，在展开函数之后可以直接带入或者是在经过函数变形之后将之带入到要求的极限中，如此一来，便可以很好的将原本求解函数极限的问题转化为多项式或者是有理分式的极限问题，尤其是在未定式极限计算的过程中更加有效。比如，在求解极限的时候，由于这一极限属于类型的未定式，为此，可以通过使用等价无穷小将sin４x替换为x4，在这之后，如果使用洛必达公式则至少要求4此导数并且整个运算过程将会变得十分复杂，但通过使用泰勒公式就能够在有效展开分子的前提下，进行求极限，且运算过程也会变得比较简洁。对于洛必达法则来说，就是同时是分子坟墓无穷小的阶数的同时降低一阶，但如若遇到分子分母二者都是阶数较高无穷小的情况就需要多次进行洛必达法则计算，这也就使得整个计算过程变得十分繁琐，而通过泰勒公式的使用，则可以在观察到的分子分母无穷小阶数的前提下，直接一步到位，将结果求解出来。
2.5近似计算和误差估计中的应用
在微分应用的过程中，导出了一个如下的函数近似计算公式：f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），但这一公式在实际的应用中，精准程度不足，并且从其本质上来看，这一公式是泰勒公式中一阶近似，在函数近似计算的时候，通过使用高阶泰勒公式能够确保最终结果的精准度符合计算的结果精度要求，比如：，|x-|≤ d，同时M，d都是定数。则通过泰勒公式可得，f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）+(x-x0)2+…+(x-x0)n，如此一来，该公式的误差。尤其是在求解一些实际数字的近似值的时候，微分法虽然也能够使用，但最终得出的结果误差相对较大，而使用泰勒公式得出的结果精准程度则是相对较高。
3、总结
本文主要是针对泰勒公式在数学领域中的函数求极限、求极值、中值定理证明、近似估算等诸多方面的应用分别进行了相应的分析和表述，但并非意味着泰勒公式只能够单纯的应用在数学领域中，这一公式在物理学等领域中也有着十分重要的作用，这也恰恰证明了泰勒公式本身所具备的十分重要的研究价值和作用。当然，由于本人研究精力及基础知识水平所限，本文中涉及到的对于泰勒公式应用方面的理解是较为浅显的，而且对其实际的应用广泛性远非体现在本文所提及的数学领域研究中，这也就意味着在今后的数学研究以及其他学科研究过程中，需要根据实际情况,针对将要解决的问题进行深入的分析,从而在有效把握问题条件及特征的基础上灵活的选择应用泰勒公式，从而在更好地发挥泰勒公式所具有的作用和价值的基础上，进一步推动有关泰勒公式方面的研究，同时这也是其他理科学科发展的一项重要基础条件。
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