张海燕 曹炼忠
湖北省当阳市第二高级中学
摘 要：课题组以《课程标准（2017）》提出的评价框架为基础，将数学运算核心素养的三个水平层次细化为感知、理解、迁移、创新四个层次，并拟出具体评价标准，以题组测试的方式来评价数学运算核心素养的水平层次.
关键词：高中数学；数学运算核心素养；评价框架；评价标准；题组测试
高中数学运算核心素养评价是高中数学教学评价的核心内容之一，尽管国外对数学核心素养评价已实施多年，但国内对数学核心素养评价的研究尚处于起步阶段，还有许多问题需要进一步探讨.为促进数学核心素养在高中教学实践中落实落细、进一步改进教师的教与学生的学，全面提高我市高中数学教学质量，2018年7月，由宜昌市教育科学研究院高中数学研究室牵头，在人民教育出版社、课程教材研究所申报立项了“十三五”研究课题《高中数学核心素养教学评价及其应用研究》,并围绕数学学科核心素养评价框架构建展开了深入探讨,数学运算核心素养评价研究是该研究课题的子课题之一.
一、数学运算核心素养评价框架建构
课题组以《课程标准（2017）》提出的评价框架为基础，并作了以下改进：
1.进一步明确内容维度
从内容维度的四个方面的具体表述来看，不仅涵盖面广，而且有一些交叉和重叠.为抓住关键、避免交叉与重叠，课题组对“情境与问题”、“交流与反思”作出进一步的界定，“情境与问题”中的“问题”主要指在具体情境中提出的数学问题，包括问题提出与问题解决；“交流与反思”主要包括三个方面：一是用所学数学知识、方法进行解释、说明，并用恰当的数学语言予以表述；二是认识数学知识学习的价值；三是交流数学学习过程中的体会与感悟.
2.适当细化水平层次
合理划分水平层次是教学评价有效实施的关键，水平层级过多或过少都不能有效区分.参考国内外一些主要教学评价模型的水平层次划分方法，并结合高中生认知发展特点，将数学学科核心素养按从低到高的顺序划分为感知、理解、迁移和创新4个层次.即：
感知：对知识有初步的、感性的认识，知道所学知识的具体内容，能初步体会数学知识引入的必要性与合理性，能在具体问题情境中识别、模仿.
理解：能认识数学知识的本质内涵，能阐述知识之间的区别与联系，清楚知识的来龙去脉，能将所学知识纳入已有知识体系，形成新的认知结构，能应用所学知识解决简单的数学问题.
迁移：能将所学知识迁移到不同的情境中去，以促进新知的学习与理解，能通过知识整合，将所学知识融汇贯通，能针对不同情境中的问题灵活应用所学知识加以解决.
创新：对所学知识有自己独到的见解，能生成超越教科书的重要结论，能对问题进行推广与变式进而得到新的问题，能应用所学知识解决一些非常规的问题，能用数学的思维去看待和处理一些现实生活中的问题.
显然，这一水平划分遵循了“学科核心素养生成的本源是知识”这一逻辑起点，是对喻平教授提出的三个水平层次的进一步细化.增加“感知”这一水平层次,既可避免教学过程中特别是新课阶段部分学生一时难以达到“理解”层次而出现的评价盲区，同时又能将《课程标准（2017）》中的学业质量标准落实于日常教学评价之中,实现终结性评价与过程性评价相结合.
通过上述改进，可以得到如图所示得数学学科核心素养评价框架.
二、数学运算核心素养评价标准及案例
1.数学运算核心素养评价标准
情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
水平一
（感知）
能在简单的情境中了解运算对象，提出数学运算问题. 能够了解运算对象的基本概念、公式、定理等；能在简单的数学情境中，了解运算法则及其适用的范围，解决简单的运算问题 能用数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）表达运算法则、运算过程；能在运算过程中，感知运算法则的意义和作用，能够运用运算验证简单的数学结论. 在交流过程中，能够对运算的结果进行分析
评价，能够用运算的结果说明表述问题，并反思结果是否符合题意或实际情形.
水平二
（理解）
能在熟悉情境中准确识别运算对象，提出数学运算问题. 能解释运算对象和运算法则的含义；能在熟悉的情境中，根据问题的特征形成合适的运算思路，解决问题. 能理解用数学语言表达的运算法则、运算过程；能在运算过程中提炼出解决一类问题的数学方法，体会运算法则的意义和作用. 在交流过程中，能结合实际情境解释运算对象、运算法则；能反思算法，总结算法特点形成通性通法；在交流过程中借助运算探讨问题，体会算理的合理性，明确算法的优劣.
水平三
（迁移）
能在关联的情境中结合已有数学知识，确定运算对象，提出数学运算问题. 能将掌握的数学概念与运算法则迁移到关联的情境中；能针对运算问题 ，合理选择运算方法、优化运算程序，解决问题.
能明确运算过程中各运算步骤之间的逻辑关系，能理解运算是一种演绎推理；能够在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用.
在交流过程中，能从数学运算的角度来梳理
不同数学模块甚至其它学科领域的一些问题，进而拓展为用程序化的思想理解问题.
水平四
（创新）
能在综合的情境中把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向.
能深刻理解数学运算对象和运算法则间的逻辑关系；能对运算问题，构造新颖独特的运算程序，有创意地解决新情况新问题. 能感悟数学的通性通法中蕴含的程序思想；能用程序思想理解与表达问题；理解程序与计算机解决问题的联系.
在交流过程中，能够用程序思想理解和解释学科背景问题或现实生产生活背景问题.
2.题组测试的案例分析
【问题情境】题组
题1：解下列一元二次不等式: ① ②
③ ④.
题2：解不等式.
题3：已知不等式的解集是，求不等式的解集.
（2013年高考安徽卷）已知一元二次不等式的解集为，则的解集（ ）
题4：已知
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.
【评价意图】在培养数学运算核心素养过程中，不仅可以发展数学运算能力和数学思维，而且可以让学生养成爱思考，爱动手的好习惯，从而培养学生的数学逻辑推理能力，及数学严谨性的态度，基于核心素养视角下，编制这四个题，明确数学运算内容并划分数学运算水平，进一步了解高三学生运算水平的现状.数学运算的核心素养要落实应该在课堂，学生达到水平层次除了根据学生上课的表现采用老师的提问，学生的演排，自评，互评，学生的面部表情，肢体语言等各种渠道由老师给一个定性评价外，也可以通过诊断性评价即测试的方式进一步来定量地分析学生的水平层次.数学运算不仅仅是算对，更重要算的快，算的有深度，广度.即思维的严谨，思维的迁移，能创造性的解决与之相关的练习.在高三进行专题：一元二次不等式的解法的讲解后，特设计一组题目：定量地评价高三学生的数学运算核心素养达到的水平层次.题1考察水平层次1，题2考察水平层次2，题3考察水平层次3，题4考察水平层次4.
【评价解析】题1：①
解：原不等式变形为：
所以不等式的解集为. ....................5分
②
解:原不等式可变形为：
所以解集为空集. ....................5分
③
解:原不等式可变形为
所以不等式解集为. ....................5分
④
解:原不等式可变形为
所以不等式解集为 ....................5分
题2：解不等式
解：不等式的解集可以转化为的图像在x轴上方的图像对应的x的值，又因为的开口向上的抛物线，而的符号不确定， ....................5分
所以分三种情况讨论（1）当时图像如图所示
原不等式的解集为R. ....................5分
(2)当或时图像如下：
由图像可知，原不等式的解集为....................5分
(3)当或时方程的两根分别为，图像如下：
所以原不等式的解集是：..........5分
当0<a<4时原不等式的解集为R
当a=0,或a=4时原不等式的解集为.
当a>4,a<0时原不等式的解集是
....................5分
题3：已知不等式的解集是，求不等式的解集.
解：由题意可知
所以即
不等式的集集为（2,3）....................5分
（2013年高考安徽卷）已知一元二次不等式的解集为，则的解集（ ）
解:由题意可知：f(x)>0的解集
可变为....................5分
题4：已知
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.
解：求函数的定义域 ....................1分
求导：....................1分
此时导函数的符号与的图像是一致的.............3分
分来研究导函数的符号.
由图像可知：当a=0时，函数在为增函数；当a>0时函数在为增函数，在为减函数；当a<0时，函数在为增函数.....................5分
（3）由第一问可知函数要有最大值a>0,并且最大值是 . ....................5分
由题意得，即....................5分
研究函数的图像，求导：，
函数为的增函数，由因为当a=1时，函数值为0，所以图像大致为：
所以不等式的解集是0<a<1.................5分
【水平界定】题组1：上述四个不等式是具体的一元二次不等式，属于在熟悉的情景下直接用所学的方法去解决问题的类型.完成它就说明达到水平一：感知.
题组2与题1区别：含有字母系数的一元二次不等式，因为都是一元二次不等式，那解决问题思路就应该是一样的，在做题的过程中，你会进一步理解当你按照程序化的思路走时会在十字路口徘徊，都有选择的机会，而此时就涉及分类讨论，结果自然而然的.通过推测、想象，比较等思维活动，较深刻的理性认识运算法则间的逻辑关系；在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用.由此说明达到层次2：理解.
题组3是已知一元二次不等式的解集，解新的一元二次不等式或者抽象的不等式.这需要同学们反向思维寻找解决问题的方法，解决问题的思路体现学生的迁移能力，这正体现学生运算达到水平3：迁移.
题组4看似与解一元二次不等式完全不相干的，但是解决问题的过程可以看出我们要用解一元二次不等式的解法：图像法是一致的.所以新的问题出现解决问题的方法都在书上，万变不离其宗，要会用你掌握的方法创造性解决新问题，这才叫学会学习.能完成它说明达到水平4：创新.
【评价标准】
题号 水平层次 评价标准 赋分 得分
1 感知 能用所学的方法解简单的一元二次不等式.
同学交流能简单复述解一元二次不等式的解法. 20
2 理解 通过学生独立展示解含有字母系数的一元二次不等式体会算理的合理性.
让学生在交流中能结合实际的情景解释运算对象，体会算法，明白万变不离其宗的道理. 10
3 迁移 会根据不等式的解集求参数的值.
通过交流让学生明白数学是思维的体操，会用所学的方法解决新问题，能举一反三，能正用也要能反用. 10
4 创新 会在综合情景中用所学的解一元二次不等式的方法：转化的方法和数形结合方法解决新问题.
在交流过程中能用所学的解一元二次不等式的方法创造性解决一些非常规的问题，揭示运算对象的数学本质，感悟数学的通性通法. 10
【评价实施】本组测试对象40人，来源于我校高三的学生(物理化学生物班)，检测的时间40分钟，评价的方式为纸笔现场测试.
【评价结果】1.数据统计
题号 1 2
得分
0
5
10
15
20
0
2
4
6
9
10
人数
0
2
3
12
23
4
4
7
0
15
10
占比 0 0.05 0.075 0.30 0.62 0.10 0.10 0.175 0 0.375 0.25
题号 3 4
得分
0
5
10
0
1
2
3
5
7
10
人数
2
8
30
10
2
3
0
12
7
6
占比
0.05
0.20
0.75
0.25
0.05
0.075
0
0.30
0.175
0.15
2.结果分析：
题1的准确率偏低，做题的方法有多种：用结论做题即大于取两边，小于取中间，但如果出现对应方程没有根或者有两个相等的根时错误就高，也有同学转化根据符号法则转化为方程组做题，有同学根据图像做题，在用这些方法做题中，用图像做题的同学准确率高，用另外两种方法做题的人稍微差些，由此在最后高三复习的过程中我认为当解题的方法有多种时，强化好用的，事实上现在的新课程的编写也说明这一点，教材上解一元二次不等式都是画对应函数图像来解决的，特别好理解，不易犯错.
题2是解含有字母序数的不等式，结果不理想.如果在复习时对解不等式的方法作一个规定，他们在讨论时是不是思路更清晰.在解含有字母系数的形式上有点儿像一元二次不等式的不等式时要把握好分类讨论的层次：首先根据二次项的系数的符号分类，其次根据根是否存在即的符号分类，最后在根存在的情况下根据根的大小进行分类.
题3的测试的效果比题2的效果要好.以致我在想作为这节内容水平层次划分如何界定还需要思考.
题4是考察学生的创新能力，事实也是想说明只要是解不等式方法都是相通的：图像法是解决所有不等式都能用的，但是学生在得分上不理想.由此还需要通过多做强化.
【评价结果】一个高三的学生只能解决题1或部分会做的，就说明数学运算素养处于水平一，完成题1且能动笔做题2，就说明该生数学运算素养达到水平2.完成题1，题2和题3，说明学生达到数学运算核心素养水平3.完成题1,2,3,4说明该生数学运算水平达到数学运算核心素养水平4.
【评价建议】数学始终离不开数学运算，运算素养是学生适应未来社会一个最基本的素养.而学生在学习和考试过程中经常出现的错误就有计算问题.计算问题成为首要解决的，这就需要我们在平时的教学过程中关注运算素养的培养，只有这样，学生的数学素养才能有所提升.高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步：梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养的共识.通过学习，明确为啥这样算，到底要咋算.
作为这个案例我要说明：解一元二次不等式在整个高中阶段占用重要的地位，比如解某些看起来不是一元二次不等式但它可能通过换元转化为一元二次不等式来解，也有些各种不同类代数式用运算符号连接的不等式你可能要用解一元二次不等式的方法比如转化的思想或者研究对应的函数图像来解决问题，所以会解一元二次不等式特别是在解一元二次不等式中涉及到处理问题的方法对解决数学问题特别有帮助.由此我们在教解一元二次不等式的新课时，一定要讲清知识的来龙去脉，你会发现你有时做题可能是用结论做题，大多数你可能是用产生的过程做题.再次强调过程比结果更重要.同时在遇到新的问题时也要给学生强调教材的重要性，万变不离其宗，法都在书中.刷题是重要，但是掌握基本方法，基础知识更重要.不管在任何情况下，不能忘“本”！
实际上我们在整个高中教学中时刻将关注点聚焦数学运算核心素养：一完善学生的认知结构，提高运算的合理性，准确性，即重视双基教学，关注算理，及时纠正运算偏差；二要重视学生思维品质的优化，提高运算灵活性，简捷性即加强发散性思维的培养，重视数学思想的指导，重视非智力因素的培养，克服畏难情绪，重视严谨表达的培养.
参考文献：
中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人促进数学核心素养在教学中落地生根民教育出版社，2018.1(74～79，100～79).
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