李腊华
广东省深圳市龙岗区深圳中学龙岗小学 广东 深圳 518116）
摘要：四年级数学五大运算律中，学习乘法分配律是难点，孩子易产生负迁移。其主要原因是孩子不能准确地表征分配运算律概念的本质。可尝试运用几何模型的策略，建立形与数的对应，逐步抽象出符号模型，辅助理解。
关键词：负迁移；形与数的对应；符号模型
孩子们上四年级了，在学习五大运算律这一版块内容时，我发现孩子们对于加法与乘法的交换律、结合律，无论怎样变式，做起题来非常顺手。可是学习乘法分配律的时，却不够准确与灵活，出现负迁移，如（a+b）×c与（a×b）×c混淆；（a+b）×c变成a+b×c这类错误。原先利用加法、乘法结合律能轻而易举解决的问题，在学习了乘法分配律后，反而出现多种错误。这就引起笔者的思考。
原因之一，分配律是运算律这个版块的教学难点，教材引入例题的材料具有一定的相似性，相互有干扰性，增加孩子理解的困难。原因之二，孩子对分配运算律的表征仅停留在表象上，没有理解概念的本质，数与形的网状知识结构零散，不能有效地提取并建构抽象的运算律。
如果利用几何直观的呈现，对应形与数，就能使孩子在理解形与数的关联的基础上，有效地找到形与数的结合点，表征乘法分配律概念的本质就不是难点了。
一、调动以往知识储备，建立形与数的对应
孩子学习这部分知识不是零起点，比如：在算运动服的上衣和裤子的价钱直观图时，就隐含着乘法分配律。
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上衣55元，裤子35元，四（4）班要买48套，一共需要多少钱？采用（55+35）×48和55×48+35×48两种不同的计算方式 ，探索发现，两种算法结果是一样的。
这还不够直观。
在学习长方形周长的两种计算方法时很容易与乘法分配律之间建立形与数的关联，将直观的形与抽象的数一一对应，以形表数，形成并理解乘法分配律的直观模型是掌握抽象运算律的必要过程。
如下图：
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（1）从形到数，利用已有的解决问题的经验得出算法。
先用两种方法求出第一个长方形的周长，3×2+4×2=14，（3+4）×2=14。然后对照式子中的每一步运算说出对应图中的哪一个部分，明确每一步运算代表的直观意义，理解3×2+4×2=（3+4）×2的意义。
（2）从形到数，经历形与数的一一对应过程
出示第二个长方形图，不出现具体数据，再算周长，得出（长+宽）×2=长×2+宽×2不难，孩子很清楚，这两种算法求出的周长肯定相等。但是此时抽象出(a+b)×c=ac+bc还是有困难的，因为有个唯一的数字“2”在里面干扰。
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（3）模型直观化，增加数与形的对应联系
在这个以形对应数的过程中，孩子对（长+宽）×2=长×2+宽×2这一乘法分配律的直观模型有了更深刻的理解，明白（3+4）×2 3×2+4，有效避免了这类错误的出现。
二、利用折纸模型，建立数与形的变式对应
比如在计算：99×38+38这道变式题中，孩子总是不能理解99为什么要加上1，即99×38+38=38×(99+1)。其原因还是在于对乘法分配律这个概念的表征感悟不足。利用刚才的计算长方形周长的方法略迁移一下，动手做一做，就能使孩子体会乘法分配律的本质意义。
动手做：先折一个长方形模型，长为99和宽为38，询问99×38表示的意义，用长方形（长×宽）表征出来，如图：
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思考：那么要让这个面积与38相加，此时38表示的是线段的长还是图形的面积？38是38×1，很显然是图形面积。
摆一摆：将两个图形组合起来，应当如何表征呢？于是新的图形的面积就是：99×38+38=38×(99+1)
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表征出来实际上是乘法分配律的变式。这道题还可以用剪一剪的方式表征，从一个图形中剪掉另一个图形的面积。在加一加、剪一剪的模型中，孩子会发现乘法分配律总是隐藏在两种数量相同的不同事物里，可以是它们的和，也可以是它们的差。式与形就紧密结合起来共同纳入他的认知系统。
三、以形引数，提取运算律的符号模型
直观模型因其数农学院具体化而呈现一定的局限性，需要向符号模型转化，可以借助抽象程度不同的“形”引导孩子一步步经历符号化的过程，最终概括和提取乘法分配律的符号模型。
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让孩子再次计算长方形的周长，当长方形的长和宽变成了a和b，周长怎样算？还可以是几？如果2也变了，比如变成了4，变成了5、6，两个式子还会相等吗？让孩子猜测并作图证明自己的想法。
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借助长方形周长抽象的线段引申出：（a+b）×4=a×4+b×4,再以a一段，b一段的顺序将线段延伸......形的延伸带动数的扩大，（a+b）×4=a×4+b×4；（a+b）×5=a×5+b×5；（a+b）×6=a×6+b×6......顺利抽取出(a+b)×c=a×c+b×c这一符号模型，揭示出这一从图形中来的等式还表示着一种运算定律，即乘法分配律。
几何直观，以形表数，以形引数，让孩子经历了从运算律的直观模型到符号模型这个抽象化的过程。抽象之后再回到具象，则是对抽象的巩固与灵活延伸，有利于孩子把握概念的本质。