李韶庭
湖南省澧县职业中专学校 415500
摘要：数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。本文结合中职数学教学实际，阐述了数学归纳法在教学中的应用。
关键词：数学归纳法，教学；应用
人教版职业中专《数学》第二册对数学归纳法这样的定义：先证明当n取第一个值n0时(例如n0=1)命题成立；然后假设n=k(k∈N，K≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立，这种证明方法叫数学归纳法。教材同时对数学归纳法的证明步骤作了明确的说明，即：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确。(2)假设n=k(k∈N，K≥n0)时结论正确，证明当n=k+1结论也正确。
在完成了以上两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确。在应用数学归纳法证题时，上面第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。学生在习题中常常顾此失彼，易犯各种错误。为避免解题出错，教师应重视分类练习，把各种题型的证明方法、证明技巧，正确无误地传授给学生，真正作到举一反三、触类旁通。
应用之一：用数学归纳法证明恒等式
例1.用数学归纳法证明
1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N)
证明： (1)当n=1时，左边=1，右边=1，结论成立；
(2)假设n=k时结论成立，即
1+3+5+…+(2k-1)=k2，那么
1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]
＝k2+[2(k+1)-1]
＝(k+1)2
这就是说，当n=k+1时结论成立。根据(1)、(2)可知结论对于任何n∈N都成立。
应用之二：用数学归纳法证明不等式
例2.用数学归纳法证明
(1+2+…+n)+(1++…+)≥n2 (n∈N)
证明： (1)当n=1时，结论显然成立；
(2)假设n=k时结论成立，即
(1+2+…+k)+(1++…+)≥k2
当n=k+1时
[(1+2+…+k)+(k+1)][(1++…+)+]
＝(1+2+…+k)(1++…+)+(k+1)(1++…+)+1+(1+2+…+k)·
≥k2+(k+1)(1++…+)+1+
≥k2+1++k(1+)
＝k2+1+2k
＝(k+1)2
即n=k+1时结论成立。
根据(1)、(2)可知，对n∈N，(1+2+…+n)+(1++…+)≥n2成立。由例2可知，利用数学归纳法证明不等式，经常要用到放缩的技巧。
应用之三：用数学归纳法证明数或式的整除性
例3.用数学归纳法证明
(x+3)n-1能被x+2整除(n∈N)
证明： (1)当n=1时，结论显然成立。
(2)假设n=k时，结论成立，即(x+3)k-1能被x+2整除
当n=k+1时
(x+3)k+1-1=(x+3)[(x+3)k-1]+(x+2)
由数学归纳法假设，以上两项均能被x+2整除，故当n=k+1时，结论也成立。根据(1)、(2)可知，对n∈N，结论成立。
由例3可知，利用数学归纳法证明数或式的整除性，经常要用到凑的技巧。
应用之四：用数学归纳法证明数列的通项公式
例4.已知数列{an}满足a1=a，an+1=，试推测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。
解：由an+1=，可得a2=，a3==，a4=，……
推测数列{an}的通项公式为
an＝
证明： (1)当n=1时，结论显然成立；
(2)假设n=k时，ak=成立。
那么当n=k+1时
ak+1 ==
＝
＝
即当n=k+1时，结论成立。根据(1)、(2)可知，对n∈N，都有an＝。
应用之五：用数学归纳法证明几何题
例5.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不共点，用数学归纳法证明这n条直线被分割成n2段。
证明： (1)当n＝2时，结论显然成立；
(2)假设n=k时，结论成立，即k条直线被分割成k2段。
那么当n=k+1时，增加了k+(k+1)条线段或射线，即K2+k+(k+1)＝(k+1)2，也就是说n=k+1时，(k+1)条直线被分割成(k+1)2段。由(1)、(2)可知，对n∈N，结论成立。
应用之六：翘翘板归纳法
翘翘板归纳法适用于有关论证两个相关命题都正确之类的问题。设有两个相关命题An与Bn，则翘翘板归纳法采用的证明推理是：(1)当n=1时，A1是正确的；(2)假设当n=k (k∈N，k≥1)时，Ak是正确的，那么Bk也是正确的；又假设Bk是正确的，那么Ak+1也是正确的。再由(1)(2)可知，对于n∈N，命题An与Bn都是正确的。
例6.考察数列的和：0+3+3+7+8+13+15+21+24+31+…，这个数列是按照下列法则组成的，它的奇数项a2n-1=n2-1，它的偶数项a2n=n(n+1)+1
求证： S2n-1=n(n+1)(4n-1)-1
S2n=n(n+1)(4n+5)
证明： 设An=a2n-1，Bn=a2n
(1)当n=1时，A1＝S1=0，A1是正确的；
(2)假设当n=k时，Ak是正确的，
即Ak=S2k-1=k(k+1)(4k-1)-1
则Bk=S2k
=S2k-1+a2k
=[k(k+1)(4k-1)-1]+[k(k+1)+1]
=k(k+1)(4k+5)
即Bk也是正确的。由(1)(2)可知，本题的命题结论是正确的。
这种翘翘板归纳法还可以作进一步拓展。如果论证的相关命题有m个[A1(n)，A2(n)…Am(n)]时，那么相应的证明推理就变为：(1)当n=1时，A1(1)是正确的；(2)当n=k时，A1(k)是正确的，则A2(k)也是正确的；又若A2(k)是正确的，则A3(k)是正确的……；又若Am-1(k)是正确的，则Am(k)是正确的；又若Am(k)是正确的，则A1(k+1)也是正确的。因此，由(1)(2)可知，对于n∈N，A1(n)，A2(n)，…，Am-1(n)，Am(n)都是正确的。
可见，要学好数学归纳法，首先必须正确理解其定义，其次应重视分类练习的指导工作，让学生在练习中发现问题，纠正错误。只有这样，才能使学生分析问题、解决问题的能力在日常练习中得到提高。参考文献
[1] 程克玲.数学归纳法及其应用[J].赤峰学院学报,2011,(3).
[2] 张昌亮,李炳君.解析数学归纳法在中学数学中的应用[J].当代教育实践与教学研究.2018,(8).