俞萍华
浙江省杭州市萧山区南阳初级中学
摘要:构造法是初中数学经常使用的解题方法，通常情况下，初中数学题都有已知条件，然后需要根据已知条件求结论，解题者需要思考已知条件和结论的特殊性，构造一个从条件到结论的桥梁，以此来解决数学问题，有时甚至可以直接构造出结论中的数学对象。本文将简要介绍构造法的内涵，从构造方程、构造图形、构造函数的角度，探索构造法在初中数学中的运用。
关键词:构造法；初中数学；运用
初中数学是培养学生逻辑思维的重要学科，解题过程中大多都有固定的思维模式，那就是通过分析已知条件，从这些条件当中得出结论，最终达到解题的目的。对于一些难题来说，有时候题目当中给出的条件不充足，难以利用已知条件直接向结论过渡，所以解题就会面临困境，而构造法恰好可以创造条件，是解决复杂数学问题的有效途径。构造法有多种使用方式，比如说构造方程、构造函数、构造不等式等等，这样的方法能够抓住数学问题的主要矛盾，虽然并不是直接解决数学问题，但是却能够寻找辅助方法，利用间接的方式解题。
一、构造法的概念
在初中数学教学中，解题方法和解题思路是非常重要的教学内容，学生理论知识掌握得再好，如果不懂得如何解题，数学成绩就难以得到提升，理论知识也难以在实践当中体现出来。构造法能够最大程度地考查学生基础知识的掌握情况，促进学生对问题的理解，加快学生解题速度，培养学生的数学思维。初中数学题已经具备一定的难度，有时候学生按照定向思维解决数学问题会感到无从下手，不知道如何求解，这时就可以采取构造法的手段，从其他方向获得解题的帮助，降低解题难度。数学问题的常规解题方法就是从条件到结论，运用已知条件求得最终的问题，是一种定向思考的方法，学生的思维不需要拐弯，但是有些问题在条件和结论之间设置了诸多障碍，学生解题的难度更大，如果运用常规的思维进行求解，根本无法得出最终的结论，这时就应该采用构造法。构造法是数学解题中常用的方法，需要把问题的已知条件作为重要的解题元素，然后明确问题当中的已知关系，让已知关系成为桥梁，再通过观察和联想，形成一种新的设计，让问题换一个形式，有效跳过问题的障碍，从而获得全新的解题方法。从构造法的特征上来说，这种方法能够对数学问题给予较为直观的描述，能够拨开数学问题所设置的重重障碍，让最终的目标得以显现，构造法不但能够回答数学问题，还可以直接把问题的结果构造出来。在初中数学解题过程中，构造法的运用一定要明确解题目的，知道构造一个图形、方程等元素的根本目的，抓住构造法使用的根本目标，避免解题方法跑偏，并且还要弄清楚问题具备的特点，然后找准解题的切入点，构造解题方案。
二、运用构造法解决数学问题的原则
构造法是数学解题的基本方法，具有灵活多变的特点，在不同类型的题目中都有较多的运用，但是它没有固定模式，也不可以完全套用，在解题过程中需要具体问题具体分析。构造法的使用需要遵循一定的原则，不但要会解题，还要善于解题，找到巧妙、便捷的方法。
1.直观性原则
直观性原则是初中数学构造法的重要使用原则，解题者所构造的数学形式，一定要和结论有较为清晰的关系体现，这样才能保障构造法的使用正确。比如说这道题“已知a、b是实数，并且4a4-2a2-3＝0，b4+b2-3＝0，求解代数式a4b4+4a4的值”。在这道题中，学生需要将已知条件中的关键信息提炼出来，再去寻找它和结论中a4b4的关系，通过已知中的两个式子，可以得出（-2a2）2+（-2a2）-3＝0，（b2）2+b2-3＝0，令-2a2为t，观察两个式子，可以发现其中的相似性，把-2a2和b2看做t2+t-3＝0的两个根，再利用韦达定理求解。
2.等价性原则
初中数学运用构造法解题需要遵循等价性原则，把所构造的对象进行转换，用其他满足所有条件的同等形式表现出来，这样数学问题就可以从新的条件下解题。比如在这道题中“假设a＞b＞c且a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求出a+b的取值范围。”解答这道问题应该从两个式子入手，a+b+c＝1得a+b＝1-c，通过平方可以得出a2+b2+c2＝1，然后通过代入可以得到ab＝c2-c，通过以上式子可以得出a和b是x2+（c-1）x+（c2-c）＝0的两个不同的实根，△＝（c-1）2-4（c2-c）＝-3c2+2c+1＞0，通过解这个式子，可以得出c的取值范围，然后得出a+b的取值范围，最终1＜a+b＜4/3。
3.相似性原则
当学生解答数学问题时，首先要认真观察数学问题的条件，然后开展联想，寻找以往解决过的问题中是否存在类似的、熟悉的式子，然后再去构造数学模型，间接性地解决问题。相似性原则在解决几何问题、代数问题中经常被使用，学生要仔细观察求值、求范围的式子与已知条件之间的关系，然后通过换算，利用一些定理，把结论中的式子表现出来。
三、构造法在初中数学中的运用
1.构造图形法
在初中数学的整个教学系统中，学生需要学到实数、方程、函数等各种代数知识，也会学到三角形、四边形、圆等各类几何图形，了解不同图形的性质，并且学会运用数形结合的数学思想，能够让图形和代数之间相互转化，促进自身数学思维的提高。其中构造图形法是初中数学常用的解题方法，当数学问题中条件和结论之间的关系比较隐蔽时，我们就可以采用构造图形的方法，寻找每个条件背后所蕴藏的几何思想，想办法用几何的方式表示出来，运用数形结合的思想，将原本比较复杂的代数问题转化为直观的几何问题，促进数学问题解决。几何图形的构造需要用到图形的拆分、组合，解题人员一定要熟悉各种几何图形的性质，这样才能更快地解决问题。比如：求+的最小值。直接做，学生无从下手，但如果运用构造图形法，直观简洁。如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B,D作AB⊥BD,DE⊥BD,连接AC,CE,当AB=2，DE=3,BD=12时,设BC=x,则CD=12-x,那么+的值即为AC+CE的长,这样就可以直观地得出当A、C、E在同一条直线时AC+CE最小，也就是当C点在线段BD与线段AE交点处时，这个最小值就是线段AE的长。而要求线段AE，可以构造直角三角形利用勾股定理求得。再如“已知 |x-1|+|x-5|＝4，那么x的取值范围是多少？” 在解答这道问题时，学生首先需要明白绝对值的涵义，可能会分类讨论，但比较麻烦，如果能够了解绝对值的几何意义，联系数轴进行思考，从题目的已知条件中可以得出“x在数轴上和1之间的距离”+“x在数轴上到5的距离”＝4，画出数轴，发现只要在数轴上是1和5之间的数，那么这个数字到1和5的距离之和就是等于4，并且包含1和5本身，因此，x的取值范围是“1≤x≤5”。在实际的解题过程中，很多复杂的初中数学问题都可以用几何图形来表示，学生可以运用数轴、三角形、圆等图形，通过数形结合的思想，结合图形的有关性质，联系所学内容，更加快速地找到图形和问题之间的关系，然后运用图形找到未知的条件，从而解答问题。通过构造几何图形，解题者可以迅速找到解题途径，将复杂的问题变简单，使数学问题迎刃而解。构造图形法不但能够加快学生的解题速度，让复杂的题目变简单，还能锻炼学生化抽象为形象的能力，强化几何思维。
2.构造方程法
方程是初中数学教学的重要内容，和数、关系式、函数等知识密切相关，同时也是学生解决数学问题的重要工具，构造方程法是初中数学的基本方法，学生要学会观察数学题目，善于从题目当中发现问题，并且认真分析，探索数学问题的结构特征，把数学问题当中的数量关系挖掘出来，提炼出已知条件和未知条件，这样才能够造出一个新的方程形式，让问题的解决更加合理巧妙。
比如在八下课本42页合作学习中，一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心（B）正以20km/h的速度由南向北移动，已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km.（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会陷入台风影响区？你采用什么方法来判断？（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，多少时间就进入台风影响区？能否进入？何时进入？需要运用构造方程法，先假设轮船能够进入台风影响区，然后再利用勾股定理列出等式。设进入台风影响区的时间为x小时后，CE=30x千米，BB′=20x千米，根据条件得出AC=400km，AE=400-30x，AB′=300-20x，得出方程（400-30x）2+（300-20x）2=2002，得出x1≈8.35，x2≈19.34，这样就可以算出轮船在8.35个小时以后进入影响区。在这道问题中，构造一元二次方程是关键步骤，此外还需要学生掌握勾股定理。构造方程法在初中数学中如几何求值、不等式、函数问题中经常被使用。方程是一种等量关系，学生可以通过方程求出未知数或者是未知数的范围，在构造方程之前，学生首先要掌握方程的性质，抓住解题的主要矛盾和解题目标，巧妙解答出数学问题。
3.构造函数模型法
构造函数模型的方法经常使用在数学应用题当中，用于解答实际问题。构造函数模型能够在实际问题中引进数学符号，明确已知条件和未知条件之间的关系，然后将实际的物品或者文字语言用数学符号来表示，创建出恰当的函数关系式，然后再去解答函数式，解决出实际问题。学生在构建函数模型的时候，需要重点考虑自变量的取值范围，让函数模型更加严谨、准确。比如说在下面这道题中，解题者就可以优先采用构建函数模型的方法，让实际问题变得简单，可操作性更强。某作坊现在拥有玉米、花生这两种原材料，其中玉米原料共有360千克，花生原料共有290千克，工厂的车间计划采用玉米和花生这两种原料生产a、b两种食用油，计划生产50件，生产一件a食用油，需要用9kg的玉米以及3kg的花生，生产一件b食用油，需要用到4kg的玉米和10kg的花生，如果a食用油一件的利润为70元，b食用油单件利润为120元，生产a产品几件时利润最大？在解答这道问题的时候，学生可以构建函数模型，假设生产a食用油x件，生产b食用油就是50-x，假设生产a产品x件时这两种产品获得的总利润为y元，写出y和x之间的关系式，分析函数的性质。通过问题我们可以得出函数关系式为y＝70x+120（50-x）=6000-50x，问题是何时利润最大，需要得出自变量取值范围再求。由9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，这样可以得出x的取值范围是30≤x≤32，因为x代表的是食用油的数量，所以x必须是整数，取值可以是30、31、32，在这种条件下，x越小，利润越大，这样就可以得出最大利润。构造函数模型在初中数学教学中经常使用，尤其在一些求最值问题中，借助函数模型解答数学问题，可以帮助学生深入理解，加强学生思维能力，提高实践能力。
4.构造恒等式法
运用构造法解决数学问题，最为重要的思想就是运用条件和结论，在仔细分析问题条件后，构造解题的辅助元素，可以是图形，也可以是一个等式或者函数，再或者是其他等价的命题，通过这些辅助元素，我们可以转化数学解题的矛盾，让数学问题得到解决。构造恒等式也是构造法的典型使用方法，比如说在下面这道题中，就可以运用构造恒等式的方法。已知a，b，c，d为四个不同的有理数，并且已知（a+c）（a+d）＝1，（b+c）（b+d）＝1，求（a+c）（b+c）。在解答这道问题时，我们首先要明确这道题的问题是求（a+c）（b+c），然后对四个有理数进行分析，将他们带入到一致的条件当中，得出一个可计算的关系，然后通过演变和换算，求出问题最终的结果。从题目中可以知道a和b是方程（x+c）（x+d）-1＝0的根，所以可以构造出一个恒等式，（x+c）（x+d）-1＝（x-a）（x-b），在构造了这个恒等式之后，可以令x＝-c，这样就可以得出-1＝（-c-a）（-c-d），然后就可以顺利得出（a+c）（b+c）＝-1。构造恒等式的方法在数学解题过程中经常使用，还有一些恒等式可以记住，这样就能缩短学生的审题时间，进一步提高学生运算速度，让复杂的数学问题简单化。
5.构造反例法
构造反例法也属于构造法的一种，在初中数学问题解答中，有一些判断正误的题目，这时候就可以采用构造反例法，只要举出一个特例，就可以证明一个说法是错误的。比如说在下面这道题中，需要学生进行判断这个命题是否正确，如果两个三角形的三个边和三个角，这六个元素有五个元素是分别相等的，那么它们就是全等的关系。在这个说法中，学生只要举出一个特例，就可以证明该命题是假命题。
如图所示，学生可以构造一个三角形ABC与三角形EFD，三个内角分别相等，其中AC的长度为18，CB的长度为12，AB的长度为8， EF的长度为18，ED的长度为12，DF长度为27，学生在构造了这两个三角形之后，因为三个角分别相等，可以得出这两个三角形是相似的关系，并且有两条边是分别相等的，完全满足题干当中五个元素分别相等的条件，但是明显这两个相角形并不是全等的关系，所以题干中所说的命题是一个假命题。再比如说，下面这道问题，“如果一个四边形的一组对边相等，一组对角也相等，那么它是平行四边形。判断命题真假并说明理由”这个命题明显是一个假命题，学生只需要举出一个反例，就可以证明该命题不成立，比如说学生可以构造一个四边形ABC′D′，然后说明这个四边形的一组对边长度相等AB=C′D′，其一组对角也相等∠B=∠D′，而且不是平行四边形，就可以证明命题是假命题。总而言之，在初中数学解题过程中，所谓的构造反例，最根本的目的就是为了证明一个命题为假命题，一般情况下，在说明一个命题不成立的时候，就需要学生开动脑筋，利用题干当中所给出的条件，构造不符合命题结论的特例。构造反例法对于初中学生来说是基本功，在考试中运用广泛，能够有效提高学生的做题速度，帮助学生排除题目的困难，是一种证明命题的有效方法。
结束语
初中数学非常考验学生的数学思维和逻辑思维，绝大多数的数学问题都是由已知条件推未知条件，然后以问题为根本，搭建题干当中的已知条件与结论之间的桥梁，最终才能解答出数学问题。作为一名初中数学教师，应该从多种方向带领学生观察，仔细研究数学问题的内在原理，然后通过类比分析，找到更加简洁有效的解题方法，发现一些巧妙的解题技巧，增强学生的数学思考能力和实践能力。在初中数学教学过程中，很多学生遇到难题习惯放弃，认为数学这门学科枯燥乏味，由于经常不会解题，学习兴趣也不高，针对这种情况，教师更加要培养学生思维的灵活性，教给学生运用构造法解题的步骤，给予学生启发，让学生欣赏到数学独特的魅力，在解决问题的过程中寻找乐趣，不断开拓自身的思维空间，在数学学习中进行创新。构造法包含了构造图形、构造方程或不等式、构造函数、构造代数式等多种具体方法，在应用过程中也要结合数学问题本身，具体问题具体分析。
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