胡艳霞
山东省威海市文登区米山中学 264424
摘 要：典型代数模型和几何模型是中考数学试题中经常会出现的题型，因此对于初中二年级的学生来说，应该学会熟练掌握初中数学中的一些代数与几何模型的使用方法。这些方法都要使用在一定程度上对学生解答中高难度的试题有一定的帮助。几何模型中最为典型的就是一线三等角模型，同时又可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角。
关键词：一线三等角模型；几何模型；初中数学
教师在给学生讲授几何图形时要有意识的强化对基本图形的运用，这样才能让学生通过基本图形去发现和描述问题。在确定两个三角形相似之后，两组对应角应该分别相等。反之也是因为有两组对应角分别相等才会出现一对相似三角形。在不同的题目中，尤其是一线三等角这种情况通常都会出现在矩形、等腰三角形以及梯形中。
1 矩形折叠中的“一线三等角”
一线三等角在矩形折叠中的运用通常情况下都会表现为直角一线三等角，这也是因为矩形的每个角都是直角。一线三等角的模型是把矩形的一个角折叠，当它的直角顶点落在矩形一边上时形成的。在这种情况下就会得到两个相似三角形，然后利用对应边成比例这一理论就可以求得有关线段的长度。举个例子来说：
在矩形ABCD中AB=1，BC=a，点E在边BC上且BE=3/5a，连接AE,将三角形ABC沿AE折叠，若点B的对应点在B1若在矩形ABCD的边上,则求a的值是多少。
通过题目可以得出，当点B1落在AD边上时，因为四边形ABCD是矩形，所以角BAD=角B=90度。因为三角形ABC沿AE折叠，点B的对应点B1落在AD边上，所以角BAE=角B1，AE=1/2角BAD=45度，所以AB=BE，所以3/5a=1，所以a=5/3。
又因为当点B1落在CD边上时，因为四边形ABCD是矩形，所以角BCD=角B=角C=角D=90度，AD=BC=a。又因为将三角形ABC沿AE折叠点B的对应点B1一落在CD边上，所以角B=角AB1E=90度 ，AB=AB1=1，EB=EB1=3/5a。所以DB1等于根号下B1A的平方减去AD的平方，也等于根号下1-a的平方，EC=BC-BE=a-3/5a=2/5a。三角形ADB1与三角形B1CE 中，角B1AD=角EB1C=90°-角AB1D，角D=角C=90度。最后求的a的值为3/5或者是 3分之根号5。
例，在矩形ABCD中，直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终经过点A，三角板的另一直角边PN与CD交于点Q，判断△ABP与△PCQ 是否相似，说明理由。分析：在这个运动变化中，图形的变化是否会引起结论也发生变化呢？下面在运动变化中去寻找图形所体现的变与不变。
解：相似，理由如下：∠B=∠C=90°，又∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴△ABP∽△PCQ。一线三直角基本图形：此图形的特点：∠B=∠APQ=∠C=90，且这三个直角的顶点都在同一条直线上。
这个基本图形又可以进行变式应用于等边三角形中。
变式一：△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且∠AED=60°，那么△ABE∽△ECD
分析：很容易证明∠B=∠AED=∠C=60°，且这三个角的顶点都在线段BC上，则可判断两个三角形相似。
变式二：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D、E分别是AC、BC上的点，且∠AED=45°，那么△ABE∽△ECD。
2 等腰三角形中的“一线三等角”
等腰三角形的性质是有两个相等的底角，所以一线三等角在等腰三角形中出现概率最高。
通常利用三角形外角的性质得到另一组等角，然后利用有两个角分别对应相等的两个三角形相似证明相似三角形。
举例：在△ABC 中，AC=BC，点 D 是线段AB上一动点，∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持 ∠A=∠EDF，射线 DE 与边 AC 交于点 M，射线DF与边BC交于点N，连接MN．
（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；
（2）如图3，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF 绕点 D 旋转过程中，点 D 到线段 MN的距离为定值；
解析：（1）△ADM ∽ △BND. 理由：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵ ∠A+∠AMD=∠EDF+ ∠BDN，∵∠A=∠EDF，∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND；
（2）作DG⊥MN于G，DH⊥AM 于H，由（1）得，△ADM∽△BND，∴AM/BD=DM/DN ，∵AD=BD，∴ AM/AD=DM/DN ，又 ∠A =∠EDF，∴△ADM∽△DNM，∴∠AMD=∠NMD，又∵DG⊥MN，DH⊥AM，∴DG=DH，即在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值。
3 等边三角形中的一线三等角
等边三角形的“一线三等角中，更多关注的是全等三角形，且第三等角位置变化时，研究有关线段变的数量与位置关系。
例如：已知：△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，以AD为边作等边△ADE。
（1）当点D在线段BC上时，求证：BD=CE，AB∥CE；
（2）若点D在CB 的延长线上，上述结论是否成立？
解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE =60°，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△ABD 和△ACE 中AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴ △ ABD ≌△ ACE（SAS），∴ BD=CE，∠ACE= ∠B=60°，∴∠ECF=60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE
（2）理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD ≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，∴∠ECF = 60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE。
4 结束语
初中数学的教学过程中，几何图形有着重要地位，因此几何问题的解决，在一定程度上依赖于几何图形。通过对一线三等角图形的基本特征进行观察、比较、归纳，可以让同学在不同的背景中，对这一基本图形有着一定的认识。又在看电影，同学的解题思路可以通过准确的图形而得到拓展，为解决问题提供一定的帮助。
参考文献：
[1]沈小龙.一线三等角基本图形的运用[J].教育教学方法,2016(03):9５．
[2]刘玉香．相似三角形基本模型的应用[J].教育教学方法,2015:(04):77．