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摘要：分形几何理论作为一门新兴学科目前已广泛运用于结构工程研究中。本文回顾了近期相关试验研究，系统的归纳了分形几何理论在钢筋混凝土梁力学性能研究中取得的相关成果，分析了现阶段分形几何学在梁结构研究中存在的问题，并为后续研究提供了一些参考与建议。
关键词：分形；分形几何；分形维数；钢筋混凝土梁
一、引言
作为研究不规则图形和非线性现象的有力工具，分形几何学现已广泛运用于土木工程、岩土工程、材料科学等领域[1-3]，现阶段主要用来表征以前难以定量叙述的、复杂的对象，是连接系统有序与无序、线性与非线性之间的桥梁。
钢筋混凝土梁作为最具代表性的受弯构件，一直是工程界的研究热点。由于混凝土具有不均质、不连续的特点，造成混凝土梁式结构在正常服役阶现出很大的离散型和随机性，经典的连续介质力学和欧式几何难以描述这一现象。
研究表明，混凝土受力裂缝满足统计自相似性，具有分形特征[4]，通过分形维数作损伤因子来表征混凝土梁式结构的全生命周期是可行的。为促进分形几何理论在钢筋混凝土梁研究中的应用，本文对近期国内外基于分形几何理论的钢筋混凝土梁性能研究进行综述，为梁式结构安全评估方法提供了一个新视角。
二、分形维数的算法
通常，将Hausdorff维数为分数的形态称之为分形（fractal）。分形几何的创始人Mandbrot给出了分形的通俗解释“将一个复杂的、无序的整体划分为若干个体，任取其中某一个体扩大一定倍数后都能近似得到原先的整体，这样的集合称之为分形”[5]。
分形维数作为分形理论中最重要的几何参数，算法有很多，不同算法各有优劣，应针对不同的研究对象选择合理的测定方法[6]，下面对工程领域常用的分形维数计算方法进行汇总。
（一）Hausdorff 维数
Hausdorff 维数是理解分形维数的关键，本着实用的原则，简明扼要的说明Hausdorff 维数的一般定义与算法。
（二）盒维数
实际上Hausdorff 维数具有严密的数学定义，是基于测度论推导而来的，适用于任何集合，这也造成其计算难度极大（需要对从无穷大种集合的覆盖情况进行讨论），寻求一种更简明扼要的算法来测量Hausdorff 维数成为了研究者们的目标，盒维数算法由此应运而生。
盒维数算法是目前工程领域使用频率最高的分形维数算法，其定义为用边长为 （又称标度[7]，最大集料尺寸≤ ≤裂缝最大直线距离）的小正
分形分析软件能实现自动计算图形的记盒维数，常用的分形计算软件有：Matlab中的第三方工具箱Fraclab、ImageJ的分形插件FracLac、FractalFox等。
三、分形维数与承载力的关系
研究表明[7]，混凝土结构表面受力裂缝分布的分形维数取值为1.10~1.90，其中线性分布为1.10~1.40，面状分布为1.30~1.60，网状分布为1.50~1.90，钢筋混凝土梁的受力裂缝一般为线性分布。混凝土受力裂缝扩展的分形维数与其承载
力密切相关，通过整理近期研究[8-11]。归纳出分形维数与外荷载的关系，其结果汇总于图1。
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图1 分形维数-分级荷载图
当弯矩达到（0.2~0.4）Mu时，试验梁未开裂或开裂不久，此时梁表面的分形维数小于1，不具备统计分形特征；开裂以后，梁进入带裂缝工作阶段，裂缝迅速发展，当弯矩达到（0.3~0.9）Mu时，试验梁分形维数范围在1~1.3。
四、分形维数与跨中挠度的关系
跨中挠度是抗弯构件变形验算的重要参数，分形维数与梁跨中挠度的关系如图2所示。
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图2 分形维数-挠度图
图2统计了不同粗骨料粒径、不同水灰比的试验梁分形维数与跨中挠度的对应关系，表明跨中挠度随分形维数的增加呈增加趋势，水灰比与粗骨料粒径对分形维数影响显著：姜思凡[12]的研究表明不同水灰比混凝土与分形维数呈正相关；王勇[9]的研究表明分形维数随粗骨料粒径范围增加而增加；当水灰比、粗骨料粒径范围都较大时，对应的分形维数也较大[13]。
五、分形维数与最大裂缝宽度的关系
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图3 分形维数-最大裂缝图
对于梁式结构来说，裂缝控制是影响其长期性能的关键因素之一，过大的裂缝宽度会使混凝土保护层失效，造成纵向钢筋直接暴露在空气中，削弱结构整体力学性能，故建立裂缝宽度与分形维数之间的关系对于结构损伤分析尤为重要。分形维数与最大裂缝宽度的关系如图3所示。
由图3可知，随着分形维数的增加，试验梁的最大裂缝宽度也随之增加，用曲线斜率表示裂缝扩展速度，加载初期，试验梁对应的裂缝与分形维数也较小，随着外荷载的增加，曲线斜率越来越大，即加载后期的裂缝扩展速度比加载初期大。在相同分形维数下姜思凡[12]的试验梁初始裂缝宽度最大，这是因为他配置混凝土时选用的粗骨料为天然卵石。相较于碎石，卵石颗粒表面更圆滑，与水泥砂浆之间的粘结力更小，抗裂性能也更差[15]。
六、结语
分形理论作为一门新兴学科，虽然在土木工程领域取得了一定成果，但总体上处于起步阶段，目前尚有诸多问题需要解决：
1）分形维数作为一个纯数学概念，其内在物理含义不太明确，有时甚至会出现与力学参数相矛盾的情况，用唯象统计分析的方法建立的分形维数与混凝土梁式结构其他诸多力学性能之间的定量联系是否能用于结构分析还需商榷。
2）不同的维数计算方法会造成其计算结果千差万别，目前还没有一个具有普适性、权威性的分形维数计算标准。
综上所述，目前基于分形理论在钢筋混凝土梁式结构中取得的研究成果还远不能达到指导工程的要求，在混凝土材料特性、结构力学性能与耐久性、结构损伤检测等方面还需进一步研究。
参考文献：（References）：
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作者简介：黄钊伟（1995-），男，汉族，四川省自贡人，重庆交通大学研究生，研究方向：结构工程。