郭庆杰
山西省长治市上党区第一中学校，047100
笔者近日在教学人教A版高中数学必修二《第三章 直线方程》内容时，给学生列举了这样一道试题：
过点P(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程。
同学们主要有以下几种解法：
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思路小结：本解法通过设出直线的点斜式方程，将面积表示为关于斜率k的函数，通过研究函数的最小值进而得到围成三角形面积的最小值。
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思路小结：本解法根据直线截距式方程的特点，类比三角函数的平方关系，通过三角代换，结合三角函数的有界性，对围成三角形面积的最小值进行了求解。
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思路小结：本解法通过观察图形的特点，进行了面积分割，以角度为自变量，进行了面积最小值的求解。
做完此题之后，我们不妨对此类问题的一般情形进一步探究如下：
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由以上解答，我们找出了此题的一般性结论，培养了学生从特殊到一般的数学思想方法。
利用坐标法解决解析几何问题，主要体现了数形结合思想。对于本题，我们可以思考以下问题。
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结论I：过任意一点P(m,n)(其中m>0,n>0)的一条直线与x、y轴正半轴交于A,B两点时，所围成的OAB面积最小值为2mn；
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加强对数学问题的探究，有助于帮助学生在跳出题海的同时对所学的知识融会贯通，从而减轻学生的学习压力，在奇妙的探究过程中，让学生领略数学的魅力、体会学习数学的兴趣。
参考文献：
[1] 潘振嵘.摭谈对教材例、习题功能的深层挖掘 [J].数学通讯（下半月），2015（5）.
[2] 谢宗明. 解析直线与坐标轴围成的三角形面积问题[J]. 中学生数理化(教与学), 2010(11).
[3] 杨绍国, 董成勇. 过定点直线与坐标轴围成的三角形问题探究[J]. 数学通讯, 2015(Z4).