余旭红
浙江省绍兴市柯桥区浙光中学，312025
摘要：笔者以基于教育技术的阅读材料拓展课《探寻一元二次方程的几何模型》教学为例，让学生经历“一段历史，一个过程，几种思想”的拓展课探究之旅，进而提升数学素养，发展数学思维.通过教学反思，笔者形成了如何在阅读材料拓展课中应用教育技术促进学生数学素养提升的一些感悟.
关键词：教育技术 数学思想 数学文化 拓展课教学
1 问题缘起
日本数学教育家米山国藏曾说：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学文化精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用.”，所以我们在数学教学中要有意识地加强数学思想方法和数学文化的渗透与运用，从而提高学生的数学素养.
笔者近一年以来，把书中的阅读材料设计成校本拓展课，尝试用技术追寻思想痕迹和文化味道，进而提升数学素养，发展数学思维.笔者以一节阅读材料拓展课为例，把所思所想与同仁们交流探讨.
2 课程解读
根据学生的生理和心理特点，笔者选取浙教版初中数学七、八、九年级中典型的18节章节后的阅读材料改编成《阅读中的智慧数学》课程，教科书中的阅读材料可分为信息技术类、实际应用类、数学历史类.它发展学生的动手、动口、动脑的能力；它让学生充分经历数学知识的强大应用；它渗透有趣的数学历史文化，让学生沿着古人的研究足迹探究数学，充分感受数学的起源与好玩，在斗志昂扬的数学学习中提升学习兴趣和品质；它运用教育技术和专业的数学学科设计相结合，采用第一课堂问题课前导学推送，第二课堂问题拓展，让阅读材料插上飞翔的翅膀，学生感悟数学思想方法，发展想象能力、创造能力和实践能力.
3 设计思路
设计课前导学，完成用不同方法求解一元二次方程，并用家校帮推送，师生能看见每一个学生的解答，把典型解法进行对比 ，感受基本数学思想；设计预学展示，通过巩固与发展，感受一元二次方程的几何意义.问题1的探究，融合应用IRS反馈，定时求解，探求一元二次方程的几何意义，感受用几何模型求解一元二次方程的正根.问题2的探究，用视频展示花拉子米的研究足迹，感受灿烂的数学文化；设计问题3，让学生动手画图，用平板互推，展示每个组的思考过程，通过奖励给分，定时抢答，互助讲题，深究用几何模型求解一元二次方程的本质方法；设计问题4，让学生巩固所学知识解题，并发散思维，鼓励学有余力的学生用另外的几何模型解题.
4 片断解读
4．1 “全员展示”的课前导学有效追寻基本的数学思想
课前导学的典型问题：
解方程：2（x+1）2=x+1
通过教学助手的课前导学，看见每一个参与学习的学生的解答情况，课前导学中的典型解法如下，如图1至图4，课前在屏幕中展示：
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师：同学们思考一下，四种解法有何区别？谈谈你的看法.
生1：图1用了因式分解法，图2用了十字相乘法，图3用了公式法，图4用了配方法.
生2：图1的方法简单，图4的方法复杂，所以计算出现了错误.
师：这几种方法的本质区别在何处？图1的方法有何优越性，是怎样想到的？
生3：图1中的解法把“x+1”看成了整体，而图4中的解法先转化为一般式，然后用配方法，在开平方时出现了错误.
师：同学们想想，通过解题，发现了解题本质了吗？
生4：图1的解法应用了整体的数学思想，从而化繁为简！
解读：陶行知先生曾说，“我们必须变成小孩，才配做小孩子的先生.”,教育技术的可视化，展示学生的全员板演，让老师走近孩子，清晰知道孩子在想什么，在多种解法的对比中感悟基本的数学思想，感悟用整体法解一元二次方程的数学本质，并为接下来用几何模型解答一元二次方程奠定扎实基础.这种有效基于学生认知的教与学，润物细无声地促进学生数学素养的提升.
4．2 “几何味道”的预学展示追寻发展的数学思想
问题1：解下列一元二次方程：
（1）x2=16（x>0） （2）(x+5)2=36(x>0) (3)(x-2)2=9(x>2)
思考：你能分别说出以上三个方程所表示的几何意义吗？
问题2：用配方法解一元二次方程：x2+10x=39.
思考：假设以上方程的x的值大于0，你能说出以上方程所表示的几何意义吗？
对于问题2，有以下典型回答：
生5：以上方程所表示的几何意义是一个长方形，长为x+10,宽为x,它的面积为39.
生6：以上方程所表示的几何意义是一个边长为x的正方形和一个长为10，宽为x的长方形的面积之和为39.
师：通过配方法解答以上方程，最关键的步骤是什么，通过同学们的思考，能否用几何的方法求解以上方程呢？
……
解读：瑞士教育家裴斯泰洛齐说：“数学教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维.”,可见数学素养的最核心的本质是良好数学思维的形成.老师设置基于最近发展区的预学展示，采用定时，IRS互动反馈，记分板等奖励措施，助力自主探索后的小组合作学习，通过竞争的形式，促使小组成员互帮互助，畅所欲言，在不同思维的碰撞中找到代数法和几何法解一元二次方程的联系点，从而让更多的学生追寻发展的数学思想：模型思想、数形结合思想.
4．3 “吸引眼球”的微视频追寻灿烂的数学文化
微视频展示：９世纪，阿拉伯数学家花拉子米（ ａ ｌ －Ｋｈｗａｒｉｚｍｉ，约７８3～８５０年）继承了古希腊人的“几何代数”传统，在其《代数学》中，对很多一元二次方程的问题，都借助于几何图形来求解，《代数学》中的一个问题是：“一平方与十根等于三十九迪拉姆，求根”（即求解方程x２+10ｘ ＝39）.花拉子米将方程左边的 x２+10ｘ看作边长为 ｘ的正方形和长为 ｘ 、宽为10的长方形面积之和,利用构造几何图形法来求解这个方程的正根.
解读：数学大师陈省身先生提出“数学好玩”，声形并茂的微视频以学生为中心，寓教于乐，关注知识在内的数学文化，培养学生的核心素养为目标，吸引学生眼球，激励学生主动探寻解题方法，提升领悟数学问题背景和本质的数学素养.
4．4 “自由思考”的画图操作追寻神奇的几何模型
问题3：聪明的你能否探寻花拉子米的研究足迹，构造几何图形来求解这个方程的正根吗？
通过自主思考后的小组合作，移动讲台推送典型作品.
通过挑选错误资源，让相应学生发表见解，在师生的纠错中生成以下二个几何模型：
解读：叶澜教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”，动手画图的开放性设计，引领学生自由思考，充分展示对数学问题的理解.移动讲台及时抓拍典型错例和创新性解法，让每一个学生充分享受美丽的错误资源和激动人心的数学探究，更让学有余力的学生积极应用平板推送精彩解法，通过讲题向其他同学展示学习成果，迸发强烈的学习激情，并自然有效地在同学间传递，进而提升学生感悟数学之美，深究数学本质，追寻数学思想解决数学问题的素养.
4．5 “展示个性”的深度探究追寻多元的数学思考
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老师及时评价与鼓励，并让学生课后再一次思考此题，找其他的几何模型，并尝试以小组为单位，写出反思小文章，展示思考过程和解决此类问题的通法，发送作品到家校帮的互动平台，共同欣赏与评价.
解读：设计具有延展性的数学问题，着眼于新旧知识的连接点，关注新知、新方法延伸点，发展以良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的数学核心素养.在这个环节，技术提供定时，随机挑人，抢权和奖励积分的功能，有效助力学有余力学生的深度思考，创新性方法的很有个性地展示配方法的多种几何模型，引领学生在课后进一步深究如何有效链接代数与几何的联系，构造不同的几何模型解题，提升数学思维的深刻性，进而提升学生善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养,并尝试把火热的数学思考写成反思性小文章,培养学生发现和欣赏数学智慧之美的数学素养.
5 反思总结
技术支持下的初中数学阅读材料拓展课，采用“一段历史，一个过程，几种思想”的执教思路发展学生的数学核心素养，根据以上课例呈现和类比迁移，笔者形成草根性的认识如下，供同行们交流探讨.
5．1 课前导学指向基础知识和数学思想方法的有效融合
熟练地运用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想是数学素养之一，课前导学利用家校帮云平台把每一个学生的预习解答可视化，低起点的课前导学适于绝大多数学生的解答，学生在做一做中感受成功的愉悦，可视化的课前导学向全体师生呈现宝贵的错误资源，通过正确和错误解答的对比交流，通过技术的挑人，抢权，定时，奖励等措施有效助力思考的深入，在具体的教学中，老师要注重学生以数学概念、公式、定理和法则的理解，用技术手段帮助学生认清知识的发生、发展过程，在规律概括、问题解决的过程中，把握提炼数学思想的契机，完善学生的思维品质，发展创新精神，提升数学素养.
5．2 微视频指向外显性知识与内隐性知识的有效融合
外显性知识能用文本表达出来的式子，如教材、教案、板书、课件等，内隐性知识指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层，包含数学文化，数学材料的背景知识，数学逻辑知识及过程性知识等.
本节阅读材料拓展课中，应用配方法解答一元二次方程属于外显性知识，配方法的解题步骤能使学生利用代数法简单有效地解题.一元二次方程的几何意义，用几何模型解答一元二次方程和感悟花拉子米的研究足迹追寻数学文化等是内隐性知识.形象生动的微视频让学生感受数学的灿烂文化，引领学生继承古人的悠久文化，并用发展的思维建立多种几何模型解答一元二次方程.培养对各种问题“以数学方式”的理性思维，从多个角度探寻解决问题方法的数学素养.
5．3 可视化解答指向结果性知识和过程性知识的有效融合
《数学课程标准》（2011版）指出：“教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生、发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径.”，家校帮云平台能把学生的预习作业可视化，平板或移动讲台等终端设备的有效推送能把学生的课堂思考可视化.可视化的解答让师生看见每一个学生的思考，以便以学定教，因此可视化技术较好地贯穿知识的发生，发展，学习，领会，巩固，在拓展课中让学生动口、动手、动脑，利用技术助力学生探索问题的主动性，引导学生感受新知识，学会新知识，掌握新知识，熟练地运用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养.
5．4 数学软件有效介入指向学科性知识和实践性知识的有效融合
用几何画板软件对函数、几何图形进行实验操作，通过设置参数，改变函数图像和几何图形，在变化中发现不变的数学本质，跳出单纯地进行数学知识的学习，利用具体生动的几何画板数学实验主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养.如本节课例中，在沿着花拉子米的足迹探寻几何模型解答一元二次方程，有较多学生不能得到寻找几何模型的本质：把长方形拼接成一个正方形.此时，可用几何画板对学生解答产生的错误几何模型进行验证，化抽象为具体，从而抓住数学本质，发展学生的形象思维，提升数学素养.
参考文献：
１．卢良芳.注重数学实验，展示探索过程，积累思想方法[J]. 《中学数学》，２０１6.6．