叶良军
杭州市富阳区场口中学 浙江 杭州 311407
【摘要】 在新课程理念下，教师课堂教学方式的变更虽有些许改变却一直是“新瓶”裝“旧酒”，重知识轻能力、重结果轻过程、重习题轻体验的单向化功利化的课堂一直存在．这与核心素养提升的实践探索是格格不入的．为此笔者结合课堂教学实践，从四个方面研究引导学生“做数学”．让学生在“做”中探索，在“做”中理解和掌握数学知识，体验求知的无穷乐趣，提升学生数学核心素养．
【关键词】 “做数学” 核心素养 实物操作 数据分析 数学探究 数学建模
《普通高中数学课程标准》指出数学课程的基本理念：把握数学本质，提倡合作交流，促进学生实践能力的发展.数学学习评价要关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成与发展，要关注学习的结果，更要重视学生学习的过程．
然而现实中一些课堂教学做的不够理想：
在《双曲线及其标准方程》课堂中，老师对双曲线的定义没有做出演示与说明，而是直接获得结论，理由很简单，椭圆中已探究过了，这里就不演示与探究了;在获得双曲线的标准方程时，同样没有推导过程，而是直接呈现结果，理由是浪费时间，不如把时间用在做题上面.实际上学生也没有多少兴趣去探究推导上述内容，觉得自己会解题就可以了.
以上现象一定程度上反映了数学教学的一些现状，暴露出一些问题：
（1）教师方面：注重单项传授知识，机械的训练技能；整个课堂基本是老师的个人表演，以完成教学进度为唯一目的；对于一些内容的探索与推理的过程体验缺乏重视.
（2）学生方面：对探索研究缺乏兴趣，对数学的理解仅局限于一些公式与定理的基本应用，对数学内容缺乏深层次的理解，也缺乏动手的机会.
美国华盛顿图书馆的墙上贴有这样三句话“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了”.数学不是听出来的，也不是看出来的，而是“做”出来的，课堂教学中要实践“做数学”.
“做数学”是指让学生通过操作实践、合作探究、共享交流、实际应用等一系列活动来主动构建数学知识、把握数学本质、启发思考．强调的是参与、经历、体验、获得.
笔者从实物操作、数据分析、数学探究、数学建模四个维度开展“做数学”的路径研究.
一、实物操作中“做数学”，体验数学直观
自己动手获得的知识将会是根深蒂固的，也是直观的，所以在一些课堂教学中，可以采用实物操作的方式来“做数学”.通过实物操作，学生经历过程、合作交流、体验数学直观．
1.动手操作探索原理，获得定义内涵
在新课教学中，有些定义、定理、概念等如果直接给出，或者只是老师直接分析而得出，那么学生对它们的理解是不够透彻的，记忆也不深刻.若是学生能自己动手操作来获得，那么效果会完全不一样.
例如：在《椭圆及其标准方程》教学中，一般都是老师演练与解析椭圆的定义，或者观看动态视频，学生很少参与其中，只是最终得到结果.要让学生参与操作.课前准备：同桌2人为一组，一人准备图钉若干、白纸数张，另外一人准备细线一条、木板一块、铅笔．课堂上：组织学生动手实验操作如下，并思考和记录：
①将纸平铺在木板上并用图钉固定，在白纸上取两点，细线的两头固定在处，不妨令细线长为，且；
②一位同学按住木板，另外一位同学用铅笔尖拉紧细线，并转动一周，画出一个图形，学生发现是一个椭圆，然后两人互换；
③缩短细线长度，使，重复操作②,问学生得到什么结果？学生回答：一条线段；
④如果使，出现什么现象？学生发现画不出任何图形．
通过①～④的操作，经历了实验操作、合作讨论后，学生才能真正掌握与理解椭圆的定义及需要满足的条件．在学生完成实验的同时，经历了知识形成的过程，经历了“做数学”的过程获得直观体验．
2.利用实验寻求结论，推导公式内容
有些公式与结论的推理证明过程非常复杂，在教学中是直接给出的，比如球的表面积与体积公式，有些是在后面的探究中给予说明，虽然不影响后面的学习，但学生对知识的认同感还是不够的，实际上可以应用实验来实现.
例如：可以利用实验的方法获得球的体积公式.准备三个容器：①半径为的半球型容器一个；②半径和高都为的圆锥型容器一个；③半径和高都为的圆柱型容器一个.让学生实验：将水注满①②号容器，然后把两个容器中的水一起倒入③号容器中（如图1），水刚好装满圆柱.此时就能激发学生的探索欲望，引导学生列出式子，推导球的体积公式：
，,即．
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① ② ③
图1 实验操作过程
上述片断中，老师根据不同于教材的“想法”，利用实验来引导学生“做数学”，从实验结果推导出需要的结论，从而激发学生的兴趣，增强学生数学认同感．
3.合作试验获得图形，体验直观感受
有些图形的获得如果靠老师讲，靠书本上看，学生不会留下深刻印象的，过后就忘．如果通过实物操作，获得直观图形，不仅提高学生积极性，也能提升学生数学直观想象能力.
在《正态分布》一课中，老师先让大家预习课本，然后回答几个问题，学生回答好后老师作一个总结，然后得出结论，画出图象（图2）：这条曲线我们简称之为正态曲线.
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图2 正态曲线
这样操作其实学生对正态曲线理解不深刻，不直观，学生的总体感觉是比较空洞，不能真正理解正态分布.
图3 高尔顿板实验图
实际上老师可以组织学生合作试验：准备一个类似教材中的实验模型（如图3），模型比较复杂，可以分组合作.课前将全班分成三个大组，每一大组分成三小组，三个小组分工合作，一个小组准备球槽，一个小组准备盒子，还有一个小组准备足够的小球（或豆子）.课堂上，三个大组同时实验，最终三个大组的实验结果都呈现出正态分布，重复实验结果也是如此，学生感觉很神奇.其实这就是高尔顿板试验，演示的是正态分布规律．提示学生自然界很多分布就是符合正态分布，比如人的身高、人的智商等.至此学生亲临体验，获得直观感受.
学生只有通过亲身操作实践，才会加深对数学知识的体会和理解，才会有长足的发展，达到真正“做数学”的目的，从而获得数学直观.
二、数据研究中“做数学”，实践数据分析
《普通高中数学课程标准》与时俱进的将数据分析作为高中数学课程目标中培养学生所必备的六个数学学科核心素养之一，数据分析能力是大数据时代与“互联网+”必备品质，数据分析主要表现为：收集与整理数据，理解与处理数据，获得与解释结论形成共识，可以通过以下途径引导学生“做数学”．
1.亲身经历收集数据，建立数据分析观念
观念的形成
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最好的方法是经历与体验，“做数学”本身就是经历与体验，获得感知．
在《概率的意义》一课中：
思考：抛一枚硬币不管出现正面或反面的概率都是0.5，那么连抛两次结果是怎样的？一正一反吗？
实际上解决这个问题，可以让学生自己收集数据来加以说明：
全班45位同学，分成三组，每组15人，每人准备一枚一元硬币，连续抛20次，然后以小组为单位统计如下表：
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学生在抛的过程中就发现，连抛两次不仅会出现一正一反，还出现两正或两反的情况.如何解释这一现象？引导学生计算出现正面朝上的比例是0.4978，接近0.5.这时可以问学生，当实验次数越来越多时，会出现什么结果？学生很自然会回答：无限接近0.5.这就可以与学生解释概率与频率的关系，并让学生理解概率的真正含义，同时也解释开始提出的问题产生的原理.
亲身经历可以促使观念的建立，要建立学生数据分析观念，最好的方法是让学生参与数据统计活动的整个过程中，尤其是数据的收集过程体验.
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2.多维扣问数据 ，理正数据分析方法
要引导学生重数据，却不能拘泥于数据，要客观的分析数据，学会质疑数据.可以列出以下信息让学生去分析：
第1条信息：百度搜索份额占比73.1%，完成搜索请求1096亿条，比前一年提升0.5％；
第2条信息:百度的搜索请求相比前一年提升了0.5％，Google的搜索请求提升了3.5％；
第3条信息：百度的市场份额下降2.1%，Google增加了5.6％，两者差距缩小至7.7%.
以上表述的是同一个事件，然而学生分析后得出了混乱的结论.这时要引导学生深入分析，叩问数据，要向学生解析一下关于分析数据的几个原则：
第一，独立的看一个数据是没有意义的
第1条新闻中提到百度搜索份额占比73.1%，上升了0.5%，让学生感觉是百度份额上升，Google的份额下降.第2条报道比较全面，意思就是百度和Google都是在增长，且Google增长速度更快，其它的搜索引擎份额是在下降，学生总结出分析数据时，不能只是孤立的看数字.
第二，数据的口径必须有可比性
上述报道有的是按收入来定义（第3条信息），有的则按搜索请求来定义，提醒学生一定要保证口径一致的前提下才能进行比较.
第三，理解数据收集方式的差异
问学生：2020年美国总统大选前，特朗普民意支持率达到44%，拜登是41%，为什么最后拜登获胜？学生会疑惑.
这时可以与学生解释：调查结果有时不能反映真实情况，大选调查过程主要是对总统选举感兴趣的人参与了投票，还有很多人没有参与，不能用这个结果来预测大选结果；同时，一个调查团队也有倾向性，特朗普的团队自然会去找特朗普支持者去调查用以宣传自己并抨击对手，学生自然会明白其中的奥妙.
学生经历了混乱的信息过程，在教师引导下质疑了数据，学会辨别数据，理正了数据分析方法，获得体验，同时也增强了数据分析能力.
3.深入挖掘数据，获得数据分析结论
鼓励学生通过分析数据尽可能多的获取信息，获得结论，为后面的某些工作或决策做出合理选择.
例如：有两位运动员一次射击比赛中各射靶10次，各次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（1）谁的成绩好？
（2）如果你是教练你如何对这次射击作出评价？
学生根据数据计算比较容易回答第一个问题：，两人平均成绩一样
那么他们有差异吗？为了让学生能够更加关注数据背后的一些信息，可以设计以下的一个问题：
（3）如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
教师可以引导学生深入挖掘数据，同时顺理成章的抛出方差公式：
，老师解释方差的来历、本质含义.让学生计算，，＞，所以甲的成绩离散程度更大一些，乙的离散程度更小，所以说乙的成绩更稳定，学生根据已学知识会说如果我是教练我会选乙参加比赛.
在数据分析中，合理建构模型和优化推断结论，通过数据处理，数学运算，来获得有效结论从而做出决策.
受考试方式的影响，在统计与概率中，常常是习题操练，原本鲜活的数据分析变成了纸上谈兵，所以要通过“做数学”来实践数据分析，不断提升学生数学核心素养.
三、探索研究中“做数学”，提升数学逻辑与运算
《普通高中数学课程标准》提出了对数学探究的要求，是高中数学的重要内容，承载着提升学生学科能力和素养的重要使命，可以引导学生在探究中“做数学”，提升学生数学逻辑与数学运算能力.
1.以问题为载体，引导探究理解定理
数学探究可以以问题为载体，要寻找好的问题，把求解问题的过程设计成学生便于理解和参与的形式.
例如：《线面平行的判定定理》教学中可以以问题启发的方式帮助同学进行探究，获得定理.
问题1：线面平行的定义是怎样的？学生会回答：直线与平面没有公共点.
问题2：那么如何来判定呢？（学生很难回答）通过问题引导学生分析：
直接用定义去判定显然不现实，是否可以将线面关系转化为线线关系？
问题3：空间中两直线的关系如何？学生异口同声：平行、相交或异面．
问题4：若平面外一直线与平面内一直线异面，线面是否平行？学生马上举出反例，否定．
问题5：若平面外一直线与平面内一直线平行，线面是否平行？学生不能举出反例．
问题6：灯管所在的直线与地面所在平面是什么关系？学生答：“平行”．
问题7：为什么平行？学生对这个问题不知如何解答．
问题8 在黑板上画出图4后问：直线a与平面α的关系如何？
大部分学生看出来是相交关系.此时，老师在α内画出直线b（图5），学生会惊呀，发现直线a与平面α是平行的（再举例书本、门）．
通过提问的方式，学生就较易掌握线面平行判定的本质（定理）：若║，
，则║．
问题:9：如何来证明这一判定定理？学生会思考，得出零碎判断，老师要继续提问．
问题10：假设不平行，则与相交，那么交点与直线有什么位置关系？学生回答：在上或在外．进一步追问，若在上，可能吗？学生回答不可能，若在直线外，可能吗？这说明什么？学生回答总结．
一系列的问题下来，老师引导学生探究，学生掌握了定理的内涵、定理的证明.
在问题探究中“学数学、做数学”.以一系列带有探究性的问题来带动学生思考，使概念的学习真正转变为一种学生的内在需求，增强数学逻辑能力，提升数学核心素养.
2.以错误为导索，深入探究整理结论
在解题过程中如果出现明显的错误结论，那么就会引起思考，是逻辑上出错了，还是运算上出错了，还是方法上有问题，教师可以不失时机的引导学生探究，引导学生“做数学”.
已知：在△ABC中，，，，解三角形．
根据正弦定理：=，∵，∴
或，∴或，到这里学生会比较惊讶，怎么会是负角呢，问题出在哪里？此时可以引导同学进行探究.
探究1：出现这个问题的原因
学生分析条件，，，，∵，是一个钝角，，∴角也是钝角，学生自然明白这样的三角形是不存在的.也就是在已知两边一对角时，会出现无解的情况，那就顺势引导同学们继续探究了！
探究2：已知两边及其中一边的对角解三角形
学生探索分析：已知，解三角形．
由，可以算出，则∴.在老师分析提示下与同学一起探究：
①若角钝角或直角，则，由计算时，只能取锐角，只有一个解；
②若角为锐角，且或，由计算时，只能取锐角，只有一个解；
③若角为锐角，且，需要分三种情况讨论：
ⅰ如果，由，得，可以取一个锐角值和一个钝角值，有两解；
ⅱ如果，由，得，是直角，只有一解；
ⅲ如果，由，得，无解.至此把已知两边一对角的情况探究清楚了，可以继续引导学生探究其它情况.
探究3：自行给出其它类型条件来解三角形
学生通过讨论、交流、共享后总结出下列结论：
已知三边：可以利用余弦定理算出三个角，也就是有唯一解（提示三边要满足三角形条件）学生也会通过全等解释只有一解；
已知两边和它们的夹角：可以用余弦定理算出第三边，即只有一解（学生会用全等证明）；
已知两角与任意一边：已知两角与一边，则第三个角也知道了，只有一解；
至此，解三角形的所有情况都探究完成，学生能系统的了解各类情况，在以后的解题与研究中，学生能理清关系快速解答.
以错误结论为导向引导学生探究可以比较系统的研究一类问题，学生会积极参与其中，进行探索、交流、合作、共享，这就是一个“做数学”的过程，同时能提升学生的数学逻辑与数学运算能力.
3.以矛盾为指引，挖掘探究掌握本真
在课堂教学中有时同一个问题学生有不同的解法，看过程好像都没问题，但结果却不同，必然有同学的解答过程出现问题了，那么到底是谁错了，在哪里出问题了？这就值得探究.
为什么两种结果不一样？学生会争论对错，此时老师引导学生探究：
探究1:两种解法中的相互关系
学生在探讨后回答：第一种解法中，是相互独立的，可以独立的取之间任意数，可以独立的取之间任意数；第二种解法中，与是关联的，取最大（小）值时不能同时取最大（小）；取最大（小）值时不能同时取最大（小）.
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探究2；用图象表示两种解法中的相互关系.引导学生画出两幅函数图象如下：
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图6 图7
图6表示第一种解法的关系图，图7表示第二种解法的关系图.
探究3；分析两种解法的正误
学生分析：由图6可知第一种解法忽略了与是相互制约，得出的范围比实际要大，由图7得，第二种方法整体上保持了与是相互制约，对应范围的是实际范围，所以得出了正确答案.
探究4：用其他方法来解释验证这一现象
学生思考，探索，有同学会想到可以用简单线性规划来计算结果，从而来解释上述现象.
通过探究，学生会理解在解不等式时要考虑变量之间的关系.解题时不能孤立的考虑问题，以防出错.
在教学各个环节都可以寻找机会探究，数学探究是引导学生“做数学”的良好途径，通过探究，学生经历思考分析、重整数学知识、拓展思维、获得新知达到“做数学”的目的，从而提升数学核心素养.
四、模型应用中“做数学” 经历数学建模与抽象
数学建模是数学核心素养之一，数学建模是对现实世界抽象、用数学语言表达、用数学方法构建模型解决问题，所以数学建模的过程就是实现“做数学”的过程，以“做数学”提升数学抽象与建模能力.
1.设计三角模型，解决工程测量问题
实际工程建设中有很多地方需要测量，比如说距离、长度、高度、角度等，有些是不能直接通过工具测量的，这些问题可以设计三角模型来解决.
提出问题：A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，因工程建设问题，需要测量AB的距离，如何解决这一问题.
分析问题：引导学生分析，A，B两点均不可到达，只能通过测量其它易测得数据建立三角模型来解决问题.在老师指导下学生分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．
模型建立：学会将上述问题抽象，建立数学模型：如图，平面四边形ABCD中，已知CD＝a，∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，求AB.
问题解决：让学生计算在中
同理，，所以
实际测得数据：CD＝1 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，解得AB= km，问题得以解决.
数学建模搭建了数学与外部世界的联系；三角模型建立了数学与工程测量的联系.在这个过程中涉及数据的收集、分析、模型建立、数学运算等，整个过程就是一个“做数学”的过程，促进各方面素养提升.
2.构建函数模型，解析生活实际问题
现实生活中有很多事可以用函数模型来分析与解决问题，而函数是高中学生最先接触的内容，适时的应用函数建模，能提高学生学习数学积极性，也为以后的学习铺垫.
问题提出：如何根据一个人的收入来确定该缴税额？反过来，知道一个人缴的税，可以计算出他的收入吗？（因实际情况比较复杂，在此问题中不考虑专项扣除）
分析问题：老师指导学生收集资料，可以上网查询中国最新个人所得税税率，表2下划线处空白，由学生来填写.引导学生通过图表来分析可以用什么样的模型来解决这个问题.根据已学知识，学生认为可以建立分段函数模型.
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解决问题：如果A月收入为8100元，他应该缴纳多少税？通过分段函数模型可计算出A需缴纳100元个人所得税税款.
如果B缴纳所得税为265元，他的月收入是多少？计算B的月收入为9750元，实际上有了这个模型，有任意收入数据，都可以计算出税款，反之亦然.在此基础上，有条件的，还可以引导学生设一个计程序来解决这一类问题.
函数模型与生活息息相关，可以再举出若干生活中的函数模型的应用（出租车费、手机话费、邮费等），在建模的过程中，也是同学们实际操作过程，同学们可以体会解决问题带来的乐趣，产生不断学习的动力.
3.提炼回归模型，决策生产销售问题
在一些生产与销售或决策中经常需要概率与统计知识，运用回归分析提炼出回归模型，获得结论，做出应对策略.
问题提出：某服装企业需要批量生产某种男式上衣制服，如何根据客户的身高来设计服装？该企业为了设计所用的数据更精准，随机地抽取了27位男子的身高和臂展数据（如表3）问如何用这组数据为设计服装提供参考？
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，所以现在的统计问题为是否可以由身高预测臂展.从数据上分析，以身高X为横坐标，臂展Y为纵坐标，画出散点图，发现身高X与臂展Y成正相关，即身材高的人，臂展也较长.引导学生分析，可能可以建立回归模型来解决问题，那么接下去将继续引导学生分析与计算（可以借助计算工具）.
分析数据：用表示身高X与臂展Y，引导学生计算身高与臂展的样本均值分别：
，
方差，
样本协方差：=41.6866
计算出样本相关数：，表明身高X与臂展Y高度成正相关，所以确定可以建立一元线性回归模型．以上数据比较繁琐，要引导学生耐心准确的计算，同时可以组织学生分工合作，分组完成数据计算，然后分享数据．
建立模型：根据之前的计算与分析，建立身高X与臂展Y一元回归模型：，其中是随机误差，由一元回归计算公式可知
，
根据数据引导学生写出一元回归方程：
解决问题：可以根据身高数据校正臂展数据了，由一元回归计算公式可知，已知任意一个人的身高可以大致估计出他的臂展，在批量生产前提下，可以最大限度符合人体特点，满足客户需求.
数学模型还有很多，比如指数模型、数列模型、初等概率模型等老师可以适时的指导学生建模.在整个建模过程中，同学们不仅要熟悉相关的内容，更要精确的计算，步步逻辑推理，得出结论，每一步都需要扎扎实实动手去做，否则不能完成任务，从而同学能锻炼耐心、细心、恒心、与学好数学的信心，也提升数学素养.
通过“做数学”操作实践，学生经历学习过程，在“做”中感悟与体验数学，感受成功的喜悦，增强学习信心．正如马同学所说：“以前觉得数学枯燥，很可怕．现在，在操作中体验数学有趣，数据中体会数学有据，探究中感觉数学有理，在建模中感知数学有用，感觉数学很可爱，很亲切”．刑同学说“原来觉得学数学就是记住公式做题目，现在发现还可以“做数学”；原来感觉数学实践就是理想化状态下做几个应用题，现在发现不是这么一回事，数学实践的内容相当丰富，我们需要学习的地方还有很多．”通过“做数学”学生收获很大．
数学学科六大核心素养是相互独立的，又是相互交融的，通过“做数学”，可以将它们有机结合．当然，引导“做数学”的方法与途径远远不止以上这几种，老师在课堂教学中要尽量创造条件，寻找新途径，让学生参与“做数学”从而提升数学核心素养．
【参考文献】
1．冯海燕. “做数学”的尝试与反思[J].数学教学通讯,2009(2):31-32
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3．史宁忠、王尚志 《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》 北京：高等教育出版社，2018
4．曹宝龙 《学习与迁移》 浙江：浙江教育出版社，2019