李东方
广州工商学院基础教学部 （广东 佛山 三水 528138）
摘要：全概率公式是概率论中一个非常重要的公式之一，在现实生活中有着极其广泛的应用。本文主要简介全概率公式及其使用方法，并通过一些现实生活中的实际例子，帮助同学们系统、深入的理解和掌握全概率公式。
关键词：全概率公式；概率统计；应用
全概率公式是概率论中的重要公式之一，在概率论的教学中，它既是一个重点又是一个难点。笔者根据多年来的教学实践，归纳总结出对公式的理解方法、求解此类问题的分析方法、解题步骤以及应用此公式时应注意的事项等几点教学体会，以使学生能够真正理解和掌握全概率公式，从而更好地解决这类实际问题。
1. 全概率公式
定义：设事件组为样本空间中的n个随机事件，如果它们满足以下三个条件：(1)完全性:；(2)互斥性:；(3)非负性：，则称事件组为样本空间的一个完备事件组或称为样本空间的一个划分。
定理：设事件组为样本空间的一个完备事件组，则对于任何事件，有全概率公式：。
注：全概率公式通过平面图形示意非常易于理解，它是将求一不规则图形面积的计算问题转化为较为易于计算的一些小块规则图形面积的和来计算，是高等数学中求曲边梯形面积思想在概率论与数理统计中的延伸，有时将事件 看成是导致事件 发生的 n个“ 原 因 ”，事 件 看 成 是由这 n 个“ 原 因 ” 所导致的“结果”，因此已知“原因”求“结果”时一般利用全概率公式. 利用全概率公式计算 P(A) 时，关键是要结合具体问题，找到两两互不相容的 n 个事件 。
通常事件较复杂，如果直接求出事件的概率往往很难入手，但是，若能把事件分解为若干个简单又两两互斥的事件之和，而这些简单又两两互斥的事件的概率可以求得，这样，我们利用全概率公式，事件的概率便可迎刃而解了。那么，如何将复杂的事件分解为若干个简单又两两互斥的事件之和呢？如果试验可以分为两步，第一步试验的结果有若干个，它们构成了样本空间的一个完备事件组，在第一步试验的基础上，再进行第二步试验，结果有若干个，如果要求于第二步试验结果有关的某事件的概率，就要利用全概率公式。
下面通过现实生活中的一些具体实例，阐述全概率公式在实际生活中的应用。
2.在产品检验问题中的应用
例1设某工厂生产某电子产品，而该电子产品种的某个关键部件是由甲、乙、丙三个车间加工生产的，且生产的份额分别为4O％，35％和 25％，又假设用这三个车间生产的部件能组装成优质电子产品的概率分别为 0.7、0.8和 0.9，求从该厂生产的该电子产品中任意取出一件，该电子产品是优质品的概率。
解：分析：由于不知道任意取出的电子产品的关键部件究竟是甲、乙、丙三个车间中的哪一个车间加工生产的，所以直接求它为优等品的概率很困难，但是，由于取出的该电子产品的关键部件总是由甲、乙、丙三个车间中的某一个车间加工生产的，而且三者必居其一。
因此，可设分别表示抽到的电子产品的关键部件分别来自甲、乙、丙三各车间，表示抽出的电子产品是优质品，依题意可知构成了完备事件组，而且事件发生时必以之一为先决条件，这样总是可以把事件分解到事件上的，因此可以利用全概率公式计算.
由题设可知,,所以，根据全概率公式得：
因此，该厂生产的该电子产品中任意取出一件是优质品的概率为0.785.
3.在新冠病毒治疗问题中的应用
例2设某医院采用I、II、III、IV四种方案医治新冠病毒患者百分比分别为0.1、0．2、0．25、0.45,其有效率分别为0.9、0.8、0.7、0.6，求到该院接收治疗的患者，治疗有效的概率为多少?
解：令,，依题意构成完备事件组，且,则由全概率公式可得： 所以,到该院接收治疗的患者，治疗有效的概率为0.665．
4.在射击问题中的应用
例3设飞机有三个不同的部分如果遭到射击, 则当第一部分被击中一弹,或第二部分被击
中两弹,或第三部分被击中三弹时,飞机方能被击落, 而各部分的命中率与它们的面积成正比。设三个部分的面积的百分比为0.1 ,0.2 , 0.7,若已被击中两弹,飞机被击落的概率。
解：设, 由于是一个较复杂的事件, 直接求出事件的概率很困难，所以，要想办法构造一 个完备事件组, 由题意，我们从飞机已被击中两弹入手, 这两弹击中飞机三个部位的所有结果, 便构成一 个完备事件组.为此,设
，那么，所有可能的结果为: ，令，
，，，则构成完备事件组，由于命中率与面
积成正比，所以， ，又由题意，
，，，根据全概率公式有 故飞机被击落的概率为0.23.
5.在孵化问题中的应用
例4设昆虫产卵的个数服从参数的为泊松分布，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于，若虫的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有条的概率。
解：设，，则可列个事件构成完备事件组，有题设可知 ，由于是当昆虫产时，孵化出条幼虫的概率，所以，我们可以看作此白努力试验（一个卵是一次试验），“孵化为幼虫”这个事件恰好发生了次，因此，当时，，而当时，，由全概
率公式有:
即此昆虫的下一代有条的概率为。
注：此例也告诉我们，对应可列多个事件组成的完备事件组，全概率公式仍然使用。
5.在寿命问题中的应用
例6 设使用了小时的电子管，在以后小时内损坏的概率等于，其中为不依赖于的正数.假定在不相重叠的时间内，电子管损坏与否是相互独立的，试求电子管寿命的分布函数。
解：设，则
所以，，
求解此微分方程，并利用初始条件可得所求的分布函数为：。
注：此例中，完备事件组为，等式中（）利用了全概率公式。
由于篇幅所限，我们仅列举了全概率公式在现实生活中的应用的几个例子，事实上，全概率公式在现实生活中的应用十分广泛。比如，在彩票抽奖、销售问题、经济管理学、预测与决策论等方面都有着非常重要的应用，有兴趣的读者可参看有关书籍与文献。
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