范亚萍
浙江省桐庐分水高级中学，邮编311519
一、案例背景
数学的学习，离不开解题。解题教学是数学教学的重要组成部分。解题教学追求的最佳效果是学生能通过解题教学悟出数学的本质，从而可以对一个知识模块的题能够信手拈来。任何时候的解题教学的主角一定是学生！但是当前的解题教学存在着很大的问题或者说误区：教学总是教师在课前做大量的准备工作-----制定一份完善、详尽的学案，精心考虑每一个教学过程。这样的解题教学是教师的解题教学，不是学生的！虽然整节课下来感觉非常流畅，学生似乎也听懂了。但，真的懂了吗？
二、案例实录
授课教师先把《基本不等式》的学案发给学生做，再收回进行批改，根据批改的情况确定上课要讲的内容。在听课过程中，笔者也感觉不出有什么问题：教师上得头头是道----“一正，二定，三相等”要注意；还有各种所谓的基本不等式的解题技巧：凑项、凑系数、分离或换元、构造“和”或“积”、“1”的妙用等等。学生也听得津津有味，不少学生甚至还听得不住的点头。
这样的一堂《基本不等式》的解题教学课下来，笔者当时觉得效果应该是不差的：该讲的都讲了，学生错误的地方还着重讲了，应该没什么问题了。可事后作业反馈上来却是原来错的还错，原来不会的仍不会。连“若正数，满足，则的最小值为________。”这样的常规题都只有很少人做对，而在紧接着的一次周练中的一道题“若直线（、）平分圆，则的最小值是（ ） ”做对的人就更少了；而对于另一题“若则的最小值为________”则全军覆没。
三、案例反思
为什么看上去如此完整的一堂课，却是收效甚微？
1.教师预设太多，学生生成太少
教师做的太多！这堂课从准备过程开始，教师一直在“预设”：要给学生做什么？课堂
上该讲什么？怎么讲？全都是教师一手掌握！学生只是做了份学案，听了一堂课。至于他为什么要做这份学案，做之前该做点什么功课，做之后又该做什么功课，该怎么去听这堂课，听完之后又该怎么样。这些统统被教师忽略了，最可怕的是学生习惯了这种忽略！而这些被忽略的恰恰是新课标一直强调的“以学生为主体”！
2.教师讲的太多，学生思索、感悟太少
教师没有把课堂的主阵地还给学生！课堂上都是以教师的分析、讲解为主，学生被动接
受。教师分析得头头是道，学生听得也觉得很有道理，但在流畅的背后隐藏着许多问题没解决。学生的主动参与度不够，学生中存在的问题没有暴露出来，很多的问题都是老师在自问自答。
总之，教师的太“有为”，导致了学生的“无为”！
3.例题呈现形式过于分散，不利于学生思维的发散与聚焦
教学中，教师把“基本不等式”这一节内容涉及的方法通过不同的试题加以呈现，题与题之间的联系或者共性没有凸显出来。每一道试题反映的是一种方法，各种方法凌乱地散落在各种不同的试题中。分散的例题，不利于学生思维的发散与聚焦。反思：教学中能不能把不同的试题通过两个典型的例题串联起来，这样不但能提高课堂的效率，也能激起学生学习的兴趣与求知欲，在潜移默化中提升思考问题的方式与解决问题的能力。
4.建议：从“校”到“悟”：把教师的精辟分析让位于学生的思索与感悟
教师批改完发还给学生之后不要马上讲解，要留出足够的时间让学生去校对，去交流，
去反思。如果未经学生独立思考就把解题的思路、所要用到的知识、注意点等相关结果的内容和表达形式告诉学生，事实上这是剥夺了学生亲身体验学习的机会。在教学中，要变教师的循循善诱精辟分析为学生的思索感悟，充分放手让学生参与自主探究、合作交流活动，使学生在成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中层层深入，思维碰撞时时激起，让学生在不断的尝试中感悟数学最本质的内涵。
四、改进策略
说来凑巧，笔者所带的一个班级是美术班，刚好出去写生一周，这就给了笔者一次改进的机会。
1.学生先行
同样的一份《基本不等式》的复习学案，仍然是学生先行，做好之后教师批改。不同的是在学生做的过程中有一个要求：对会做的题要知其所以然，对模棱两可或不会的题要做好标记。
2.校对交流
教师批改完发还给学生之后不是马上讲解，而是留出足够多的时间让学生去校对，去交流，去反思。这里的校对不是指简单的对答案，而是学生自我校对，相互校对与师生校对的有机统一，但又以学生自我校对和相互校对为主。
自我校对是指学生对已做好的试题再一次的分门别类，哪一些自己可以通过努力做对，做好的；哪一些是可以通过与同学之间相互讨论得出结果的；哪一些是必须求助于教师的。这样的一次自我校对的过程，实际上是一次寻根溯源的过程。
相互校对是指学生之间的讨论交流。我们要充分相信学生，当他们相互之间的思维在不断的碰撞之后，一定会擦出我们意想不到的火花。
师生校对是指在学生自我校对和相互校对之后还是不得要领的题，教师给予一些适当的点拨。教师用一个个的问题引导学生把题中的条件梳理好，与所学知识对应起来，使学生的解题从“无策”到“有序”再到“规范”。
笔者在批改完后，整整花了两节多课的时间来让学生完成这个“三校对”。
实际上，在做好了“三校对”之后，教师在不在课堂上统一讲解已经无所谓了，因为教师已经在不断的师生校对中在不断的讲解了，而且是个别辅导，因材施教。同时学生在“自我校对，相互校对，师生校对”的过程中是一次次的回归教材，寻根溯源；是一次次的不同思维的碰撞；是一次次的解题反思。在这一次又一次的回归、碰撞、反思中，学生对于这一知识模块的理解将会越来越纯粹，最终会悟出数学最本质的内涵，进而忘记模式，没有技巧，像庖丁解牛一样，依律而行，“大道自然，天人合一”。
3.一题一课
在课堂教学中，笔者根据听课反思，基于“一题一课”的思想，一节课基本上只呈现了如下这个典型的例题： 知且，求的最小值。
课堂中，笔者鼓励学生从多种维度加以解决，学生通过小组合作交流，并在笔者的引导下，将“基本不等式”中的各种技巧与方法在本例中一一凸显。
解法一：“1”的妙用
∵，，，
∴
等号成立的条件是，解得．
解法二：构造x+y不等式法
或（舍），即．
解法三：换元后构造均值不等式法
（当且仅当，即时取等号）
解法四：用判别式法
令，即，代入化简得，由于该方程至少有一个正根，其必要条件是，解得（舍）或．以下考虑其充分性：当时，代入方程解得，符合题意．
解法五：三角代换法
解法六：导数法
（在区间内有一个极值点，此极值必为最值）
解法七：权方和不等式（教师补充的方法）
由权方和不等式可知，解得，
等号成立的条件是，解得．
感悟：俗话说：条条大路通罗马。数学在高中学习阶段，老师和同学都知道题的灵活性很高，一题多解，在高中是普遍存在的问题，它反映了一个学生对知识掌握的程度，让学生能在原有的基础上举一反三，摸透题的本质问题。一题多解的实施，有利于深化高中学生思维活动，优化学生的数学素质，充分给他们提供一个广阔的思考学习空间，激发潜能。[1]基于一题多解，对各种解答方法进行分析，从不同角度进行分析，一定程度上能让学生深刻理解数学知识的本真意义。
4.变式教学
一题一课后，教师紧接着给出一些变式题，让学生在变式中感悟数学思想，此时由于时间关系，可以让学生讲思路即可，具体的完成过程可以作为作业。
变式1：已知且，求证。
变式2：已知，求取值范围。
变式3：，则的最小值。
变式4：已知求的范围。
感悟：变式教学是高三复习课教学中比较喜欢采取的一种教学方法。所谓“变式”，就是指在不改变题目出题的宗旨或者本质特征的情况下对数学命题进行合理的变更。变式的方式有很多，如变换问题中的条件或结论，变更问题的内容和形式，重新配置实际应用的各种环境等。但无论怎样变更，我们都应保留对象中的本质因素。[2]在变化中寻找问题的核心部分，这就是共性。学生知道问题的共性后，解题也就有了思路与方法，同时也找到了问题解决的“源头”。
五、收获惊喜
笔者通过“练--改--校”再实施一题一课的变式解题教学，充分相信学生，全面依靠学生，把教师的精辟分析让位于学生的思索与感悟，不仅大大提高了学生学习的积极性，充分发挥了他们的主体作用，而且也提高了学生数学学习的水平，取得了一定的效果。
短短四十分钟所能学到的知识是有限的，但对于知识所引发的思考和探索是无限的，通过分析经典例题，加强各知识点间的联系，触发学生自我提高内驱力；大多数学生对习题始终保持良好的思考状态，即使问题还尚未解决，也能从中挖掘出许多有用的结论，并试着学会去创新，养成良好的思考问题的方式和习惯，进而提高分析问题和解决问题的能力。
原本全军覆没的题：“若则的最小值为________”此次学生却给了笔者很多惊喜：
生1：
生2：
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生3：
虽然生2是做错的，生3还没有做出来，但是从中已经可以看出学生对于这块内容的理解已经有了一个质的飞跃。
以上所涉及到的方法都是从学生的作业当中得来的。通过一道例题讲解即可复习多种方法，学生通过对错题的校对，从不同的角度去思考，去探索不同的解，并在变式题中寻找共性，越来越接近数学最本质的内涵。
新课标一直强调“以学生为主体”，这就明确要求我们：不管是什么课型，教师都不能先入为主，占据课堂的主体，学生应该是课堂的先行者。如果一开始就剥夺学生的发言权，会使学生处于一种被动状态，即使后面再让学生发言，也会大打折扣。我们要充分相信学生的能力，备课时主观因素不能太强，在讲课时只需适时引导即可。正是：问渠哪得清如许，为有源头活水来！ 教师的“无为”成就学生的“有为”！成就学生的“有为”！
参考文献
[1]许高洁.“一题多解”在高中数学教学中的研究与实践[J].课程教育研究，2018（第35期）：137.
[2]张君芹.例谈高中数学变式教学[J].语数外学习（高中版上旬），2018（第11期）：55.