李铁
湖南省长沙县第三中学 湖南 长沙 410148
简单几何体外接球球问题是立体几何中的一难点，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力．此类问题实质是解决球的半径长与确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键．
下面从四个方面分类阐述外接球问题问题的求解策略：
一、利用长（正）方体的体对角线探索外接球半径
1、若几何体可补形成长方体，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.
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【例2】 已知三棱锥P-ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，PC=5,PC⊥平面ABC则过A，B，C，P四点的球的表面积为 .
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[评析] 几何体（如图-3，图-4)存在三条线有两个垂直：AB⊥AC,AC⊥PC（“工”字模型），可补形成长方体。
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2、利用长(正)方体的面对角线探索外接球半径
【例3】 三棱锥中P-ABC，PA＝BC＝，PB＝AC＝，PC＝AB＝，则三棱锥的外接球的表面积为________．
[解析]如图-5，在长方体中，设AD＝a，BD＝b，CD＝c.
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故所求三棱锥的外接球的表面积为14π.
[评析] 三棱锥的相对棱相等（如图-6)，可在长（正）方体中构造三棱锥，从而利用长（正）方体体对角线求外接球半径．
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图-5 图-6
二、利用底面与侧面的外心探索球心
【例4】三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PB＝AB＝2，AC＝4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )
A.23π B．π C．64π D．π
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故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π.
[评析] 三棱锥（如图-8)时，可利用球心与球截面圆圆心连线垂直于该截面这一性质，用底面与侧面的外心，外接球球心，构造三角形求球半径长．
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三、利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心
【例5】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
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其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点．
四、外接球综合问题举例
【例6】 (2019·全国卷Ⅰ-改编)已知三棱锥P-ABC（如图-12)的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°， 求球O的体积.
[解析]因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，
因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
（如图-13)取AC的中点D，连接BD，PD，则AC⊥PD，AC⊥BD，又PB∩BD＝D，所以AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，
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[评析] 本题难点是发现与证明：三棱锥P-ABC的PA，PB，PC两两垂直，是墙角模型，可补形成正方体。
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[评析] 本题难在利用侧面直角三角形的外心探索球心，利用函数求出棱锥外接球的最小半径。