鲁乐芳
浙江省杭州市萧山区所前镇第一小学
【文章摘要】数学知识具有两重性，既有过程的操作，又表现为一种结构。因此，数学学习往往由过程开始，然后转化为对对象的认知过程。“乘法分配律”是一线教师公认的教学难点之一，笔者在课堂教学实践基础上，以调查数据为载体，直面学生对分配律掌握欠缺这一现象加以分析研究，根据学情、生情,对教材进行整合加工,顺学而导,让学生构建起对分配率这一知识的整体认知。
【关键词】乘法分配律；教材；构建模型
乘法分配律在小学计算中是一个难以回避的内容，是学生最不愿意碰到的。但乘法分配律又是小学阶段的一个重要知识点。通过分析发现，由于学生未能充分理解乘法分配率的算理，缺乏完整的建模过程，导致问题出现。以下是笔者对人教版四年级下册《乘法分配律》一课的研究，重在以算理构建运算定律的模型，加强学生对乘法分配律的理解和运用。
一、问题的现状及思考
在学完“运算定律与简便计算”这一单元之后，笔者对四年级46名学生用乘法分配律计算进行了统计，结果如下表：
学生运用乘法分配律简便计算合理性调查表
1.问题分析
（1）意义理解有误 乘法分配律的关键是对乘法意义的理解，上面错误的本质原因就是缺乏“几个几相加”的意识，由纯机械记忆分配律的公式导致。例如25×（4×8）＝25×4＋25×8，左边是32个25相加，右边却是4个25加8个25共12个25。
（2）与结合律混淆 由于结合律与分配律在形式上的形似，一部分学生容易形成知觉上的错误，混淆了两者的区别，这也说明了学生对两者的理解不透彻。同时，把16×104做成（16＋4）×100的学生虽然不多，但练习的过程体现了学生的思维具有一定的典型性，此类学生将加法运算中的和不变规律迁移到此题中，一个因数增加4，另一个因数减少4，它们的积不变，这属于学习中的一种“负迁移”。
（3）简算意识淡薄 上表第1、3题通过列竖式计算的学生共达到8.6％。第4题则在实际应用中学生更多关注的是“怎样求面积”，缺少对面积算式中数据的观察，从而忽视对乘法分配律的还原凑整，缺乏一定的简算意识。
2.现状思考
（1）思考一：分配律应从哪里开始介入？ 哪种编排更合理？是将几种运算定律放在一起教学有利于学生掌握分配律，还是把乘法结合律和分配律分开教学？带着疑问，笔者曾对自己所教四年级两个平行班进行了对比尝试，在初学阶段，将乘法结合律与分配律分开教学，利于学生掌握，答题正确率相对较高，但在学完所有运算定律之后的后续综合运用运算定律进行合理计算时，分开教学与同一单元整合在一起教学，两者效果差别不大。
（2）思考二：分配律有何价值体现？ 分配律用字母公式概括成：a×（b±c）=a×b±a×c，所含的算理是使积的和（或差）与和（或差）的积之间具有相等关系。“相等”意味着分配律可以顺着用也可以逆着用。我们是不是可以将其价值作以下理解：
① 在于学会把一个集合看作整体的单位“1” 例如78×99+78×1＝78×（99＋1）可以看作99个“78”加1个“78”。这里“78”成了一个单位，也就是99个“1”加1个“1”等于100个“1”，这种概括出整体的能力既是学习数学所需极为重要的逻辑思维能力，同时又对后续数学学习（如学分数、学字母表示数等）做铺垫。
② 在于恒等变形、化归思想的体现 例如78×99+78×1＝78×（99＋1），等号左边是一个三步式，等号右边是两步计算式题，分配律把三步的计算简化为两步的计算，并在局部把高级的乘法还原为低级的加法，这是数学中典型的“化归思想方法”，即“化难为易、化繁为简、化高级为低级”，这种思想的掌握对学生终身收益。
③ 在于贯穿小学乘法计算的全过程 系统论认为，组成系统的各个部分之间存在着一定的关系，这些关系有的对整个系统影响很大，有的则是次要的。纵观乘法计算的整个过程，不管是两位数乘法，还是三位数乘法，甚至小数乘法，其计算方法的得出都是乘法分配律的综合运用，其本质取决于“几个几”与“几个几”相加的组合。
（3）思考三：学生的学习困难到底在何处？ 从四年级学生的年龄特征看，建立分配律的概念并不是一件容易的事。学生不了解分配律两边的算式为什么会相等，也不知道分配律可以用在什么地方？其中内在因素来自分配律本身的复杂性，包括“合”和“分”的双向关系，以及左右分配的差异性。外在因素则包含两方面：一方面受到教材与教学的影响，从人教版数学教材分析发现，分配律的引入是解决问题中受两种方法“结果相等”来画上等号，这样的方式并不足以建立两式相等的关联性，学生也不能借此了解分配律的意义；另一方面，虽然教材中涵盖了许多分配律的相关内容，但老师未必仔细研读和思考过，问题出在哪里，应该怎么教？有些含有分配律“影子”的内容，我们老师一笔带过，学生不了解分配律的用法又从何用起。
表面看一看，孩子们错在算法；仔细扒一扒，实质缺于算理；深入挖一挖，本源失之教学，轻视了乘法分配律意义的理解，构建乘法分配律模型过程比较模糊，造成部分学生对于乘法分配律的理解滞留在表面，注重结构记忆，缺乏系统化的认识。
二、以算理构建乘法分配律模型的策略
在进行乘法分配律的教学时，我们的教学一般是先呈现情境，再提炼出定律，然后进行算式为主的训练，但是按这样的程序下来学生掌握的情况并不好，再进行训练，学生的正确率也不高，从中看出我们的教学很多时候不是仅靠做题能解决问题的。对于乘法分配律的学习，特别是那些本身学习就有困难的学生，面对那些跟原有认知有差异的算式，他们无从下手，算式与情境之间有着无法跨越的鸿沟。
1．追根溯源，复旧知新，感知模型
人教版四下分配律的教学是以种树主题图引入的：“一共有25个小组，每组4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树，一共有多少名同学参加植树活动”，然后在两种方法的解决基础上抽取出等式“（4＋2）×25＝4×25＋2×25”。而事实上，问题首先就出于此处，即“还原”不够。从儿童的生活世界来看，乘法分配律之所以比乘法交换律和结合律“发病率”高，不仅仅是受前两种定律的负迁移，主要还在于分配律的生活原型相对较少，在学生对分配律的结构把握上需要投入的学习注意力要高于交换律和结合律。基于此，在教学时是我尝试从“笔算乘法”进入。
【教学片段一】课始，出示24×13，12×95请学生列竖式计算。
结合竖式计算，回顾笔算过程。
问：72是怎么来的？240呢？结合学生回答板书：24×3，24×10。
师：你能用一个综合算式来表示这一笔算过程吗？
生：24乘3的积加24乘10的积。
师：我们也可以说成24乘10的积加24乘3的积。(24×10＋24×3)
问：这个综合算式的结果与24×13有什么关系。
生：相等的。
师：理由？
生：10个24加3个24就是13个24。
师板书：24×(10＋3）＝24×10＋24×3
同理，学生得出：12×(90＋5）＝12×90＋12×5
数学在本质上是一种思维方式，区别于其他学科，它的发展常常采取自我拓展、自我严密的途径。因此，在某些适当的场合用数学本身发展的需要（即纯数学问题）引入新数学知识，能让学生感受和体验数学的这一特征，熏陶更深刻的数学精神。课堂教学要符合学生的心理规律，将学生已有经验和学习材料进行比较研究，找到两者之间的关联点，为教学的整体设计把好脉。把抽象的运算定律还原为学生可感受的直观，才能促使孩子们后续进一步的构建。
2．加强对比，明晰定律，初建模型
知识在本质上是一种经验或思考的结果，而思维能力表现在经验和思考的过程中,具体表现于对问题的处理和对实质的思考,以及对技巧的整体把握等诸多方面，它并不完全依赖知识的多少,而依赖知识的运用和经验。
【教学片段二】请学生观察两组等式；
24×（10＋3）＝24×10＋24×3
12×（90＋5）＝12×90＋12×5
问：这两组等式有什么共同的变化？是不是像这样变化的两个算式都相等？
此时教师不急于让学生表态，停留小会儿后出示：（3＋4）×6○3×6＋4×6,
9×（2＋10）○9×2＋9×10,（8＋7）×4○8×4＋7
学生从算的结果及意义两方面汇报结果，并说明理由。
分析（8＋7）×4○8×4＋7，问：为什么不相等？
生1：左边等于60，右边等于39，所以不相等。
生2：左边有15个4，右边只有8个4和1个7，所以左边结果大于右边结果。
师：怎样调整，可以使两边相等？
生2：左边有15个4，右边是8个4，再加7个4即可。
问：这五组等式的变化情况相同，我们可以用等号连接。那么这是不是一种偶然现象呢？你们能否再举些例子对自己的猜想进行验证？学生举例汇报。
上述教学花了一些比较多的时间,经过反复对比、辨析积累经验，目的是让学生发现乘法分配律的本质，即求两个含有相同因数的积的和，可以先求出不同因数的和，再看作是和与那个相同因数的积，用乘法计算。
3. 多种表征，深入理解，建立模型
学生只有在充分理解运算定律的基础上，才能进行运用。所以教师应将教学重点放在让学生深入理解乘法分配律的意义上，而不是把重心放在让学生根据模型去运用。乘法分配律是一种抽象的数学模型，它与现实生活有着紧密，通过语言、文字、画图等方式表征模型，从具象到符号，促进学生深层次地理解模型，从而有效构建乘法分配律模型。
【教学片段三】师：以24×（10＋3）＝24×10＋24×3为例，赋予生活涵义。
呈现：礼盒套装中有一支钢笔和一支圆珠笔。一支钢笔10元，一支圆珠笔3元，买24套笔一共花多少钱？
问：你们觉得生活中能用24×（10＋3）和24×10＋24×3来解决的问题还有吗？
生思考后同桌互相说说，师指导。
再呈现：一个长方形花坛，长24米，宽10米。现要扩建花坛，4米宽延长3米，长不变，扩建后的花坛有多大？请学生画图：
师：通过刚才的教学，你能用你喜欢的方式来表示这样的等式吗？
生：（△+☆）+□=△×□+☆×□。
生：(甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。
生：（a+b）×c=a×c+b×c。……
师：你们真了不起，能够用这么多不同的形式来表示乘法分配律！
师：你觉得哪种表示方法更简便？
生：用字母表示更简便。
将这一本质运用于生活实际，让学生自主建构分配律的生活基础更加厚实。在不同的问题情境中抽象出规律，然后再将规律运用于情境，从而加深对乘法分配律意义的理解。通过对问题多层次的变式构造，使学生对问题解决及问题本身的结构有一个清晰的认识，感受这些等式都是“两个数的和乘一个数等于两个数分别乘一个数，再把两个积相加”的形式，巩固了乘法分配律的模型。最后教师让学生用自己喜欢的方式写一写乘法分配律模型，抽象出简洁的数学模型，增强学生的建模意识和符号意识，培养了数学语言表达能力。
4.分层练习，沟通联系，应用模型
通过辨析判断，简便计算，解决生活实际问题，让学生在运用乘法分配律模型的基础上，提升数学应用能力。
（1）判断下列算式是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
56×（19+28）=56×19+28 （ ） 32×（7×3）=32×7+32×3 （） 64×64+36×64=（64+36）×64 （）
（2）运用简便计算计算下列各题。
36×101 48×99 54×3+54×7
（3）解决问题。
运动会上，老师给46位同学每人发了一瓶水和一个小蛋糕，水每瓶2元，小蛋糕每个8元，老师一共花了多少钱？
运用所学知识解决实际问题，加深学生对知识的理解，拓宽学生的思路，让学生深刻理解乘法分配律内涵与外延的同时，感受数学的魅力。
5.迁移学法，举一反三，拓展模型
新课标在制定“数的运算”第二学段目标时，对分配律的定位是乘法对加法的分配律，教材在例题的编排上也就只体现“乘与加”这一内容。因此在例题的设计上，通过同一道例题的条件，提出用加法和减法解决问题，并将乘法对加法和减法的分配律同时呈现出来，通过实例观察、分析、归纳、抽象、概括，看到知识背后负载的方法、蕴含的思想，进行知识上的拓展，让学生掌握生动、鲜活、发展的知识，提升能力。
【教学片段四】
出示：所前一小一、二年级学生人数情况如下：
问：一、二年级一共有多少人？
生用两种方法解答，并说各部分表示的含义。
问：还能提怎样的问题？（一年级比二年级多几人？）
（45－43）×6 45×6－43×6
学生通过计算，发现两个算式相等。有学生通过乘法意义去想，认为两个算式相等。得出：（a-b）×c＝a×c－b×c
再次出示三年级班级数：6，每班人数：40。请学生计算三个年级的总人数。
得出：（a＋b＋c）×d＝a×d＋b×d＋c×d
通过这样的拓展，解决了知识“到哪里去”的问题，生成恰当的新知有助于加深对问题本身的理解，并能够抓住问题的本质，启发新的思考。学生在完成基本练习后，已具备能力和条件参与初步拓展，解决实际问题，将乘法分配律拓展到两个数的差与一个数相乘、三个数的和与一个数相乘。为学生的思考提供素材，体现了乘法分配律数学模型的价值。
以上的研究仅仅是对自己在实践中遇到的问题而产生的思考，观点正确与否值得大家商榷，但重在思考，相信只有正确面对教学中出现的不良现象和问题，认真思索，站在大系统中宏观把握，整体设计适合学生的教学，才能向着“去尊重一切能够达成人类进步的方法、常识和规律”的剑桥灵魂努力。