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一道方程应用题的数学核心素养教学思考

发表时间：2021/2/3 来源：《创新人才教育》2021年3月作者：康净东

[导读] 数学核心素养渗透在数学教育的每个环节，自然也能从一道问题中看到这个过程。本文将从直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模五个视角对于一道一元二次方程应用题进行分析。

晋江市泉州五中桥南校区      康净东   362212

【摘要】数学核心素养渗透在数学教育的每个环节，自然也能从一道问题中看到这个过程。本文将从直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模五个视角对于一道一元二次方程应用题进行分析。
【关键词】数学核心素养；方程；数学抽象；逻辑推理；数学运算；数学模型
        问题：学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田。为了管理方便，准备沿着平行于两边的方向，纵横各开辟一条等宽的小道，要使得种植面积为540㎡，小道的宽度应该是多少？
        对于这样一道典型的一元二次方程应用题，从核心素养的角度去探究，可以大致分为以下几个阶段。
        一、想象——第一层抽象
        针对这一道实际问题，要充分调动学生的想象力，要能与生活实际场景联系起来，这样的问题学习才是有趣有用的学习。
阅读完问题后，先让学生想象问题的画面：一块试验田。从文字描述到联想到的画面，那是第一层次的抽象。对于事物的的想象，是大脑对于现实事物的一种简化抽象。想象是问题思考的第一步，要懂得使用大脑，控制大脑进行有限想象，不能放飞自己的想象力，否则无法聚焦问题也就难以解决问题。对试验田的想象，可以让我们聚焦问题相关的信息，主要是长，宽，形状，而无需在意里面的其它细节。
如果靠想象我们依然无法聚焦问题，那么构造简图，将问题与图形联系起来，将有助于我们对问题的进一步思考与探究。
        二、构图——第二层抽象

        画图的过程，是第二层次的数学抽象。我们将想象中的田地简化为由点，线构成的数学图形。对图形进行分析有利于聚焦问题相关的数学要素：点、线、长度、宽度、形状、面积等。这样我们及可以联系到数学中所学到的几何概念定理公式，利用知识解决问题。
       但若问题较为复杂，则只靠第二层抽象的图形依然不够。眼见为实的图形过于依赖我们的直观想象，对于问题的解决有帮助也有局限。为了更便捷解决问题，我们可以走入第三层抽象，即引入符号字母来代表直观的线段，长度，面积。
        三、符号——第三层抽象
        通过符号字母，我们就可以摆脱直观想象的限制，找到更一般的方法。
        20m，32m这些数字，是对长度这一直观形象的数学抽象刻画。而要求解的小道的宽度，我们可以引入未知数xm。20m，32m依然可以用直观实际形象来刻画，是由实际而来的直接抽象。但xm，就是一个不可直观表现出来的抽象。X是未知数，也是小学到初中抽象能力的一次进阶。有了字母这类可变化的量，用字母来表示更为一般的数，而不是具体的数值，则问题的探究自然更具一般性，具有通性通法，也就更加接近“真理”。所以一般性的本质是抽象层次进阶到一定程度的特征。当图形与符号都已准备，问题的抽象工作已基本完成，接下来要做的是找关系，即对逻辑推理能力提出要求。
        四、关系——逻辑推理
        图形与符号，以及我们所掌握的几何基础知识，可以让我们快速得到本问题中的几类研究对象：矩形总面积为，横纵小道也是矩形，宽度是xm，长度分别为32m,20m，也就说明两条小道的面积为32x㎡与20x㎡。而两条小道重叠部分为正方形，面积为㎡。
找到这几者的关系，其中关键的处理细节就是对于重叠部分面积的处理。
        根据容斥定理或根据生活经验，我们明白种植面积就是总面积扣除两条小道面积，而对于重叠部分必须扣除后再补回来，否则就重复扣除了重叠部分。用符号来表示即得关系式：，这个关系式就是解决问题的方程模型。不直接求解种植面积是由于道路修建位置是不确定的，但位置的改变并未影响到种植面积的不变。所以我们选择了间接求解，即由大面积减去小面积来列出种植面积的代数式，再联系题中所给种植面积数值，化代数式为方程
        本问题也可以采取“动态”方式寻找解决方案，即：小道的位置是未知的，可变的，动态的。在动态中，寻找一个最佳站位，如下图：

        将小道平移到矩形外侧，从而将种植面积拼在一块，作为整体的种植面积依然是个矩形，而且长宽皆易列出则种植面积的代数式：容易得到，方程也自然建立起来。
        这种方法是“变中不变”思维的应用。将变化，动态化为思考的灵感，让变化成为优势，在变化中瞄准不变，找到特殊位置来解决动态问题。
        这些方式背后，体现的都是数学的逻辑推理素养。两种方法都运用到间接思维，其中第二种方法，对于图形进行再处理，再构造，对于逻辑推理的要求更高。
经过上述的数学抽象，直观想象，以及逻辑推理，最终问题的解决归结为一个方程：或者。
        五、求解——数学运算
        接下来要做的就是运算，体现了数学运算素养。依据数学运算化简的算法，算理，对方程进行同解变形，降次转化，层层简化，核心是等式的性质这个公理，最终将得到两个答案。
        数学运算的本质是公理化以及程序思想。根据不变的公理，对于式子进行恒等变形，依据长期训练的解题程序，对于算式进行化简及计算，最终得到最简的结果。虽然都是由上述方程得出，但由于实际问题的限制，根据题意，我们能判断出是不行的，要舍去。
最终我们得到了唯一的方案，小道的宽度应为2m。到此问题得到了解决。
        六、方程——数学模型
        上述由实际问题出发，经数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算，实际检验，解决问题的全过程，其本质就是利用构建数学模型：方程，来解决实际问题的思想。体现了数学建模的素养。
        问题由实际生活而来，数学亦来源于生活，最终自然也要回归到生活中去。这就是数学核心素养的精神。
参考文献:
［1］史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016
［2］史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011,1：1-9
［3］刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J]，数学通报，2017,56（5）：1-5.