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数学三角函数在物理中的应用

发表时间：2021/2/4 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：张婷婷王宝生

[导读]

张婷婷王宝生襄阳东风中学湖北襄阳
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-081-02

        通览整体高中物理的知识，不难发现在物理学习的过程中，无时无刻不在应用数学知识来解决物理问题，物理离不开数学，只有数学才能最明确、最简洁地表达物理思想，学生的数学知识在物理课中能发挥很大的作用，恰当地运用数学工具会有利于物理试题的求解。
        我们来看看三角函数在物理解题中的应用：
        1利用三角函数图像解题
        例一如图所示，A和B的质量均为m，且分别跨过定滑轮的轻绳连接（不计绳与滑轮，滑轮与轴之间的摩擦）。在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则：
        A物体A也做匀速直线运动
        B绳子拉力始终大于物体A所受的重力
        C绳子对A物体的拉力逐渐增大
        D绳子对A物体的拉力逐渐减小
        图一
        本题难点是C、D项，前几项可以这样解析：把B的速度分解为垂直绳子的和沿绳子的，，即为A的速度，随着B的运动，减小，增大，增大，所以A加速沿绳向上有一加速度，由牛顿第二定律得(a>0)所以选项B绳子拉力T始终大于物体A所受的重力B选项正确
        对于C、D两选项应用数学中余弦函数图像可以轻松判定：
        图二
        ，由图一可知是逐渐减小的，由余弦函数图像可知在（0，90°），当从90°减小到0的过程中也是逐渐减小，故是减小的，而是定值，到此我们可以得出结论是减小的；令绳对物体A的拉力为对物体A应用牛顿第二定律，已得结论减小，我们得出最终结论：绳对物体A的拉力逐渐减小D项正确。
        本题体现数学与物理的结合，引入数学三角函数图像，使难点迎刃而解化难为简！
        2利用三角函数变形解题
        例二（2009·辽宁、宁夏卷，21）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0<μ<1）。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。

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设F的方向与水平面夹角为θ，如图，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
        A.F先减小后增大       B.F一直增大
        C.F的功率减小         D.F的功率不变
        图三
        令木箱质量为m，受地面支持力为摩擦力为。由于，因此木箱木箱做匀速直线运动故木箱始终处于平衡状态，由平衡条件得：，两式联立解得，解析到这里需要利用数学三角函数变形即，故当取某个小于90°角时F有最小值，在0到范围内F逐渐减小，在到90°范围内F逐渐增大，所以F先减小后增大，A项正确；B项错误；
        求F的功率：，可见在从0逐渐增大到90°的过程中逐渐增大，则功率P逐渐减小，C选项正确。
        例三，如图所示，截面为三角形的斜面体（固定）由两种材料拼接而成，BC界面平行底面DE，两侧面与水平面夹角分别为α＝30º、β＝60º。已知物块从A静止沿ABD下滑，加速至B匀速至D；若该物块静止从A沿另一侧面ACE下滑，则有（   ）
        A.通过C点的速率等于通过B点的速率
        B.AB段的运动时间大于AC段的运动时间
        C.物体在AE段动能的增加量大于AD段动能的增加量
        D.物体运动到C点后匀速下滑
        解析：令ABC部分、BCDE部分的动摩擦因数分别为，A点到BC边的高度为h。
        求解A选项：应用动能定理、数学三角函数知识求解。先求到B点过程中摩擦力做功，，因为故从A到B和从A到C过程中摩擦力做功不相等而两过程中重力做功相等由功能关系知到B、C时动能不相等，所以通过C点的速率不等于通过B点的速率且前者大于后者，A选项错误。
        求解B选项：先求AB段时间，，t1= ，同理可知AC段时间为，乘积相等而，所以即AB段的运动时间大于AC段的运动时间，B选项正确。
        求解C选项：由解析A选项可知AB段摩擦力做的功大于AC段摩擦力做的功，由此推知AD段摩擦力做的功大于AE段摩擦力做的功，由可知，物体在AE段动能的增加量大于AD段动能的增加量，C选项正确。
        求解D选项：BD段由平衡条件得到；CE段：，代入求得a＞0故CE向下加速运动，C选项错误。
        在物理中巧用数学三角函数知识由上几例可见一斑，物理教师和学生们在教学和学习中用好数学三角函数知识将对教学和提高解题能力大有裨益。