马相远
云南省丘北县第二中学校 云南省文山市 663200
摘要: 随着课改的深入, 许多试题的设计都来于高等数学, 但也可以用初等数学的方法来解决. 如果巧妙地运用 Lagrange 中值定理, 那么可以大大减少解题过程中的运算. 本文通过采用类比的方法, 研究了 Lagrange 中值定理在求函数最值和证明不等式中的运用, 最后分析得到 Lagrange 中值定理在解题中的优越性.
关键词: Lagrange 中值定理；函数最值；不等式.
1. 引言
在目前新课标的要求下, 微分学在高中数学教学中的地位越来越重要, 微分学是高等数学的基础知识点之一. 所以现在的高中生需要面对很多以高等数学为背景的习题, 但如果采用中学数学的解题思路来处理这类题型的话, 明显会使得过程会很繁琐. 因此, 为了简化一些题型的解题过程, 那么在高中数学教学中适当的扩充一些高等数学中常用的解题方法将会利大于弊.
所以该文主要探讨 Lagrange 中值定理在证明不等式和函数最值中的应用, 定理如下:
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Lagrange 中值定理之所以重要, 在于它把函数在有限闭区间上的增量同函数在这个区间上的导数联系起来了. 在高中阶段的教学中, 并没有这种关于有限增量的定理, 只是通过在固定点处的导数来刻画函数的局部增量.
关于研究 Lagrange 中值定理在高中数学中应用的文章已经有很多, 如文[1]和[2]等. 但是以上文章都是方法的直接应用, 无法直观的看出 Lagrange 中值定理在解题中的优越性, 所以本文采用对比的方法来研究传统方法和新方法的区别.
2. 应用举例
2.1 运用 Lagrange 中值定理解决函数最值问题
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2.2 2.1中证法的比较
证法1明显需要构造新的函数
, 这是方法1的困难之处,且还要考虑到函数的单调性质; 但是证法2则更简单, 只需要直接套用 Lagrange 中值定理, 再用一个简单的不等式性质就可以完成证明. 所以如果能巧妙的运用 Lagrange 中值定理, 那么一些看似比较复杂的证明将会变得简单和容易理解.
2.3 运用Lagrange 中值定理证明不等式
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2.4 2.3中证法的比较
证法1是采用初等数学的方法, 显然需要构造新的函数来将参数与变量分离. 如果不能构造合适的新函数,则证法1失效.证法2则更简单, 直接采用 Lagrange 中值定理, 再根据已知条件就完成了证明.
3 教学启发
随着课改的逐步深入, 目前的高中数学试题更多的是考察学生的思维能力, 且考察点已经与高等数学中的很多知识点联系越来越紧密, 因此适当的给高中阶段的学生讲解一些高等数学中常用的技巧和方法显然是利大于弊. 对学生来说, 适当的学习高等数学中的知识点, 不但可以加强自身对数学的理解, 且还可以锻炼自己的思维能力, 激发数学方面的学习潜能. 另一方面对于老师来说, 掺入高等数学知识点的教学对自身也是一种挑战, 首先老师自己需要先理解相关知识点, 然后再紧密联系高中阶段的教学来给学生讲解, 尽力做到易理解, 易掌握. 所以老师需要树立终身学习的理念, 采用新的有效的教学方法来审视常规教学, 不断地对自己的教学进行研究和改进, 从而适应新时代的教学要求.
参考文献
[1]王伯龙. 活跃在高考中的拉格朗日中值定理. 理科考试研究, 2020, 7: 24-26.
[2]邓京凤. 高观点下的拉格朗日中值定理在中学数学中的应用. 新智慧, 2019, 25: 1-3.
[3]颜挺进. 拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用. 高考, 2019, 6: 269.
[4]唐红明. 拉格朗日中值定理在高中数学中的应用初探. 数学学习与研究, 2018, 7: 121.
[5]鲁凤娟. 拉格朗日中值定理在高中数学证明不等式中的巧妙运用. 数学通讯, 2012, 4: 31-32.