北京建筑大学 北京
摘要：为研究钢筋混凝土梁的受弯机理与破坏过程，本文基于matlab并依据简支梁纯弯区段截面上的应力应变分布特征，分析受弯截面在不同截面曲率下的非线性受力过程，得到了弯矩-曲率关系曲线，此外，还考察了不同的配筋率对于截面抗弯性能及变形能力的影响，得出了有意义的结论。
关键词：受弯RC梁 截面曲率 非线性 MATLAB
引言
钢筋混凝土梁作为建筑结构中最常见的受弯构件，研究其截面受弯性能对于指导该类结构构件的设计具有重要意义，对简支梁截面进行弯矩-曲率分析是研究其受弯性能的重要方式。由弯矩-曲率分析得到截面弯矩与曲率关系曲线，该曲线与滞回曲线共同决定结构在地震作用下弯矩与曲率的对应变化关系，同时反应截面的抗弯能力及延性；因此获取准确的弯矩-曲率分析结果对结构抗震设计同样至关重要。
本文以一个采用两点对称加载方式的钢筋混凝土矩形简支梁跨中纯弯截面为例，采用matlab编程模拟简支梁截面受弯破坏的非线性过程，并探讨不同的配筋率对简支梁截面弯矩—曲率关系的影响。
基本理论及程序
计算理论
对截面的弯矩-曲率进行分析通常采用如下三种假定[1]：一是不考虑钢筋与混凝土之间的滑移；二是不考虑混凝土的抗拉强度；三是采用平截面假定。
在简支梁的纯弯区段内，弯矩将使正截面转动。在梁的单位长度上，正截面的单位转角即截面曲率，用φ表示，单位：1/mm。在计算简支梁的正截面的承载力时，采用平截面假定，可简化计算。
对于给定的截面曲率φ，可以由公式（1）得到其截面上每一高度处应变：
最后，将所需要的截面曲率利用上述公式计算得到相应的截面弯矩并作图，即得到受弯梁的弯矩-曲率关系曲线。
材料参数
钢筋的本构关系曲线，采用《混凝土结构设计规范》[2]附录C.1钢筋本构关系公式计算，即完全弹塑性模型，如图1所示。其中屈服强度为360 MPa，弹性模量为2.0x105MPa。
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图1.钢筋单轴受拉应力应变曲线 图2.混凝土单轴受压应力应变曲线
混凝土单轴受压本构关系曲线，采用美国Hognestad建议的模型[3]，如图2所示。其中，混凝土强度等级为C30，弹性模量为3.0x104 MPa, 混凝土轴心抗压强度为20.1 MPa。
梁截面参数及主要计算程序[4]
1.基本参数
h=500;h0=h-40;b=h/2;
%梁截面高度，有效高度，宽度，mm
dh=5;n=h/dh; %条带高度(mm)，划分的条带数
As=0.01*b*h; %受拉钢筋面积，mm2
2.混凝土作用力：
for i=1:n
h(i)=(i-1)*dh;
ec(i)=phi*(z(j)-h(i))*1e6;
%第i条带中心处的微应变，正值为压，负值为拉
Fc=Fc+fc(ec(i))*b*dh;
%第1~i条带混凝土受压的合力，N;
Mc=Mc+fc(ec(i))*b*dh*(h(i)+2.5)*1e-6;
%第1~i条带混凝土对受压区边缘的合力矩，kN*m;
End
3.钢筋作用力
es=(h0-z(j))*phi*1e6;
%受压区高度为z(j)时的钢筋微应变
Fs=fs(es)*As; %z(j)时的钢筋拉力，N
4. 由平衡条件得出受压区高度z
if abs(Fs-Fc) <0.01min (abs(Fc), abs(Fs))
break; %z(j)满足平衡条件
end
M=Mc+Fs*h0*1e-6; %截面合力矩，kN*m
计算结果
由上述参数及程序计算得到的简支梁截面在不同配筋率下的受弯非线性过程，如图3所示。开始阶段，材料处于弹性阶段，截面抗弯刚度是一个常数，即弯矩与曲率成正比；当曲率增大，即梁截面的弯曲变形继续增大时，混凝土的受拉边缘开裂，使截面抗弯刚度有一定减小；但随着钢筋拉力的增大及受压区中心高度上移，截面的抗弯承载力有一定程度的增大；当曲率继续增大时，由于受压区边缘混凝土被压碎，截面破坏，弯矩-曲率关系接近为水平的曲线，即抗弯承载力不再增加甚至有所减小。
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图3.不同配筋率的梁截面弯矩-曲率关系曲线
图3中所示有四种配筋率，从它们的弯矩-曲率关系中可以看出在四种配筋率下的梁模型均属于适筋梁。对比图中曲线特征可以得出如下两个结论：一是在适筋梁的范围内，增大截面配筋率可以显著提高截面的抗弯承载力；二是由配筋率的增大使其进入平台阶段的曲率变小得出，随着配筋率的增大即截面抗弯刚度的增大，截面的曲率延性变小。
结论
1） 本文中的梁模型为适筋梁，其正截面的受弯过程可以分为三个阶段，即弹性阶段、带裂缝工作阶段和屈服阶段；
2） 钢筋屈服后有较长的平台阶段，即变形继续增大，但弯矩先是平稳上升然后又平稳下降，说明截面具有很好的变形能力；
3） 随着配筋率越大，截面的抗弯承载力显著提高，但截面的曲率延性有所减小。
参考文献
[1] 过镇海. 钢筋混凝土原理[M]. 清华大学出版社, 2013.
[2]GB50010-2010《混凝土结构设计规范》[S].北京：中国建筑工业出版社，2015.
[3] 李爱群,等. 混凝土结构设计原理（第六版）[M]. 中国建筑工业出版社, 2016.
[4 ]胡晓冬,等.MATLAB从入门到精通(第2版)[M]. 人民邮电出版社, 2018.