方雪芳
浙江省宁波市慈溪阳光实验学校 315300
具有选拔功能的中考压轴题是为了考查学生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽、关系复杂、思路难寻、解法灵活。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现，要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。
对于压轴题的教学，在平时的课堂上对于学生的核心素质培养也是非常关键的，能力不是天生具有的，能力是后天培养的。
接下来，对一道中考数学压轴题进行解答、剖析和教学设计。
一、原题背景
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此题选自湖北省潜江市2011年初中毕业生学业考试数学试卷的第24题，也就是整张试卷的压轴题。题目类型：解析几何；题目内涵：存在性问题；主要模型：构造K形图；思想方法：数形结合、分类讨论、类比等。教学设想：把这道题目上成一题一课，一课一题的形式。
二、逐题分析设计
1、第一小题
【读题】
第一小题结合图象进行读题：在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、 B（1，0），过顶点C 作
CH⊥x 轴于点H。直接写出、b的值和顶点C的坐标。
【教学设计】
这道题目对于大多数同学来说是一道送分题，为了更好地体现它的价值，把它在课堂上设计成中考复习题的模式。先独立思考有哪些形式和方法可以解决此道题目，再组内交流自己的方法，倾听别人的方法，最后进行班级汇报、总结。这样设计的教学目的是回顾用待定系数法求二次函数解析式。
【解法剖析】
班级中会出现如下这些方法。
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【思路分析】
万变不离其宗，都是利用待定系数法求二次函数。同样的方法可以复习二次函数顶点的特点和求法。用公式法、配方法求顶点，其实这两个方法是同一个，配方法是因，公式法是果。还可以利用二次函数的对称性。
【考查意图】
1、运用待定系数法求函数表达式；
2、考查抛物线顶点的坐标特点和求法；
3、根据实际问题，会灵活优选方案进行求解.
2、第二小题
【读题】
在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由。第一小句，判断是否存在点D，这题的大背景就是存在性问题。初中的存在性问题，求是否存在某些点与已知点构成直角三角形，等腰三角形、相似三角形、平行四边形等。第二小句，以AC为斜边的直角三角形，说明点D为直角顶点。
【教学设计】
回忆以往解决直角问题的方法有哪些？进行猜测，有吗？有几个？再请同学们动笔独立思考验证，数形结合，用自己的方法来解决这道题目，最后组内交流，为了让所有学生都会一种方法，学有余力的学生可以拓展提升。教师在课堂上重点讲解K型图的解法。最后班级内汇报多种方法，总结经验，教师再进行变式教学。
【思路分析】
要解决直角问题，一般情况下，初中有三把利剑：1、K型图 ；2、勾股定理；3、斜率乘积为-1 .还有一种方法就是构造圆。
【解法剖析】
解法1：假设D点存在，构造K型图，两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，求得D点纵坐标的值，有两个，继而求得D点坐标有两个。
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解法3：利用斜率公式，根据两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为-1，得到等量关系。
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这个式子既可以用圆上的点到圆心的距离等于半径来解释，也可以用直角三角形斜边上的中线等一会斜边的一半。
解法5：既然讲到了圆，两个D点又是对称的，所以过G点作y轴的垂直，根据垂径定可得到D的坐标。
解法6：根据此图五个点共圆，就又想到了一个方法，托勒密定理，虽然这个方法对于此题而言，杀鸡用牛刀了，但可以得到变式，对于竞赛的同学也是值得学习的一种好方法。
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【考查意图】
1、对于存在性问题，设点，寻找数量关系；
2、了解求直角的几种常用方法；
3、有兴趣了解其他方法，感受数学魅力；
3、第三小题
【读题】
若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。
读完题发现，它还是存在性问题。希望同学们对于压轴题的最后一小题做到胆大心细，胆大即大胆猜测，敢于画图，才能避免无从下手的尴尬，心细，细致分析，小心求证，思考会不会有分类讨论的情况产生。
【思路分析】
点P在x轴上方，就要分在对称轴的左侧或者对称轴的右侧。两个三角形相似，Q点的对应点是H点已经明确了，直角顶点，就是要确定C点的对应点是A点还是C点，所以需要分类讨论。这样的四种情况，需要逐一分析，舍去两种，剩余两种。
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方法二：根据等角对等边，边相等，列出等量关系。
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方法三：和方法二一样的图，只是用折叠对称的方法来求H’。
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【考查意图】
1、本题考查同学们数形结合、分类讨论等方面的能力；
2、培养学生发现问题，分析问题，探求问题，解决问题的能力；
3、解题方式方法可以多元化，为不同层次的同学提供不同的需求；
4、K型图以此题为载体，成为本节课的需掌握的重要基本模型。
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。品味好题的经历， 无疑会给每个经历者今后的教学以及教学研究倾注一股绿色生机， 更会对经历者未来的教学以及教学研究有所启迪与帮助。