叶良军
杭州市富阳区场口中学 浙江 杭州 311407
【摘要】教育改革与高考改革正如火如荼的进行着，各地忙着新课程实验，新教材也已于2020学年启用，教师们也正用新课程的理念充实自己的头脑，大胆地变革着数学教学模式,教育科研的方向也直指数学核心素养．笔者认为现在数学教学的改革还应包括作业的订正．因为订正作业是重要教学环节、处处体现数学核心素养．笔者通过订正的背景与现状分析，阐述了订正的必要性与重要作用及如何进行有效订正的策略研究,以达到使学生真正掌握知识的目的．
【关键词】 有效订正 核心素养 作业批改 大数据 多元订正 错题集
一、探索缘起
老师经常会碰到这样的问题，有时一道题平时练习时做过了，错误的同学也进行了订正，但到考试时，这些同学仍有错误．一个知识点，讲了N遍，相应题目做了N遍，也错了N遍，反复分析讲评了N遍，第N+1遍做题时，还是要错．真是“恋人虐我千百遍，我待恋人如初恋”，感觉真是很无奈．
案例1 在一次限时训练中有题目如下：
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本题考察的是分段函数及单调性问题，这类问题在上新课与一轮复习时都已多次练习与讲解，但滚动到这里还是不太理想，错误率相当高，做过、讲过、改过还是做错．
出现上诉情况主要原因是作业订正效果不佳．这些学生只是订正了答案，但没有真正的理解错因，因此订正时，做得既快又对，但一到考试或做题时相同的错误“死灰复燃”．所以我们不能被假象迷惑，要改革作业订正方式，增强实效．
二、作业订正的现状及分析
1.数学作业订正的现状
（1）主动订正型：作业或试卷发下来后，学生主动订正做错的地方，认真分析自己错题出现的原因并对症下药，做好总结与反思，做好笔记或记录，以便下次不会出现类似错误，实在不会的等老师来讲评，或主动寻求答案，力求把不懂的东西都弄明白．这样的学生一般都是全班成绩较好的人，然而所占比例较少．
（2）心理安慰型：这些学生作业本发下来，一看有错题，会主动去改，但不是先从自已原先做的过程中找错在哪里，而是通过同学或参考答案或老师讲评直接把正确答案写上，做到知其然而不知其所以然，只是寻求一个心理安慰，我去订正了，这样的同学不在少数．
（3）任务订正型：这部分学生作业或试卷发下来后一般不会去看自己对了还是错了，这份作业的价值在他做完题目的那一刻就结束了．当老师有要求或布置任务要去订正，他们才会去订正．否则，不会自主去订正，哪怕就写一个答案．这样的学生也有很多．
（4）冥顽不化型：即使老师布置了任务，要求学生先去订正，他们也不会去做的．老师上课讲评作业，他们敷衍了事，或者思想开小差，根本不屑于去做订正这件事．
2.作业订正现状的根源
（1）教师的态度
由于数学课程教学学时都是很紧迫的，所以教师对待学生的错误往往采取简单粗略处理的方式：有时会利用新课前的几分钟进行讲评，有时专门利用一节课集中讲评纠错．这些方法虽然对学生共性错误类型进行了归纳整理，却忽视了针对学生个性错误的分析、纠正，有点以偏概全．纵然这样因为课程任务紧，做不到每次都可以这样操作，更多的方式是抄一下答案，让同学自己核对．加之在订正后教师也没有这么多的精力对学生纠错后进行监控与反馈，所以不能从根本上解决出错同学存在的问题，教师的态度直接影响学生的态度．
（2）学生基础与习惯
基础好的学生在教师的集体纠错过程中往往一听就懂，但却未必一改就对．这些学生知识系统一般比较全面，基本技能也扎实，但往往是审题不清，解题过程粗心大意，但学生会轻视这一点，对它不以为然，认为自己下次注意点就好了，导致一错再错．
对于中等水平的学生，他们的知识体系就没有那么健全，他们缺乏足够的自信心．因为知识不系统，基础不够扎实，他们对错误的认识停留在错误表面，对错误的改正也习惯用模棱两可的态度对待．
对于数学学困生，他们自己根本无力订正，其实也无心订正．我们老师能做的是动之以情，晓之以理，帮他们养成习惯，树立他们的信心，逐步提高他们的数学学习能力与识错改错的能力．
三、作业订正的作用及必要性?
1．数学作业订正必要性
订正作业是教师教学活动的一个常规动作，也是学生学习知识的重要组成部分，是预防和矫治学生“学习误差”积累的必要手段．及时订正作业是课堂教学的延伸，也是学生自主学习的一部分，它完成的好坏直接关系到学生对知识的掌握情况，而且对强化教学效果，进一步提高教学质量和促进教学改革具有重要意义，同时也能提升数学核心素养．
2．数学作业订正的作用
（1）大脑有“先入为主”的习惯，如果先入错误信息，则大脑会将它当成正确信息，只有通过订正才可以扭转大脑的错误记忆：
这个解法对本题的解题结果不影响，如果不及时订正，在以后的学习中学生都会忽略这一点，并很难改正．
（2）学生作业的错误往往也一定程度上反映教师教学所存在的问题．教师要对学生错误长期的监控，当学生出现共性错误时，教师就应该反省自己，找出问题的所在，进行针对性的补救．
所以我认为y=|tanx|的最小正周期也是y=tanx的最小正周期的一半．可能之前的一些内容误导了学生，必须及时纠正．通过画图，同学们自己也发现了y=|tanx|的最小正周期也是．
教师要从学生错误中反思自己，从而改善教学，提升质量．
（3）走出理念“误区”，如果有人问：作业订正的目的是什么？我想大家都会说，那当然是订正正确了！并非如此，更重要的是要对是否已经理解这道题，是否掌握了这些知识进行检查．
例如在《平面向量数量积》一课中例题：已知△ABC是边长为2的等边三角形，求
的数量积
上新课时学生解答
，学生不考虑夹角情况，不理解向量夹角的定义导致出错，错误率高达90%．高三一轮复习时叫同学做同样的题目，错误率有所减低，但还有50%，然后在作业中放入类似的题目，学生才真正的掌握这一知识点．
只有当学生不再出错，这样才算完成了订正作业所要达到的目的，有效订正才能真正实现．?
四、有效作业订正实施的策略
1.大数据精准导航，为订正指明方向
大数据背景下，有精准教学，我觉得也有精准订正．平板电脑、智能手机等皆可成为数据自动采集器并被应用于教学的各个环节，使智慧校园、智慧课堂成为现实，这使得订正更为精准可行．
笔者所在学校近几年搞了一个好分数网上阅卷功能，月考联考等都采用网上阅卷．其功能非常强大，不仅增加了效率，而且可以利用大数据为师生分析提供可靠依据，也为订正指明方向．以下是利用智能手机APP的各种数据截图，反映出大数据的作用．
（1）学生层面：
如下图所示，①学生可以回看自己的答题卡（图3），上面有阅卷老师的精准评分，这样自己错在哪里学生一目了然，什么地方是采分点等，学生可以精准自我订正；②几次考试下来，学生可以根据分析数据，准确的了解自己的薄弱环节，加强这块内容的学习或补救；③学生可以清楚的了解自己每次考试在班级以及年级里的位置，几次考试的变化趋势也很明了，可以让同学及时总结反思，可以给自己一个精准定位（图1、2）．
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图1 图2 图3
（2）教师层面：
①可以掌握班里每一位同学的具体得分情况，详细了解学生的错误点，错因；②老师可以精确的了解某道题全班的错误率，比如选择题，教师可以具体了解每一个答案的选择情况、百分比、哪些同学选了这些答案（图5）这些精准的数据可以为有效订正指明方向；③教师可以方便地掌握每一位学生的问题所在、知识点的掌握情况，从而为有效订正提供支撑（图4、图6）．
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图4 图5 图6
（3）学校层面:
（实际上也可以认为是年级备课组层面）：通过大数据分析，可以统计整个年级的同学的知识掌握情况，薄弱环节，年级的弱势点，可以组织教师在这些方面加强辅导，同时为学校层面做出科学合理的决策提供事实根据，也可以将数据在不同年级分享，为下一年级或其他年级提供教学参考．
有了这些数据，教师可以有的放矢，订正时目标精准；学生也能精确的知道自己的问题所在，不会模棱两可，可以事半功倍；学校也可以做出合理布局，真正为订正导航．
2．改革数学作业批改，为订正保驾护航
作业批改很大程度上影响有效订正，所以要改变现有作业批改模式，除了坚持传统的批改模式，可以尝试以下几种灵活形式：
（1）随堂批改：课堂作业采用即时反馈答案、当堂批改的方式．学生在作业时，教师巡回辅导，看到错题时立即批改并悄悄指出学生的错误，让他们自己订正．
例如．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件
则点P的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
当时很多同学错选A，我给其指出错误所在，让其自行订正．这样可批三分之一学生的作业．就学生而言，既可以让他们及时知道自己解题的正误，又可以提高学生积极性；对教师来说，可以及时了解学生的掌握情况．
（2）同桌互批：有矛盾时就会有思想的碰撞，同一个问题有不同的答案时就会争论，冲突解决以后就是共同进步，如何实现呢？可以发动学生同桌互批．
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同桌的答案不一样，就会探讨对错，也会争论，这是好事情，可以让学生自己去发现问题所在．这样既能吸引学生的注意力，又能迅速地分享信息．如果同学找不出原因，教师适时的指出问题，学生会有深刻印象，真正达到订正目的．
（3）师生共批：教师把一份学生的作业投放出来，然后师生共同批改，一起“找茬”．
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很多同学看下来感觉没什么问题，因为他们自己也是这样做的，但就有同学马上否定，理由是：等号取到时条件不一样，取第一个等号时，取第二个等号时，然后给出正确的答题过程．此时学生会反思自己，这种批改方法深受学生的欢迎，也很有实效．
实践证明，作业批改的改革可以调动学生的主观能动性，做作业的积极性也由此有了很大提高，因为他们感受到了老师更多的关注，体验到了完成作业的乐趣，教育教学效果得到很大的改观．
3．多元订正方法相结合，提高订正效果
订正要做到保留痕迹、尝试错误、检查过程、检视答案、检讨原因等，在高中学习阶段，数学内容有函数、三角、数列、立体几何、解析几何，不等式（组）、统计与概率等．所以要采用多元化的订正方法．
（1）以计算为基础，运用计算订正法
很多错题，究其原因就是计算不过关，尤其是对一些基础薄弱，计算能力差的学生．这就是要引导他们进行计算，在计算中订正，这样能提高订正效率，加强数学运算，提升数学核心素养．
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本题主要考查的是学生对于三角函数及一元二次方程求解运算的掌握情况，像这类题就可以以计算为基础，运用计算订正法．计算订正法是数学订正中的基本方法，数学运算也是数学核心素养的重要内容．
（2）以图像为前提，利用图像订正法
数形结合是一种重要的数学思想，解题时用数形结合，可以提高效率，订正时可以事半功倍．
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本题错误率很高，怎样订正更切实有效？通过“以形助数”使复杂问题简单化，抽象问题具体化从而起到订正目的，提升学生数学抽象与直观想象能力，提升数学素养．
（3）以点圈为手段，应用圈阅订正法
学生有很多典型错例，如不注意今后还会犯．引导学生尝试错误，让学生在典型错误中订正．
例如，在直线方程教学中常会遇到如下的现象：
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本题出错主要是审题不清，思维不严谨，考虑问题不全面．圈阅订正法能培养学生严谨的数学品质，帮助学生更好地分析题目，理清思路，学生通过点圈手段能对重要条件引起高度注．
（4）以动手为依据，巧用实践操作订正
订正时要让学生亲历过程，只有学生通过自己的亲身感受、自我探索获得的知识，才会根深蒂固地扎根在脑海中．
例如：在有关折叠问题的教学中，我们可以指导学生动手完成从平面图形到立体图形的折叠过程，观察寻找折叠前后的不变量，学生才能轻松解决问题．比如2010年浙江省高考理科数学第20题：如图，
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只有学生自己通过操作实践得来的，学生才会有长足的发展，因为学生在不断的观察、动手操作中不但获得对数学知识的体会和理解，而且更重要的是得到体验，可以减轻学生的理解困难，达到真正订正的目的，提升数学直观．
4.建立应用错题集,保障订正成果
? 有些题型一出就错，有些内容一来就懵，有些错因屡屡再犯，在这些错题的背后，纵然是学生学习中的知识漏洞，但有时学生想系统的了解自己的问题，苦于没有统一载体．如何解决呢？建立起数学错题集．
?
（1）错题的收集
错题的收集说来简单，但也不简单．首先要有一本专门的数学错题本，不能是五味杂陈的什么都有；其次无论难易要不嫌繁琐有错必记；再次收集不是简单的把错题一抄就完事了，要有一定的格式，以便日后检索：
错题集基本格式为：
原题：……
错解：……
错误原因：……
正解：……
随着时间的推移，学生的错题积累越多，同类错误就越少，学生负担会越来越轻，信心也会加强，当然这离不开教师的鼓励．
（2）错题集的整理
错题很多，要学会将错题分类．一般有三种分类方法：按内容分类，可使知识系统化；按题型分类，可化繁为简集中目标；按错因分类，可举一反三事半功倍．
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错因归类：按内容，可以分为直线与圆的位置关系；按题型，属于已知条件求参数；按错因可归结为转化不等价，应用“”判别式条件不清晰．
不同的人会将错题归集为不同类型，因为每个人的想法不同，思维方式也不一样，立足点不同．无论怎样，错题是一定要分类，以便于自己今后利用，帮助有效订正．
（3）错题集的使用与深化
笔者经常看到这样的现象，我们很多同学有笔记，有错题集，但他们只负责记却从来不用，笔记只是流于形式，这样前面的努力前功尽弃．所以要使用错题集，教师要做好引导．
例如，在考试前，可以要求学生统一拿出错题集来自主看阅，教师可以适当的巡视；规定每周定时间进行研究自己的错题，教师可以抽查与登记；展示优秀的错题集使用者，给当事人以鼓励，也给同学以示范；可以让同学之间交换错题集，让同学之间相互借阅，这样可以提高同学兴趣，借鉴同学经验，提高错题集使用效率，也可以加强同学做错题集与使用的积极性．
总之，错题集是有效订正载体与手段，能巩固订正成果．但错题集不是做表面功夫做装饰品的，要切切实实用起来，而且要不断的深化细化．至于方法，老师和同学们可以八仙过海各显神通，目的就是让学生做起来．
5.及时反馈订正情况，切实提高订正效果
人都是有惰性的，学生亦是如此．所以任何的措施与制度出来都必须进行考核与反馈，也需要激励，否则效果就会大打折扣．在有效订正实施过程中，可以做这样的尝试：
（1）适时检验订正结果
比如下面是《直线的倾斜角与斜率、直线方程》一轮复习课后作业中错误较高的几个题，我整理出来，全部改成填空或解答题，以限时的形式进行检查反馈．
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．
⑤根据所给条件求直线方程：
ⅰ经过点B(3,4)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形;
ⅱ过点（5,10），且到原点的距离为5.
喜忧参半，好的同学通过订正和整理，全对（第一次做题时都有错误），有的同学略有进步，还有一些同学依然如故该怎么错还怎么错，那就要进行反馈采取措施了．实际上通过这样一次测试对学生的触动很大，他们会有意识有计划的回顾错题，这样效果明显了．
（2）根据检验结果重整错题
一边要积累错题，一边也要根据检测结果删除或重点标记错题．
可以采取如下措施：学生可以根据老师的检验结果在错题集上做好标记，已经掌握的可以用铅笔做好标记比如打√，那么下次使用时就不必再看了；还是错误的或不会做的那就要打☆，表示需要重点研究的．当然这不仅局限于教师的检测，可以鼓励学生自己操作，比如盖上解答过程，看看自己是否能做出错题，根据情况重复上诉的标记方法．
教师要检验学生的订正情况，从而进行反馈．对做得好的同学要予以表扬和肯定；对做得不好的同学，要提出批评指出不足、督促改进，这样才能保证订正效果．
订正作业是教学过程中的一个重要环节，它完成的好坏直接关系到学生对知识的掌握情况．引导学生作业订正的研究是一项长期而又复杂的任务，不能单凭一个时间点尝试就能很好的提高学生整体作业订正．作为教师我们一定要从提高作业订正的有效性抓起，减少一些无效的订正．
五、感悟与思考
通过作业订正研究，让学生经历错误产生、自我理解、有效订正、素养提升．学生在此过程中认识了订正、经历订正、重视了订正，当然也取得了收获，提高成绩．然而因为数学课程时间紧任务重难度大，课堂教学中教师与学生对真正作业订正的重视还不够．老师要完成教学任务，所以留给订正的时间就少了，学生要完成作业，有时根本就顾不上订正，没有真正去开展作业订正实践探索．要转变思想认识，师生要贯彻这样一种理念：订正一道题往往要比新做一道题重要．因为新题千千万，错误都一样，不去改变，做再多的题也无济于事．要加强教师自身的作业订正意识与积累；在课堂教学中力求实现作业订正的背景和实践操作，并进行相关材料的收集整理总结，以便后面的教学，逐步提高学生的数学素养，为数学教学服务．
【参考文献】
1．张金良 《普通高中数学新课程案例研究》 浙江教育出版社 2010．
2．余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社 2010．
3．教育部《普通高中数学课程标准》 北京:人民教育出版社 2017．
4.李成群《科学咨询》《学生数学作业自我矫正策略研究》2017年35期．
5.李荣《新教育时代杂志》《作业订正之我见》2018年19期．