郭益东
浙江省杭州市萧山区瓜沥镇光明小学 311241
缘起 练习题呈现：
此题是五年级检测试卷中的一道常考题，学生错误率非常高，甚至有部分学生一直到小学毕业，还没有搞明白究竟怎么回事。笔者在五年级两个班的76位学生就本题进行了测试。为了更清楚的了解学生的思考过程，以便更准确的把握学生的错误原因，要求学生用文字结合示意图的形式加以说明，10分钟内独立完成，整个过程真实、可信。仅看结果，正确的有39人（两个班分别为20人和19人），正确率为51.3%，结果与过程均正确的仅有30人（两个班分别为16人和14人），仅占39.5%，真是让人大跌眼镜。
课后与同事交流中发现，很多同事对这个习题也是头疼不已，从一开始的耐心讲解分析，到最后让学生的死记硬背，效果总不是那么的理想。笔者试图通过回顾分数学习的历程，理清分数学习的知识脉络，找寻错误的根源，从课堂教学的角度提出一些教学建议，促进学生对分数意义的理解。
分析
这道习题考察的知识点是什么？分数的意义吗？分数的意义究竟有哪些？现在主流观点认为分数具有“率”和“量”两种不同的意义。笔者试图通过回顾两种分数意义学习的历程，理清分数学习的知识脉络，找寻错误的根源，从课堂教学的角度提出一些教学建议，促进学生对分数意义的理解。
1.表示一种关系
学生三年级时从“部分与整体关系”的意义认识了分数，强调在“平均分”的基础上，加入整体的概念，让学生认识到，与整体相比较，部分也可以是一个数。新版的人教版教材中，还增加了“分数的简单应用”，教材先安排了“把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示”的内容，促进学生对分数意义表征的理解内化。接着，又安排了解决“求一个数的几分之一或几分之几是多少”的问题，旨在让学生利用已学的分数的意义的知识，同时结合整数乘除法的解决简单的实际问题，进行有效迁移学习。这样一来，既沟通了分数与除法的关系，又促进了学生对分数两种意义的理解。
但从三年级一直到五年级，学生头脑中对分数的意义理解仅有一种：“部分与整体的关系”。到了五下年级第一课时“分数的意义”仍旧突出了这种关系，明确提出整体可以是一个或者多个物体，但不管是一个还是多个物体，表示的意义仍旧为“一种关系”。
在分数表示“部分与整体关系”意义的教学中，更多的着眼于“平均分”与“整体”的理解，在这里表示“部分与整体的关系”的强调相对较少。如将4个饼作为一个整体，那么它的实际上表示1个饼，而有不少的学生认为是个饼。只有认识到分数在这里表示的是 “一种关系”，才能认识分数表示“部分与整体的关系”的本质。
2.表示具体数量
五下年级《分数的意义与性质》的第二课时为“分数与除法”，这里除法的结果可以用一个分数来表示，这实际上是对分数商的意义的一种内化学习。教材安排了两道例题来说明分数与除法的关系。先让学生从除法的意义出发，根据等分除或包含除的意义列出算式；然后根据分数的意义，直接说出结果：1÷3=个。因为，等分除与平均分，实质上是相通的。这样就把算式与结果，作了有效的对接，也就是将除法计算与分数结果联系了起来。例2：把3块月饼平均分给4人，每人分到多少块？有了例1的经验学生很容易就能列出除法算式：3÷4，但对于结果更多学生习惯用小数来表示。为此，教材安排了一组图来帮助学生理解结果：可以把3个月饼叠起来，平均分成四份，每份是3个块，也就是块。教材中也出现了a÷b=(b≠0)这样的关系式，明确的表示分数与除法的关系。
对于分数与除法的关系，很多学生只停留在表面的各部分的联系，进行了比较与迁移。而分数与除法的本质关系，却是用分数来表示除法运算的结果。在教学中，我们往往只关注了它们外在联系，而忽视了它们之间内在的本质沟通。
在教学“分数与除法”后，练习中有这样的题目 正确率一般都很高，因为题目中已经明确告诉学生要用分数表示除法的结果，所以学生会很熟练的把被除数看成分子，除数看成分母（图一）。但如果是这样的题目“1÷7=（ ）”，结果往往不是用分数表示的（图二）。学生为什么不用分数表示除法的商呢？课后访谈得知，虽然已经学习过分数与除法的关系，但很多学生还是认为只有整数和小数才能表示计算的结果，而分数只表示“几份中占了几份”，也就是只表示“一种关系”。也说明学生只是从外在的形式上认识了分数与除法的关系，对分数表示“商”的意义是远远不够的。
图一 图二
在分数意义的学习过程中，我们要注重学习素材与生活经验进行合理衔接，让学习的素养更具有现实意义，这样才能让数学的知识更贴近于生活实际，这就要求我们从数学的外部恰当地引入了分数。教材又从学生喜闻乐见的“分蛋糕、分月饼”等经常经历的事进行引入，抽象出分数与除法的关系，这实际上从纯数学的角度，赋予了分数“商”的意义。从现实生活的问题中引入分数“部分与整体关系”的意义，利用现实情境与实物操作的方法，有利于学生对“份数”和“商”的意义理解。
从学生对两种不同意义的学习历程中不难发现，学生对分数表示“部分与整体关系”的意义是根深蒂固的，不利于对分数其他意义的理解。这道习题实际上就是考察了分数表示“关系”与“商”两种不同意义的理解，然而当学习了“分数与除法”之后，原来分数也可以表示“商”。正是学生对分数表示“部分与整体关系”的根深蒂固，而对“分数与除法”没能从本质上理解，才使得学生的学习，仅停留在“被除数与分子，除数与分母”的表层理解上。因此区分分数表示两种不同的意义还是有一定难度的，错误率高也就不难理解了。
思考
怎样更好的帮助学生认识分数的两种不同意义，并理解内在的联系和区别呢？从学生学习两种意义的历程分析，笔者认为可以从以下两个方面进行教学尝试。
1.合并教学
以人教版为例，分数两种意义的教学是分成两课时的，第一课时学习“部分与整体关系”的意义，第二课时学习“商”的意义。笔者认为这样的编排，仍旧突出了“份数”的意义，可能不利于学生对“商”的意义理解，以致于不能很好的区分两种不同的意义。能否把分数的两种意义合并教学？在同一课时中让学生理解、辨析、区分两种不同的意义，会不会更好的掌握分数的两种意义呢？笔者在四下年级学生中做了尝试，在课后练习测验和访谈中，教学效果比原来分开教学要好一些。
2.对比教学
针对学生做题的错误率高，究其原因，还是对意义的理解不到位。本题是让学生直接区分分数的两种不同意义，因为对两种意义的理解不透彻，所以对很多学生来说有一定难度。如果单独考察学生对分数两种意义的理解，是否会更好一些？故在此后又重新让两个班的学生分别作了测试，而且两个班的测试内容还作了适当的区分，具体如下：
第一次：单独考察学生对分数表示“部分与总体关系”的理解。特意在两个班设置相同类型，但题数不同的题目，仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程。目的是了解学生对“份数”意义的理解情况，以及单个题目与多个相同类型题目对学生的理解是否会有区别，以便更好的指导课堂教学。
502班（共1题）： 把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？
503班（共3题）： 把1个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的几分之几？
把4个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？
把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？
班级 答题的人数 正确的人数 正确率
502 38人 26人 68.4%
503 38人 33人 86.8%
过程与结果均正确的视为正确（503班要求3题全部正确）。从结果来看，大部分学生对“份数”意义已经理解。此前单元练习题测试结果两个班并无明显差异，多个练习的正确率要高于单个练习的正确率。
第二次：单独考察学生对分数表示“商”的理解。和第一次考察一样，也在两个平行班中设置了单个题目与多个相同类型的题目，但对单个题目和多个题目的考察进行了班级交换。仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程，调查在正确率上是否会有差异以及差异是否明显。
502班（共3题）： 把4个蛋糕平均分成4份，每份是几分之几个蛋糕？
把1个蛋糕平均分成4份，每份是几分之几个蛋糕？
把2个蛋糕平均分成4份，每份是几分之几个蛋糕？
503班（共1题）： 把2个蛋糕平均分成4份，每份是几分之几个蛋糕？
班级 答题人数 正确人数 正确率
502 38人 23人 60.5%
503 38人 18人 47.4%
过程与结果均正确的视为正确（502班要求3题全部正确）。从结果来看，还是有相当一部分的学生对“商”的意义是不理解的，有对比练习的多个题目的正确率要好于单个题目。
通过两次对比测试可以看出：学生对单独考察分数的两种意义要略好于两种意义混合考察，说明学生对两种意义的理解是有一定的认知基础的，只是概念还不够清晰，容易混淆。从分数表示两种不同意义的角度看，学生对分数表示“部分与整体关系”的理解要优于分数表示“商”的理解，从学生的学习历程也印证了这一点。不管是考察学生对“部分与总数关系”的理解，还是考察分数表示“商”的理解，有多个练习对比测试的正确率均优于单一练习测试的正确率，说明有对比的练习题对学生理解分数的意义是有一定帮助的。
教学实践
基于学生对分数两种意义掌握的现状，笔者认为在分数意义的教学中，可以从分数表示“份数”的定义引入，但重点应放在分数“商”的意义及两种意义的辨析上。笔者在四下年级重新进行了两次教学实践，教学效果要优于原先分成两课时教学。
【环节一】：以“平均分”引入，引发学生思考
1.提问：我们学过的数学知识中，哪些跟“平均分”有关？
根据学生回答，板书：平均分 分数 除法
2.提问：分数是一种数，除法是一种运算，既然都与“平均分”有关，那么分数与除法之间究竟有怎样的关系呢？今天我们继续来认识分数。
（直接从平均分的角度把除法与分数联系起来，引发学生思考两者之间是否有关联？有怎样的关系？）
【环节二】：异中求同：学习分数“份数”的意义
1.认识一个整体
（1）出示例题：请你画出示意图分一分，思考：每份是全部的几分之几？
①把1个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的几分之几？
②把4个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？
③把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？
（2）思考：分别是谁在平均分成4份？请把它圈出来。
根据学生回答板书：
（3）小结：我们都可以把一个物体或多个物体，看成“一个整体”。
（由于在三上年级《分数的简单应用》中已经对多个物体表示一个整体有过接触，对多个物体表示一个整体，学生已经有了初步的认识与感知。通过画一画、分一分中认识到，不管是1个、4个还是2个蛋糕，都是平均分成了4份，每份就是全部的，在讨论与交流中加深对“份数”意义的理解。）
2.揭示“份数”的定义
（1）提问：不同的蛋糕个数在平均分，为什么都是呢？
（2）小结：都是总数4份里的1份，只是整体不一样了。分数在这里都表示部分和整体的一种关系。板书：一种关系。
（把1个蛋糕和4个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的，大部分学生能够理解，示意图和语言表达都没有问题。在两次执教过程中，也有学生提出：可以把4个蛋糕看成1个大蛋糕，把这个大蛋糕平均分成4份，也就和第1小题一样了。把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？在教学中学生出现了争议，有些学生认为是，有些学生认为是，因为有了之前的经验，大部分学生的理解是正确的，认为是。同样有学生认为可以把2个蛋糕看成1个大蛋糕，也就和前两题道理一样了。）
【环节三】：同中求异：学习分数“除法”的意义
1.体会“除法”的意义
（1）把4个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？
提问：可以怎样列式？4÷4，等于多少？
（2）把1个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？
提问：算式怎么列？1÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是个蛋糕。（事实上，在这里很多学生对和个是混淆的。）
（3）把2个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？
提问：算式怎么列？2÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是个和个，为什么不是个呢？根据学生回答补充板书：
（从整数除法引入，学生更容易从平均分的角度把分数与除法联系起来。因为有了4个的经验，1个和2个平均分成4份，列式就比较容易了。至于结果是多少，学生可以根据示意图中看出来，但在这里学生对两种意义的区分仍旧是模糊的。）
2.区分两种不同的意义
（1）看着板书思考：为什么不一样多的蛋糕平均分成4份，每份都是全部的？（因为不管几个蛋糕都看成了一个整体，都表示4份中的1份）。这里的表示其中一部分与整体之间的一种关系。
（2）看着板书思考：为什么都是却不一样多呢？（因为整体不同），看来具体多少个蛋糕和什么有关？（总数的多少）因为总数的多少不同，所以平均分成4份后其中的1份也会有多少。这里的个、1个和个表示一个具体的数量，可以用除法进行计算，用分数表示结果。
（3）这里的和个表示的意思一样吗？根据学生回答补充板书：
3.建立符号模型，搞清分数与除法的关系
（1）观察三个除法算式，思考：怎样写出除法算式的商？（被除数与分子，除数与分母）
（2）为什么可以这样表示？（分数和除法都可以表示平均分，比较联系观察后即可得出）
（3）如果被除数是a，除数是b，a÷b=？得到：a÷b=，并讨论b≠0。补充板书。
【环节四】：分数的产生
（1）提问：什么时候我们会用到分数？（多数学生会提到分物体）
在日常生活中，除了分物体外，在测量物体长度的时，有时候往往无法正好得到整数的结果，这时候我们就可以用小数或分数来表示。其实也可以出现在计算中，比如在计算除法时，分数也可以表示除法的商，如1÷7=？（这时候很多学生还是习惯用小数来表示，会有很少一部分学生能用表示结果。）7÷9=？（，体会分数表示除法结果的优势。）
（从数学的外部需要与数学内部发展需要两个角度，解释了分数产生的不同背景，帮助学生理解两种不同的意义，并从中体会分数表示结果的优势。）
（2）课堂总结
今天我们认识了分数，分数可以表示一种关系，也表示一个具体数量。
分数教学中，由于学生在刚接触分数时，都采用“份数”的定义引入，通过分一分、画一画等多种形式的强化，学生对分数表示“部分与整体的关系”是非常深刻的。这样对理解分数表示“商”是有负迁移作用的。因此，在教学设计中，通过“异中求同”、“同中求异”来帮助学生区分两种不同的意义，应该说更侧重于分数表示“商”的教学，是有利于更好地理解分数两种不同的意义的。只有理解了分数的不同意义，才可能真正理解分数的本质。
参考文献：
[1]卢江，杨刚等，《教师教学用书（数学 五年级下册）》，人民教育出版社，2014.10。
[2]史宁中，《基本概念与运算法则》，高等教育出版社，2013.05。
[3]章勤琼，徐文彬，《论小学数学分数的多层级理解及其教学》，课程·教材·教法，2016.03。
[4]王文英，《基于 “问题教学”的设计——以分数与除法的关系为例》，小学数学老师，2015.05。
[5]郑毓信，《分数的教学与数学思维》，小学教学数学版，2010.05。
[6]曹培英，《核心词的实践解读——模型思想（下）》，小学数学教师，2015.02。
[7]张奠宙，《分数的定义》，小学教学数学版，2010.01。