李宏光
广西南宁市第四十五中学 530215
摘 要 在新课标背景下的数学学科核心素养要求，学生应学会利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系。为了帮助初中学生直观地理解数学概念，激发学生的学习兴趣，提高几何图形计算题得分能力，本人对近几年的中考试题做了深入研究，总结了几种常用的求线段的长度的方法，从而使数学课堂更为积极有效，学生也从中获益良多。
关键词 初中数学 几何图形 线段长度 方法
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。其中初中几何中学习的是平面几何，点动成线，线动成面，线段长度的变化影响了图形的大小和形状，求线段的数量关系贯穿整个初中数学教学。
近年来，南宁市的数学中考试题里，几何图形中求线段的数量关系是必考内容，求线段的长度正是其中的典型代表，通常出现在选择题、填空题和解答题的后两题，涉及到的知识有几何动态问题（比如动点问题、折叠和旋转变换的相关计算）、圆的证明与计算（比如与全等三角形、相似三角形和锐角三角函数有关问题）、二次函数综合（比如线段问题、面积问题、特殊三角形问题、特殊四边形问题、与相似三角形有关的问题、与角有关的问题）等，题目综合性强，难度大，赋分比例大。这类试题需要学生数形结合，善于转化和纵横联系，在复杂的题目中找到求线段长度的突破口。为了帮助学生提高几何图形中计算题的得分能力，我在两轮的初中数学教学中，总结了几种常用的几何图形中线段长度的方法。
一、求三角形中的线段长度
1. 利用“等面积法”求解
例1（2015百色12题3分）△ABC的亮条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）
A. 4 B. 4或5 C. 5或6 D. 6
分析：本题主要考查三角形的基本概念和一元一次不等式组及其解法。可以设△ABC的三边长分别为a,b,c，另一条高为h，则由三角形面积公式可得4a=12b=ch,解得，，再根据三边关系列不等式，代入解出不等式组的解集为3<h<6。又因为第三条高为整数，所以h的值为4或5。
总结：涉及到三条高，通常考虑用三角形面积相等的方法求解。
2.利用三角形中位线定理求解
例2 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC=8，则DE的长为_______。
分析：根据条件“中点”，联系三角形中位线定理，
可知
总结：（1）若已知一边的中点，常连接邻边的中点，利用中位线的性质求解；（2）在特殊四边形中，由于对角线互相平分，因此常连接对角线交点与另一边中点构造中位线求解。
3. 利用等腰三角形性质求解
例3 如图，在Rt△ABC中，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，若BC=3，则DE=_______。
分析：根据等腰三角形“三线合一”性质可知，
DE为△ABD的高线、中线，又根据角平分线性质得DE=DC，△ABC面积被三等分，
所以BC=3DC，即DE=DC=1.
总结：三角形面积问题常用“三角形中线”的性质来解决，同样，见到三角形的中线，要想到三角形的面积被中线等分这一重要性质。
4.在直角三角形中利用勾股定理求解
例4 （2016柳州14题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，
，则AB的长为__________
分析：如图所示，过点C做CD⊥AB于D点，
根据直角三角形性质可知
，
在Rt△ACD中，根据勾股定理有
所以
总结：已知三角形两边求第三边，我们可以利用勾股定理来求解。利用勾股定理求线段长度的关键是做辅助线构建直角三角形，再找出直角边、斜边，再根据公式求解即可。
5.在直角三角形中利用锐角三角函数求解
例5 （2016年南宁6题3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（ ）
A.5sin36°米
B.5cos36°米
C.5tan36°米
D.10tan36°米
分析：根据等腰三角形三线合一性质可知，
米，CD为△ABC底边上的高，
因此在Rt△ACD中，，
所以AD=5tan36°米。
总结：直角三角形的边角关系
利用锐角三角函数求线段的长度，关键在于熟记解直角三角形的常见模型（母子型和背靠背型），根据已知角度做辅助线构建直角三角形，找到直角三角形中三条边和两个锐角这五个元素中的任意一边一角，根据边角关系求解。
6.利用全等三角形求解
例6 （2013北海22题8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝4，BE＝1.
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)求DE的长．
分析：观察图形可以发现，要求的线段DE是
△CEB的边CE上的一部分，由（1）得
△ADC≌△CEB，根据三角形全等对应边相等
有CE=AD,CD=BE,所以DE＝CE－CD＝4－1＝3
总结：要利用全等三角形求线段长度，关键是观察图形找出所要求的线段和已知线段分别是哪两个三角形的对应边，然后再根据条件选择恰当的判定方法证明三角形全等，最后可由全等三角形对应边相等解决。
7.利用相似三角形求解
例7 (2015柳州18题3分)如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上. 若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为________．
分析：如图，设AD与EH的交点为M，
因为要求线段EH，首先观察图形，找到EH所在
三角形为△AEH，然后根据相似“A”型，可以证明
△AEH∽△ABC，然后根据相似比求出线段长度。
设EH＝x，则EF＝x.∵EH∥BC，
∴∠AEH＝∠ABC，∠AHE＝∠ACB，
∴△AEH∽△ABC，∴＝.∵BC＝3，
AD＝2，AM＝AD－EF＝2－x，∴＝，
解得x＝，即EH＝.
总结：要利用相似三角形求线段的长度，关键是观察图形找出所求线段在的三角形，然后联系已知线段，根据相似三角形的常见模型（A型、X型、母子型、一线三等角、三垂直型）确定哪两个三角形相似，如果找不到明显的相似图形，则根据相似三角形的常见模型做辅助线构建相似三角形，选择恰当的判定方法去证明，最后由相似三角形对应边成比例去解决。
二、求四边形中的线段长度
初中几何涉及到的四边形有：一般的平行四边形和特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）
例8 (2015梧州25题10分)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于点E、F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于H.
(1)求证：HF＝AP；
(2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长．
分析：第(2)问想求线段EQ的长，先观察EQ所在三角形
为△HEF，联系已知条件和第(1)问结论，根据全等三角形常用模型做辅助线PF，求证△HEF≌△ABP即可求出EF，最后EQ＝EF－QF.
解析：如图，连接PF，
∵EF为BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
设PF＝BF＝x，
∵AB＝12，
∴AF＝12－x，
在Rt△APF中，AP2＋AF2＝PF2，AP＝4，
∴42＋(12－x)2＝x2，
解得x＝，即PF＝，
在Rt△APB中，BP2＝AP2＋AB2＝42＋122＝160，
∴BP＝4，
∴PQ＝BP＝2，
在Rt△PFQ中，QF＝＝＝，
由(1)得△HEF≌△ABP，
∴EF＝BP＝4，
∴EQ＝EF－QF＝4－＝.
总结：求平行四边形中的线段长度，是数学中考中的必考题型，也是难点所在。这类试题综合性较强，涉及的知识点较多，解决的途径是运用转化的数学思想方法去猜想、探究、发现，联系所学的平行四边形判定和性质，将复杂的四边形问题转化成简单熟悉的三角形问题，再运用上文总结的在三角形中求线段长度的方法去解决。
三、求圆中的线段长度
1.利用弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系求解
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
例9 (2016贵港16题3分)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB＝6，AD＝5，则DE的长为________．
分析：求DE的长，先找DE所在三角形，如果没有则
需做辅助线连接BD构造三角形，再联系已知条件，
弦AD平分∠BAC，比得弧CD和弧BD相等，进而得到弦CD=BD，由此找到突破点。
解析：如图，连接BD、CD，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝5，
∴BD＝＝＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∴CD＝BD＝，∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BCD＝∠CAD，又∵∠CDE＝∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴＝，∴DE＝＝＝.
总结：利用弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系求线段的长度，需要根据已知条件，联系圆的有关性质，将复杂的图形转化成简单熟悉的全等三角形、相似三角形去解决。
2.利用垂径定理及其推论求解
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(2)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
例10 如图，⊙Ｏ的CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.8
分析：想求线段AB的长，由垂径定理可知，AB=2EB，
因此只需求出EB即可。根据垂径定理有Rt△OEB，由已知条件和圆的性质可知，CE+DE=CD直径，所以半径OB和OE=OC-CE，再根据勾股定理可求出EB的长。
总结：利用垂径定理求线段的长度，转化成在直角三角形中利用勾股定理求线段的长度。
结束语：总之，以上是我对于三角形、平行四边形、圆这三类常见的初中几何图形中求线段长度的方法归纳，遇到此类问题，教师应先引导学生观察图形，找出所求线段所在三角形（突破重难点），如果找不到现成的三角形，则需要根据常见全等、相似模型来做辅助线构造；让学生体验运用转化的数学思想，将复杂图形转化成常见的三角形去解决问题，引导学生归纳方法总结规律，从而提高他们的几何图像计算题得分能力。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学
出版社，2013.
[2] 张凤英. 初中数学中常用的求线段的长度的方法[J].课程教育研究（新教师教学），2013（30）：258-259.
[3] 武泽涛. 2018四市联考面对面.万维教育出版社，2018.