李文会
北京市朝阳区教育研究中心
[摘要]小学数学教材“综合与实践”领域的内容是以问题为载体，引领学生在研究性学习的过程中进行数学思考，在积累数学活动经验的过程中对数学思想方法形成内在感悟，进而培养和发展学生的数学核心素养和数学思维品质。在小学数学“综合与实践”领域的教学中处理好学生“动手”与“动脑”的关系，对于凸显课堂教学的“营养价值”以及培养和发展学生的数学核心素养至关重要。本文基于对人教版五年级上册“综合与实践”领域内容《掷一掷》一课教学的几点思考对这一主题进行浅谈。
[关键词]综合与实践 数学活动 数学核心素养
小学数学教材“综合与实践”领域的内容是以问题为载体，引领学生在研究性学习的过程中进行数学思考，在积累数学活动经验的过程中对数学思想方法形成内在感悟，进而培养和发展学生的数学核心素养和数学思维品质。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“综合与实践”的教学，重在实践，重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用[1]。
人教版五年级上册《掷一掷》就是引领学生以“实验”的方式进行学习探究的 “综合与实践”领域的教学内容。小学生数学实验不是教师借助教具演示给学生看，而是创造实验条件，让学生借助实物和工具，通过对实验素材进行“数学化”的操作来验证数学结论、建构数学概念、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。[2]但“实验”并不能完全等价于学生的操作活动，还应包含学生的思维活动，甚至可以说操作活动是为学生的思维活动服务的。因此，在小学数学“综合与实践”领域的教学中处理好学生“动手”与“动脑”的关系，对于凸显课堂教学的“营养价值”以及培养和发展学生的数学核心素养至关重要。本文基于对人教版五年级上册“综合与实践”领域内容《掷一掷》一课教学的几点思考对这一主题进行浅谈。
一、教材解读
教材以系列连环画的形式呈现内容，是引领学生在“探究两枚骰子朝上的面点数之和”的实践活动中，综合运用可能性的知识，经历“猜想——验证——分析”的过程，获取内在感悟，进行抽象出问题的本质，形成理性认知。实际上，学生在本单元之前内容的学习中，已经初步理解感悟了可能性，体会到了事件各种结果出现的可能性是有大小的。本节课“探究两枚骰子朝上的面点数之和”的实践活动不同的是，朝上的面点数之和2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12实质上是十一类结果，而不是十一种结果，通向每一类结果的路径数量不尽相同。例如，1＋5、5＋1、2＋4、4＋2和3＋3五种组合方式都可以得到“两枚骰子朝上的面点数之和是6”这一类结果。因此，对于十一类结果而言，该活动不是“等可能事件”，即每一类结果出现的概率不是均等的。而对于所有的组合而言，该活动是“等可能事件”，即每一种组合出现的概率是均等的,可以从古典概型的视角来理解（见图1）。
图1 人教版五年级上册《掷一掷》
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二、对人教版五年级上册《掷一掷》一课教学的几点思考
在本节课的教学之前，本人对《掷一掷》这一内容产生了几点思考，并带着这样的思考设计了教学活动，从课堂教学的实践来看，学生经历了深度学习，还是形成了一定的深度思考和理性认知，下面就进行简要阐述。
（一）化繁为简 个性化制定游戏规则为切入
从上面图1呈现的教材内容中不难发现，当师生在“两枚筛子朝上的面点数之和”会产生2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12这十一类结果达成共识之后，划分胜负的分组过程是由教师直接给出的：点数之和为2、3、4、10、11和12为第一组，点数之和为4、6、7、8和9为第二组。如果游戏规则是由学生制定的，将给予学生更大的自主空间，凸显学生学习的主体地位。除此之外，预计学生选择点数之和为第一组获胜的占多数，这主要是缘于第一组有六类结果，多于第二组的五类。这种导向意在让学生经历操作验证的过程，发现结果与猜想不符，从而产生认知冲突以及一探究竟的愿望。但辩证地看，如果以这样的游戏规则进行操作活动，学生面对的是两组结果，并不利于学生体会组合方式的多样程度不一导致各类结果出现的概率不等这一点。如果是以更为聚焦的方式只对两类结果进行对比分析,这一点将得以更好地凸显。基于这样的思考，本人创设了让学生两人一组，化繁为简，自主制定游戏规则并进行操作验证的活动（见图2）。
图2 化繁为简 个性化制定游戏规则进行操作活动
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这样的活动化繁为简，“各选一个数”让比较的过程仅发生在两类结果之间，有利于学生更好地理解问题,感悟现象背后的本质。同时需要说明的是，试验次数定为100，主要是因为11个数中出现小组两人选定的2个数的概率较低，需要一个较为庞大的实验次数为基数，才能明显地体现结果的反差。好比掷一枚硬币,掷2次不一定就是1次正面朝上一次反面朝上,但如果掷1万次,那么正面朝上和反面朝上的次数都会非常接近5千,方能得到显著的结果.
从学生实验活动的结果反馈来看，本人预设的最为需要的资源出现了：一组学生选取的是7和12，分别出现了19次和4次（见图3）。引领学生对结果进行交流研讨：为什么出现的次数差很远？学生给出的反馈是：7和12离得比较远，这显然没有落脚于组合方式的多样程度。此时将选点数之和为1的资源加入进来反驳了学生的思维结果：1和12差得最远，而1出现了3次，和4次很接近。经过深入的交流研讨和深度的思维活动，学生逐渐感悟到了通往“朝上的面点数之和为7”的路径较多，而通过“朝上的面点数之和为12”的路径只有6＋6这一种组合，进而抓住了组合方式的多样性决定了结果出现的可能性的本质。
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图3 选取7和12的小组生成的资源
（二）以点带面 训练学生有序思考的意识和能力
从教材呈现的内容来看，并未要求学生写出各类结果对应的所有组合，而是直接进入绘图统计的环节。实际上，这里是训练学生有序思考的意识和能力的良好素材。在经历了对“点数之和为7”和“点数之和为12”两类结果的对比后，本人放手让学生尝试有序地写出各类结果对应的所有组合（见图4）。严格来讲，这里舍去了大量重复性的实验，而是通过推理的方式寻求结果，就是在凸显“动脑”在数学实践活动中的主体地位。
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图4 例举各类结果对应的所有组合
从反馈的结果来看，学生在这一点上主要呈现出了三种不同的层次和水平：第一，能够有序不遗漏不重复地写出与各类结果对应的所有组合（见图5）；第二，能够不遗漏不重复地写出与各类结果对应的所有组合，但不够有序（见图6）；第三，仅考虑了组合没有考虑排列，结果不完整（见图7）。从课堂观察统计的结果来看，能够有序不遗漏不重复地写出与各类结果对应的所有组合的学生有26人，占比81.3%。这说明学生具备一定的有序思考的意识和能力，在这样的活动中，这一点得到了进一步的强化和发展。
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图5 有序不遗漏地写出所有组合
图6 写出所有组合但不够有序
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图7 仅考虑了组合未考虑排列
（三）想象在前 绘图在后
教材中呈现的最后一个环节是以条形统计图的形式反映实验结果。本人认为这不仅仅是单纯的绘图活动，结合上一个环节列举各类结果对应的所有组合，这里还能够给予学生数形
结合想象的空间。实际上，无论是图5还是图6的结果，所有组合都呈现类似“正态分布”的排列，中间“点数之和为7”一列最高，越靠近两侧越低。因此，“和是几就在几的上面涂上一格”的绘图结果也相应呈现类似“正态分布”的排列（见图8）。这是数与形的结合，让学生在绘图之前先行对绘图结果进行想象，并追问其思维的过程，落脚于“组合方式越多，相应的条就越高”，然后才是每个小组进行若干次投掷，将结果进行汇总生成条形统计进行验证。
在抛出“根据我们例举出的所有组合的结果，如果每个小组再进行10次实验，和是几就在几的上面涂上一格，汇总到一起画出来的统计图会是什么样子的”的问题之后，本人让学生举起双手，用语言或肢体语言进行描述。学生给出了诸如“中间高两边低”、“像一座山”等语言反馈，以及用肢体语言表达类似“正态分布”的结果。这样，在全部结果进行汇总生成条形统计图后，学生面对结果与之前的猜想相吻合的事实，产生的是强烈的心里认同。
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图8 正态分布图
（四）适度拓展 指向课后延学
在本节课教学的尾声，本人询问学生：关于本节课的内容还想研究点什么？有学生给出“如果掷三枚骰子，又会是怎样的”的回答反馈。这一点正是本人对本节课教学的另一点思考，即适度拓展，指向课后延学。学生的学习绝不是止于下课铃声想起的一刻，更为深度的学习活动和思维活动往往发生在课后，为学生课后延学保留一扇窗，将十分有利于学生学习认知的连续发展。
三、小结与展望
小学数学生的学习以形象思维为主，即使到了高年级，也仍然处于形象思维到抽象思维的初始过渡状态。对抽象事物的理解能力需要在积累数学活动经验的过程中慢慢积淀，动手和动脑二者缺一不可。在“综合与实践”领域内容的教学中，尤为重要的处理好“动手”与“动脑”的关系，形成“动脑为主，动手为辅”的有利于学生抽象思维发展的科学合理的格局，促进学生数学核心素养的发展。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]郭庆松.小学数学实验的内涵、价值与实施[J].小学数学教育，2016（Z4）：6-9.