朱早先
湖北省仙桃市三伏潭初级中学 433005
【摘要】本文以三角形角平分线性质的引申和运用为主要内容阐述，结合当下时代发展需求以及新课改教学要求为依据，从性质以及引申的具体应用、性质的引申、内外交平分线的基本性质这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于提升学生对于三角形平分线性质以及引申的理解，并有效解决性质和引申解决复杂数学问题。
【关键词】三角形平分线；基本性质；外角平分线；内角平分线
引言：数学几何研究期间经常出现一些比较有趣的性质，三角形的内角平分线以及外角平分线以及对边延长线上的四条线段成比例，此性质就展示看三角形一个角的内角和外交平分线之间存在的关系，也就是内外角平分线截得的共线线段成比例，为证明相关问题提供了有利依据。所以应将此性质作为依据，结合三角形角平分线性质进行引申和使用，供其他读者参考和借鉴。
一、内外交平分线的基本性质
性质一：三角形的两条内角平分线之间所形成的角等于90°与第三角一半的和。
比如：在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线和P点相交，那么∠p等于90°+1/2∠A。
证明：∵BP、CP依次是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠1=1/2∠ABC
∠2=1/2∠ACB
在三角形PBC中
∠p=180°-（∠1=∠2）
=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）
180°-1/2（180°+∠A）
=90°+1/2∠A
性质二：三角形两条外角平分线形成的角等于90°与第三角一半的差。
比如：在三角形ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线和点p相交，那么∠p等于90°-1/2∠A。
证明：∵BP，CP依次平分了∠DBC和∠ECB，∴∠1=1/2∠DBC，
∠2=1/2∠ECB
在三角形PBC中，∠p=180°-（∠1＋∠2）
180°-1/2（∠ECB+∠DBC）
=180°-1/2（180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=180°-1/2【360°-（∠ABC+-∠ACB）】
=1/2（∠ABC+-∠ACB）
=1/2（180°-∠A）
90°-1/2∠A
二、性质的引申
如下图所示，点p属于三角形ABC中的一个内角平分线BP和一个外交平分线CP上的交点，那么AP则是这个三角形ABC的外角平分线。
引申二：如下图所示：是我们生活中经常用到的数学工具-圆规，可以将此种图形称之为规形图，通过观察可以发现，∠ABC和∠ADC的平分线和点o相交，那么则可以称之为∠BOD=1/2（∠C+∠A）
引申三：如下图所示：在这样的一个8字形状的四边形ABCD中，∠ADC和∠ABC的平分线相较于点o，所以说∠BOD=1/2（∠A+∠C）
三、性质以及引申的具体应用
结合上述结论可以很轻松的解决一些比较复杂的数学问题例如：
下图所示：在三角形ABC中，∠A等于m°，∠ABC和∠ADC的平分线相较于点A1,得到了∠A1BC和∠A1CD的平分线相较于点A2，得到了∠A1，。。。∠2014CD的平分线相交于A2015，那么A2015=（）度。
由三角形平分线性质三可以有效发现存在的数量规律，∠Am=（1/2）m∠A。
所以直接可以得到∠A201=
例2 ：如下图所示：三角形ABC的外角∠ADC的平分线CP的内角∠ABC平分线BP相交于点p，加入∠BPC=40°，那么∠CAP=（）
可以直接使用引申一的结论，能够得到AP是三角形的一个外交平分线，结合性质三的形式可以得到∠BAC=2∠BPC
∠CAP=1/2（180°-∠BAC）
=1/2（180°-1/2∠BPC）
=50°
例3 ：如下图所示：已经知道线段AB线段CD和点o相交，连接AD和CB将图形称之为8字形，右图在左图的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP交于点P,并且和CD、AB相交于M、N,解决∠A+∠C=18°-100°=80°，那么∠B+∠C=()，仔细观察，在右图中，假若8字形的的个数是（）个。
结合三角形的内角和定理，可以得到∠B+∠C=180°-100°80°，如右图中，将o作为8字形，三角形AOD和三角形BOC中，三角形AOM和三角形CON，三角形AOD和三角形CON，三角形ADM和三角形BCN，m为定点的还有两个，N为定点的也有两个，所以时4+1+1=6个。
四、结束语
总而言之，通过上述例子可以看出，借助三角形内平分线和外平分线可以证明很多复杂 抽象的几何问题，将抽象的问题转变为直观形象内容，结合给定命题，依据题设和具体图形，加上必要辅助内容，巧妙的解决比较困难和复杂的数学问题，从而可以构建一个更加基础的三角形，再进行推理和论证使得题目变得十分简单，通常是比较奏效的，并且可以起到意想不到的效果，对于提升学生数学成绩存在一定价值，还可以降低数学习题的难度，从而使得数学教学质量得以提升。
参考文献
【1】王凯旋. 角平分线相关性质的探究及应用[J]. 中学生数学, 2020(10):6-7.
【2】武增明. 三角形内角平分线性质定理在高考中的简单运用[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2018(15).