沈再琳
云南省宣威市第八中学。655404
摘要：在对导数进行研究的过程中，发现函数存在的单调性、极值、最值、解决生活中的优化问题有着极其重要的作用，并为我们提供解决函数问题的有效措施与工具。针对函数中存在的最值、不等式等常见问题，均能采用导数进行解决。除此之外，还能借助于知识的网络交汇，来设计问题，满足学生对于高阶层数学问题的需求，这一点在数学高考之中占据着重要位置。继而本文从导数的知识层面展开恒成立问题的分析，突出导数的应用，实现高中学生导数掌握能力的增强。
关键词：解决；导数；恒成立；问题
引言：近代数学发展史上，导数对初高中数学串联学习有着“承上启下”的作用，在导数的推动下促使初高中学生所面对的数学问题有着不同的视野，最显著的差异是倒数函数性质、不等式证明、函数极值、最值、曲线斜率探索等方面，使得初中数学与高中数学有了明显的差距。而对高中学生来说要学习这些知识需要掌握上述工具，以此为出发点建立数学模型，从而应用导数去解决存在的实践问题，这就需要笔者从导数的角度上去问题如何解决函数恒成立问题，并提出一点个人的感悟与体会。
一、何为导数
导数也被称作为导函数值，又名为微商，是微积分之中的重要基础概念。而在高中阶段所接触的导数其实是对函数值变化情况的反应，在问题的解决中基于导数导函数研究函数的单调性，即y=f(x)，当存在于定域义D，如若f’(x)>0，那么y=f(x)在D上为增，反之，y=f(x)在D上是增加的，那么f’(x)≧0。若存在f’(x)<0，则代表y=f’(x)在D上是减少的，反之，y=f(x)在定域义中是减少的，那么f’(x)≦0。通过上述的分析可以充分明确函数的单调性，由此得知函数值的一些变化规律，这样一来便可落实函数的局部性质、整体性质的调查研究，同极值与最值相结合，为函数的恒成立问题的解决打下基础[1]。在函数中恒成立问题大概可划分为：对参数取值范围已知，如何证明不等式恒成立；不等式f(x)>a(或f(x)<a，f(x)≧a，f(x)≦a)恒成立（a为参数），如何证明参数的取值范围；如何证明f(x)>g(x)恒成立；如何证明能成立问题等等，以下就从这几点疑问出发举例分析导数的恒成立问题。
二、对参数取值范围已知，如何证明不等式恒成立
例如：函数g(x)=x2+bln(x+1)+2x，当b≧时，证明：对任意x1,x2∈(-1，+∞)，并且x1≦x2，都存在g(x1)—g(x2)≦2(x1—x2)。从导数的角度出发对g(x1)—g(x2)≦2(x1—x2)是否恒成立进行分析，需要对g(x1)—2x1≦g(x2)—2x2进行证明，以此构造出函数h(x)=g(x)—2x，便能充分的证明在-1≦x1≦x2，进而只要在h(x1)≦h(x2)的条件下证明出函数h(x)是在(-1，+∞)范围中为增函数，g(x1)—g(x2)≦2(x1—x2)恒成立。
具体的解析步骤如下所示：解：由g(x1)—g(x2)≦2(x1—x2)可得知g(x1)—2x1≦g(x2)—2x2，所以令h(x)=g(x)—2x=x2+bln(x+1)，当中需要注意b≧，则h’=2x+=，且x+1>0，b≧，可以得知h’(x)≧0，继而h(x1)≧0，所以g(x1)—g(x2)≦2(x1—x2)恒成立。
三、不等式f(x)>a(或f(x)<a，f(x)≧a，f(x)≦a)恒成立（a为参数），如何证明参数的取值范围
要在分析中满足要求促使f(x)>a恒成立，需要从y=f(x)的值域范围着手进行研究，当中存在的函数y=f(x)值域区间在[m,,M]范围，只要满足m>a这一要求便恒成立。假如所得到的函数y=f(x)值域区间为（m，M），只要确保m≧a，便能保证不等式f(x)>a(或f(x)<a，f(x)≧a，f(x)≦a)恒成立[2]。当问题解决中出现其他的研究方式，那么需要着重注意解析中的y=f(x)是否能得到最大值或最小值。例如：已知有函数f(x)=x3-x2-2x+c，求函数f(x)的单调区间。如若x∈[-1，2]，不等式f’(x)<c3恒成立，求c的取值范围。
（1）解：f’(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，由此可以得到f’(x)>0，并通过分析得到x<-或者是x>1，通过f’(x)<0，可以得到-<x<1，因此函数f(x)的单调增区间在(-∞，-)以及(1，+∞)，而单调递减区间为（-，1）。
（2）解：通过（1）的分析解决可以得到函数f(x)在（-1，-）以及（1，2）单调递增，当在（-，1）中单调递减，因此[f(x)]的极大值为f(-)<f(2)，当f(x)在[-1，2]上的最大值为2+c，便能得到f(-)=+c，f(2)=2+c，f(-)<f(2)，所以只要f(x)在区间[-1，2]上最大值必定为2+c，这样f’(x)<c2恒成立。只需要2+c<c2，那么c<-1，或者是c>2，由此可以得出c的取值范围在（-∞，-1）∪(2，+∞)。
四、如何证明能成立问题
能成立的问题可通过以下案例分析进行了解，例如：已知f(x)=xe2，g(x)=—(x+1)2+a，如若存在x1、x2∈R，使得f(x1)≦g(x2)是成立的，那么需求实数a的取值范围。要解决这一问题，需要充分了解已知条件，即在整个公式中f(x1)是f(x)值域之中的任意函数值，两者间无任何关联，要在这样的条件下满足f(x1)≦g(x2)条件，需要求证得到[f(x)]min≦[g(x)]max。解：f’(x)=ex(x+1)，当其中的x∈(-∞，-1)时，f’(x)<0，f(x)在(-∞，-1)上是单调递减，而x∈(-1，-∞)时，f’(x)>0，这时的f’(x)在∈(-1，-∞)中为单调递增区间。当x=-1时。F’(x)=0，[f(x)]min=f(-1)=-，又因为[g(x)]max=a,所以a≧-。
五、结束语
综上所述，在高中数学教学中需要数学教师从导数的角度出发，帮助学生学习如何去解决函数中存在的恒成立问题，并由此增强高中学生的数学解析能力。
参考文献：
[1]赵裕平. 继续升温的热点——利用导数解决恒成立问题初探[J]. 数学教学通讯:中教版, 2008, 000(013):26-28.
[2]董琦. 解决"导数大题中恒成立问题"的几种常用方法[J]. 中学生数学, 2020(23).