沈忠良
江苏省苏州市吴江区铜罗中学 江苏省 苏州市 215237
摘要：二次函数最值问题是二次函数教学中的重点内容，以学生的实际生活为背景，通过优化教学设计，引导学生利用二次函数的图象与性质解决实际问题，促进学生的深度学习，培养学生的应用意识，提升学生的学习兴趣。
关键词：二次函数；深度学习；教学设计
一、教材分析
《二次函数最值问题》是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值)。在最大利润问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐。本节课的教学目标确定为：
1、知识与技能
通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。
2、过程与方法
通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。
3、情感态度与价值观
通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生在知识教学中体会数学知识的应用价值。
本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。
二、教法分析
作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材，把学生置于教学的出发点和核心地位，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此对教材进行了二次开发，从学生熟悉的生活情境出发，运用与学生生活背景密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系，由课本的一个问题转化为两个实际问题，通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。教学中需要把握好以下两方面内容：
(一)、利用二次函数解决实际问题的易错点：
①题意不清，信息处理不当。②选用哪种函数模型解题，判断不清。③忽视取值范围的确定，忽视图象的画法。④将实际问题转化为数学问题，一般学生不易达到要求。
(二)、解决问题的突破点：
①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高分析能力。③注意实际问题对自变量取值范围的影响，对函数图象的影响。
三、教学过程
(一)、创设情境，引入课题
问题1：用60米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？
教师提出问题，引导学生先考虑：(1)若矩形的长为10米，它的面积为多少？(2)若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别为多少？(3)从上面两问发现了什么？关注学生是否发现两个变量，是否发现矩形的长的取值范围。学生积极思考，回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。
(二)、分析问题，解决问题
问题2：你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？
教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。学生思考后回答。
解：设矩形的长为x米，则宽为(30－x)米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：y=－x2+30x(x＞0)，
画出此函数的图象如图：
当x==15时，y有最大值：=225，
答：当矩形的边长都是15米时，小兔的活动范围最大是225平方米。
通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。
(三)、归纳与总结
问题3：由矩形的面积问题，你有什么收获？
反思：实际问题中，二次函数的最大值(或最小值)一定在抛物线的顶点取得吗？
师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值)。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法。
引导学生反思，得出答案：不一定。要注意自变量的取值范围。
(四)、运用新知，拓展练习
问题4:某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元。市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=－2x+240。设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x取何值时，y的值最大？
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。
师生板书：
解：⑴y=(x－50)w=(x－50)(－2x+240)=－2x2+340x－12019，即y与x的关系式为：y=－2x2+340x－12019。
⑵y=－2x2+340x－12019=－2(x－85)2+2450，当x=85时，y的值最大。
⑶当y=2250时，可得方程－2(x－85)2+2450=2250。
解这个方程，得x1=75，x2=95(不合题意，舍去)。
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元。
通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。
(五)、课堂反馈
1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是多少？
学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值。
解：设直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为8－x，设其面积为S，则S=x(8－x)(x＞0)，配方得S=－(x2－8x)=－(x－4)2+8，当x=4时，S最大=8。即两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8。
(六)、课堂小结，布置作业
1.归纳小结；2.作业（略）
教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解。总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯，培养学生归纳问题的能力。
四、教学思考
新课程理念下开放式教学，是根据学生个性发展的需求而进行的教学，使课堂充满生趣，充满孜孜不倦的探索。本节课的教学设计，注重学生能够在自主探究、合作学习的过程中，掌握利用二次函数的极值解决实际问题，使学生在愉快的情境中学习这种常用的数学模型，能够注意总结、体会，形成良好的学习习惯。在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，在知识的发生、形成、发展全过程中进行探究活动，教师着力引导思考，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，只有这样，才能使学生亲身体验到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲。
参考文献：
[1]自主学习模式在信息技术教学中的运用摭探[J].郑曦铭.成才之路.2018(36)